Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольникаВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольникаВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольникаВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольникаВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольникаВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольникаВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника
КвадратМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

ТрапецияМногоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Многоугольник описанный около окружности свойство описанного четырехугольника

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Урок геометрии по теме «Свойство и признак описанного четырехугольника»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (130 кБ)

Образовательная. Создание условий для успешного усвоения понятия описанного четырёхугольника, его свойства, признака и овладения умениями применять их на практике.

Развивающая. Развитие математических способностей, создание условий для умения обобщать и применять прямой и обратный ход мыслей.

Воспитательная. Воспитание чувства красоты эстетикой чертежей, удивления необычным

решением, формирование организованности, ответственность за результаты своего труда.

1. Изучить определение описанного четырёхугольника.

2. Доказать свойство сторон описанного четырёхугольника.

3. Познакомить с двойственностью свойств сумм противоположных сторон и противоположных углов вписанного и описанного четырёхугольников.

4. Дать опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач.

5. Провести первичный контроль уровня усвоения нового материала.

Оборудование:

    компьютер, проектор;
  • учебник “Геометрия. 10-11 классы” для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни авт. А.В. Погорелов.

Программные средства: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Использование компьютера при подготовке учителя к уроку.

С помощью стандартной программы операционной системы Windows созданы к уроку:

  1. Презентация.
  2. Таблицы.
  3. Чертежи.
  4. Раздаточный материал.

План урока

  • Организационный момент. (2 мин.)
  • Проверка домашнего задания. (5 мин.)
  • Изучение нового материала. (28 мин.)
  • Самостоятельная работа. (7 мин.)
  • Домашнее задание.(1 мин.)
  • Итог урока. (2 мин.)
  • 1. Организационный момент. Приветствие. Сообщение темы и цели урока. Запись в тетради даты и темы урока.

    2. Проверка домашнего задания.

    3. Изучение нового материала.

    Работа над понятием описанного многоугольника.

    Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

    Вопрос. Какие из предложенных многоугольников являются описанными, а какие не являются и почему?

    Нарушение “касаются”Рисунки 1 и 2
    Нарушение “все стороны”Рисунки 2 и 3
    Нарушение “многоугольник”Рисунок 6
    Нарушение “некоторой окружности”Рисунок 5 и 7

    Доказательство свойств описанного четырёхугольника.

    Теорема. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Учащиеся работают с учебником, записывают формулировку теоремы в тетрадь.

    1. Представить формулировку теоремы в форме условного предложения.

    2. Каково условие теоремы?

    3. Каково заключение теоремы?

    Ответ. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.

    Проводится доказательство, учащиеся делают записи в тетради.

    Учитель. Отметим двойственность ситуаций для сторон и углов описанного и вписанного четырёхугольников.

    Закрепление полученных знаний.

    Задачи.

  • Противоположные стороны описанного четырёхугольника 8 м и 12 м . Можно ли найти периметр?
  • Задачи по готовым чертежам.
  • Доказательство признака описанного четырёхугольника.

    Сформулировать обратную теорему.

    Ответ. Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. (Вернуться к слайду 2, рис.7)

    Учитель. Уточните формулировку теоремы.

    Теорема. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Работа с учебником. Познакомиться с доказательством признака описанного четырёхугольника по учебнику.

    Применение полученных знаний.

    3. Задачи по готовым чертежам.

    1. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник с противоположными сторонами 9 м и 4 м , 10 м и 3 м?

    2. Можно ли вписать окружность в равнобокую трапецию с основаниями 1 м и 9 м, высотой 3 м?

    Письменная работа в тетрадях.

    Задача. Найти радиус окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 м и 8 м.

    4. Самостоятельная работа.

    1 вариант

    1. Можно ли вписать окружность

    1) в прямоугольник со сторонами 7 м и 10 м,

    2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 7 м и 10 м.

    Найти периметр четырёхугольника.

    3. Равнобокая трапеция с основаниями 4 м и 16 м описана около окружности.

    1) радиус вписанной окружности,

    2) радиус описанной окружности.

    2 вариант

    1. Можно ли вписать окружность:

    1) в параллелограмм со сторонами 6 м и 13 м,

    2. Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, равны 9 м и 11 м. Найти периметр четырёхугольника.

    3. Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м описана около окружности с радиусом 2 м.

    1) основание трапеции,

    2) радиус описанной окружности.

    5. Домашнее задание. П.86, № 28, 29, 30.

    6. Итог урока. Проверяется самостоятельная работа, выставляются оценки.

    🎦 Видео

    Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классыСкачать

    Четырехугольник, описанный около окружности | Геометрия 8-9 классы

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

    3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

    3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

    110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

    ЧАС НАЗАД УТВЕРДИЛИ! Пенсионерам рожденным до 1966 года положены выплатыСкачать

    ЧАС НАЗАД УТВЕРДИЛИ! Пенсионерам рожденным до 1966 года положены выплаты

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

    8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

    Грамматическая основа за 30 минут! | Русский язык ОГЭ 2022 | УмскулСкачать

    Грамматическая основа за 30 минут! | Русский язык ОГЭ 2022 | Умскул

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

    Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | ИнфоурокСкачать

    Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | Инфоурок

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математикеСкачать

    Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математике
    Поделиться или сохранить к себе: