Главный вектор системы техническая механика

Видео:Момент силы. Определение, размерность и знаки. Плечо силыСкачать

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛЫ К ТОЧКЕ (ТЕОРЕМА ПУАНСО)

Плоская система произвольно расположенных сил — это система сил, линии действия которых расположены в одной плоскости произвольным образом.

Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку, не лежащую на линии действия силы.

Теорема. Действие силы на тело не изменится, если ее перенести параллельно самой себе в любую точку тела, присоединяя при этом некоторую пару сил.

Доказательство. Пусть к телу в некоторой точке К приложена сила F (рис. 1.4.1). Перенесем в произвольную точку О того же тела силу F = F’ параллельно данной силе. Но чтобы равновесие не изменилось, к точке О надо приложить равную по величиной противоположно направленную_силу F» (см. рис. 1.4.1).

Силы F’ и F» взаимно уравновешиваются, и поэтому действие на тело одной данной силы F эквивалентно действию на него системы трех сил F, F‘ и F». При этом сила F‘ может рассматриваться как сила F, перенесенная параллельно своему начальному направлению в точку О, а силы F» и F образуют пару, которую мы должны присоединить при параллельном переносе силы из точки К в точку О, чтобы сохранить действие силы при этом переносе. Теорема доказана.

Пару (F» F), образующуюся при переносе точки приложения силы F, называют присоединенной парой.

Видео:Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ОДНОМУ ЦЕНТРУ. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ

Рассмотрим систему нескольких сил F_р F₂, . F , расположенных как угодно на плоскости. Возьмем в плоскости действия сил произвольную точку О (рис. 1.4.2, а), назовем ее центром приведения. Перенесем все_ данные силы в эту точку. Мы получим систему сил F[, F’₂, . F’_n, приложенных в этой точке, и систему пар сил (Fy, F»), (F₂, F₂), . (F_n, F»). Приложенные в точке О силы F, F₂. F’_n можно сложить по правилу многоугольника и, следовательно, заменить одной эквивалентной им равнодействующей силой F у равной их геометрической сумме. Так как силы Fj, F₂,. F’_n геометрически равны данным силам F_р F_v . F_n, то

Вектор F у равный геометрической сумме всех сил данной системы, является главным вектором этой системы (рис. 1.4.2, б),

Модуль и направление главного вектора можно найти по формуле равнодействующей системы сходящихся сил:

Все присоединенные пары (F_v F»), (F₂, F₂), . (F_n, F») можно сложить по правилу сложения пар сил, лежащих в одной плоскости, и, следовательно, заменить их одной результирующей парой. Моменты этих пар равны моментам данных сил F_р F₂, . F_п относительно центра приведения О, т.е.

Отсюда найдем момент результирующей пары М_п:

Алгебраическая сумма моментов относительно какой-то точки О всех данных сил, расположенных произвольным образом на плоскости, называется главным моментом данной плоской системы относительно этой точки (см. рис. 1.4.2, б):

Произвольная точка тела, в которую переносятся параллельно все силы системы, называется точкой (или центром) приведения. Итак, полученный результат можно сформулировать следующим образом: всякую плоскую систему сил всегда можно заменить одной силой, равной главному вектору системы, приложенной в произвольной точке О, и парой, момент которой равен главному моменту данной системы сил относительно этой точки.

Главный вектор системы не является равнодействующей силой для данной системы сил, так как он заменяет данную систему сил вместе с присоединенной парой. Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора точки приведения, так как все силы переносятся параллельно их начальному направлению и силовой многоугольник во всех случаях будет одним и тем же.

Величина и знак главного момента зависят от центра приведения, так как с изменением центра приведения изменяются моменты сил относительно этого центра, а следовательно, и их алгебраическая сумма. Поэтому, задавая главный момент, нужно указывать, относительно какой точки он вычислен.

Видео:Момент силы относительно точки и осиСкачать

Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил

§1. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы

из точки А (рис. 1, а) в точку О прикладываем в точке О силы и

. Тогда сила окажется приложенной в точке О и к ней будет присо­единена пара () с моментом , что можно показать еще так, как на рис. 1, б. При этом .

Рис.1. Произвольной плоской системой сил

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил

, ,…, (рис. 2, а). Выберем произволь­ную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

. приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны ,

Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , при­ложенной в той же точке.

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой или

Величина , равная геометри­ческой сумме всех сил, называется главным вектором системы;

величина , равная геометрической сумме моментов всех сил отно­сительно центра О,

называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Рис.2. Система сил

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой

, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 2, б).

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R_x, R_y, R_z нам известны. Проекции век­тора на оси координат будем обозначать M_x, M_y, M_z. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R₀ = ΣP_i отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

Главный момент пространственной системы сил: M₀ = ΣM₀(P_i) — это вектор, модуль которого находится аналогично:

где M_x , M_y , M_z — суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей.

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

1) R₀ = 0, M₀ = 0 — система сил находится в равновесии;

2) R₀ = 0, M₀ ≠0 — система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3) R₀ ≠0, M₀ = 0 — система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R₀ , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R₀, R

4) R₀ ≠0, M₀ ≠0 и R₀ ⊥ M₀ — система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R₀ , ее линия действия проходит на расстоянии d = |M₀|/ R₀ от центра приведения.

5) R₀ ≠ 0, M₀ ≠0 и главный вектор R₀ неперпендикулярен главному моменту M₀ — система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание: Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона: Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

§2.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M_о = 0. Но векторы

Видео:Момент силыСкачать

Техническая механика

Видео:Техническая механикаСкачать

Плоская система произвольно расположенных сил

Лемма о параллельном переносе силы

Лемма: механическое состояние твердого тела не нарушится, если данную силу перенести параллельно первоначальному положению в произвольную точку тела, добавив при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Для доказательства данной леммы возьмем тело, находящееся под действием некоторой системы сил, в числе которых есть сила F , приложенная в точке А (см. рисунок 1) .
Выберем произвольную точку О , которую назовем центром приведения, и на основании аксиомы IV приложим в этой точке две равные силы F’ и F’’ , параллельные данной силе F , причем

Систему сил (F,F’,F’’) , эквивалентную силе F , представим как силу F’ , перенесенную параллельно первоначальному положению в произвольно выбранный центр приведения О , и пару (F,F”) , момент которой равен моменту данной силы относительно центра приведения О , являющегося новой точкой приложения силы F :

Описанный выше перенос силы можно показать на примере.

Рассмотрим колесо А радиусом r , вращающееся на оси в подшипниках (см. рисунок 2) . Пусть к ободу колеса по касательной приложена сила F (такую силу называют окружной).

Для определения действия силы F на колесо и подшипники применим доказанную лемму и перенесем эту силу параллельно самой себе на ось колеса. В результате получим силу F’ = F , вызывающую давление на подшипники, и пару сил (F,F”) с моментом, равным Fr , которая будет вращать колесо.

Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к данному центру

Приведением системы сил называется замена ее другой системой, эквивалентной первой, но более простой.

Теорема: плоская система произвольно расположенных сил в общем случае эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения и одной паре сил.

Пусть дана плоская система n произвольно расположенных сил (F₁,F₂,F₃. F_n) . Перенесем параллельно все силы в произвольно выбранный в плоскости действия сил центр приведения О , добавив при этом n пар (см. рисунок 3) . Моменты этих пар m₁,m₂,m₃. m_n равны моментам данных сил относительно центра приведения О .

Вместо заданной системы n произвольно расположенных сил мы получили систему n сил, приложенных в центре приведения, равных данным силам по модулю и одинаковых с ними по направлению, и систему n присоединенных пар:
F₁’ = F₁; F₂’ = F₂; F₃’ = F₃. F_n’ = F_n
m₁ = M_O(F₁); m₂ = M(F₂); m₃ = (F₃). m_n = M_O(F_n) .

Эта новая система эквивалентна данной.

Плоская система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, которая равна векторной сумме этих сил и приложена в той же точке, следовательно:

Эту силу назовем главным вектором данной системы.

Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.

Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах.
Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле:

F_гл = √[(ΣX) 2 + (Y) 2 ] (здесь и далее √ — знак корня) ,

а направляющий косинус – по формуле cos (F_гл, x) = F_глХ / F_гл .

Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, следовательно,

Эту пару с моментом М_гл назовем главным моментом заданной системы сил.

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Таким образом, всякая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил, следовательно, теорема доказана.

Не следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение, введенной для удобства доказательства, и что их можно найти только с помощью вычислений. Нередко отдельно действующие на тело силы определить трудно или даже невозможно, а главный вектор или главный момент этих сил найти сравнительно легко. Так, например, число точек контакта и модули сил трения между вращающимся валом и подшипником скольжения, как правило, неизвестны, но главный момент этих сил можно определить простым измерением.
Еще один пример: в характеристику электродвигателя входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент, являющийся, по сути, главным моментом этой силы.

Свойства главного вектора и главного момента

Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:

1. модуль и направление главного вектора данной системы не зависят от выбора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой многоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;

2. величина и знак главного момента в общем случае зависят от выбора центра приведения (кроме случая, рассмотренного далее, когда F_гл = 0 , а М_гл ≠ 0) , так как при перемене центра приведения изменяются плечи сил, а их модули остаются неизменными;

3. главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны. Пусть известны главный вектор F_гл и главный момент М_гл какой-либо плоской системы сил (рис.4а) .
Определим равнодействующую этой системы.

Пользуясь известным свойством пары сил, преобразуем главный момент М_гл так, чтобы силы пары F и F_Σ (рис. 4б) были равны по модулю и параллельны главному вектору F_гл :

причем сила F приложена в точке О противоположно F_гл .
Далее систему (F_гл, F) , как взаимно уравновешенную, отбросим:

В результате получим одну силу F_Σ , эквивалентную главному вектору и главному моменту, т. е. равнодействующую системы, причем F_Σ = F_гл .

Модуль равнодействующей можно определить по формуле:

а положение линии действия равнодействующей определяется плечом d по формуле:

В результате можно считать установленным, что главный вектор и равнодействующая векторно равны, но не эквивалентны.

4. главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю. Это возможно лишь в случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей. Из приведенного выше рисунка видно, что момент равнодействующей F_Σ относительно центра приведения О равен моменту М_гл пары (F_Σ,F) , т.е. главному моменту данной системы:

Так как М_гл = ΣМ_О(F_i) , а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия сил данной системы, то всегда имеем:

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Теорема: момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый П. Вариньон (1654-1722) , поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Применим доказанную теорему для определения положения линии действия равнодействующей F_Σ плоской системы n параллельных сил:

Выберем какую-либо точку О плоскости действия сил за центр моментов и согласно теореме Вариньона запишем:

ΣМ_O(F_i) = М_O(F_Σ) = F_Σd , где: d – плечо равнодействующей F_Σ относительно точки О.

Из последнего равенства определяем плечо d :

Чтобы установить, в какую сторону от точки О следует на перпендикуляре к линиям действия сил отложить плечо d , следует учесть направление вектора F_Σ и знак ΣМ_O(F_i) .

Различные случаи приведения плоской системы произвольно расположенных сил

На основании приведенных выше свойств главного вектора и главного момента можно выделить четыре возможных случая приведения плоской системы произвольно расположенных сил.

1. F_гл ≠ 0, М_гл ≠ 0 . В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, которая равна по модулю главному вектору, параллельна ему и направлена в ту же сторону, но по другой линии действия.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от выбора центра приведения, также как модуль и направление главного вектора тоже не зависят от расположения центра приведения на плоскости действия системы сил.

2. F_гл ≠ 0, М_гл = 0 . В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения и совпадает с главным вектором.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от расположения центра приведения на линии действия равнодействующей системы сил, и в любой точке этой линии М_гл = 0 .

3. F_гл = 0, М_гл ≠ 0 . В этом случае система эквивалентна паре сил, т. е. она обладает лишь вращающим действием.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от центра приведения, ибо уравновешенная система сил не может быть эквивалентна разным парам.

4. Fгл = 0, Мгл = 0 . В этом случае система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии.

Аналитическое условие равновесия плоской системы произвольно расположенных сил

Как известно, плоская система произвольно расположенных сил находится в равновесии, когда главный вектор и главный момент равны нулю:

Но F_гл = F_Σ и равенство F_гл = 0 означает, что силовой многоугольник, построенный на силах данной системы, должен быть замкнут, следовательно, алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух осей координат x и y должна равняться нулю, т. е.:

Главный момент М_гл = ΣМ_О(F_i) и равенство М_гл = 0 означают, что алгебраическая сумма моментов сил данной системы относительно любого центра приведения равняется нулю, следовательно:

Итак, для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат x и y равнялись нулю, и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Условие равновесия упрощенно запишем в виде равенств:

ΣX = 0; ΣY = 0; ΣM = 0.

Очевидно, что выведенные ранее условия равновесия системы сходящихся сил, системы непараллельных сил и системы пар являются частными случаями общего условия равновесия для плоской системы произвольно расположенных сил.

Следует отметить, что поскольку аналитические условия равновесия справедливы для любых прямоугольных осей координат, то в процессе решения задачи или при проверке правильности ее решения, оси координат можно изменять, т. е. одни уравнения проекций сил составлять для одной системы координат, а другие – для новой системы координат. Этот прием в некоторых случаях упрощает решение задачи или проверку правильности решения.

При решении задач статики аналитическим способом целесообразно составлять уравнения равновесия так, чтобы в каждом из них было как можно меньше неизвестных величин (в идеале – лишь одна неизвестная величина). Во многих случаях этого можно достигнуть рациональным выбором осей координат и центров моментов.

С примерами решения задач статики, основывающихся на условии равновесия плоской системы сил можно ознакомиться здесь.

🎦 Видео

Определение реакций опор в балке. Сопромат.Скачать

Основная теорема статикиСкачать

2.2. Главный вектор и главный момент плоской системы сил. Приведение к простейшему видуСкачать

Теоретическая механика. Нахождение реакций связей на при плоской системе сил. Задача 1, часть 1Скачать

Приведение системы сил к простейшему видуСкачать

Основные определения статикиСкачать

Техническая механика/Определение реакций в жесткой заделке.Скачать

Статика. Пара сил. Лекция (17)Скачать

Принцип ДаламбераСкачать