Вся теория по четырехугольникам к огэ

Содержимое публикации

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

P = 4a – периметр

– сторона ч/з периметр

S = a 2 – площадь ч/з сторону

– площадь ч/з диагональ

1) противоложные стороны равны;

2) противолежные углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) диагонали равны;

5) диагонали взаимно перпендикулярны;

6) диагонали делят углы пополам

Прямоугольник – этопараллелограмм, у которого все углы прямые.

S = a b — площадь

,  — угол м/у диагоналями

1) противолежащие стороны равны;

2) противолежащие углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180;

5) диагонали равны.

Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.

Если в параллелограмме сумма двух противоположных углов равна 180 — это прямоугольник.

В четырехугольнике, в котором три угла прямые – прямоугольник.

Если биссектриса прямоугольника делит пополам сторону, которую она пересекает, то одна из сторон прямоугольника в два раза больше другой его стороны.

Если все углы четырехугольника равны – это прямоугольник.

Если в четырехугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – прямоугольник.

Параллелограмм – это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

1) противолежащие стороны равны;

2) противолежащие углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180.

1) Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2) Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3) Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

4) Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон равна 180, то этот четырехугольник — параллелограмм.

5) Если противоположные углы четырехугольника равны, то такой четырехугольник – параллелограмм

Любой отрезок с концами на противолежащих сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам.

Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны

Биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой.

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.

Чтобы установить, что четырехугольник – параллелограмм, докажите, что в нем:

ЛИБО 1) противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма);

2) противоположные стороны попарно равны (признак);

3) две противоположные стороны равны и параллельны (признак);

4) диагонали точкой их пересечения делятся пополам (признак).

Для того, чтобы установить, что данный параллелограмм – прямоугольник, докажите, что у него:

ЛИБО 1) все его углы прямые (определение прямоугольника);

2) диагонали равны (признак).

Для утверждения, что четырехугольник является прямоугольником, докажите, что:

ЛИБО 1) этот четырехугольник – параллелограмм, а параллелограмм — прямоугольник;

2) три угла четырехугольника – прямые.

P = 4a – периметр

Ромб – это параллелограмм, в котором все стороны равны.

1) противолежащие стороны равны;

2) противолежащие углы равны;

3) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180;

5) диагонали взаимно перпендикулярны;

6) диагонали делят углы пополам.

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Диагональ ромба разделяет его на два равных треугольника.

Диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольника.

Ромб, в котором один угол nрямой, — квадрат

Четырёхугольник, все стороны которого равны, является ромбом.

Параллелограмм, диагонали которого делят углы пополам, — ромб.

Чтобы установить, что данный параплелограмм — ромб, докажите, что в нем:

ЛИБО 1) все стороны равны (определение ромба);

2) диагонали взаимно перпендикулярны (признак);

ТРАПЕЦИЯ

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

a, b – основания трапеции

m – средняя линия

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Свойство средней линии трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ – трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (или один угол равен 90)

Сумма градусных мер двух углов трапеции. Прилежащих к боквой стороне, равна 180.

РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ – трапеция, в которой боковые стороны равны.

углы при основании равны;

диагонали равнобедренной трапеции равны.

диагонали образуют с ее основанием равные углы

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию, то диагональ, соединяющая их концы, — биссектриса угла, прилежащего к большему основанию.

Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна ее высоте.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

В равнобедренной трапеции сумма противолежащих углов равна 180

Если в трапеции сумма противополжных углов равна 180, то трапеция равнобедренная

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительне построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне, и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Всероссийский конкурс профессионального мастерства «СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ: ОПЫТ И ПЕРСПЕКТИВЫ »

Международный детско-юношеский конкурс писательского мастерства «МОЯ ИСТОРИЯ »

Всероссийский конкурс детско-юношеского творчества, посвященный Дню Неизвестного солдата «ИМЯ ТВОЕ НЕИЗВЕСТНО, ПОДВИГ ТВОЙ БЕССМЕРТЕН »

Если вам понравилась статья, лучший способ сказать cпасибо — это поделиться ссылкой со своими друзьями в социальных сетях 🙂

Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.

Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:

Схема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.

1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне:

3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

В равнобедренной трапеции

• углы при основании равны,
• проекции боковых сторон на основание равны: .

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Параллелограм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: В параллелограмме:

• противоположные стороны и противоположные углы равны
• диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

или произведению сторон на синус угла между ними:

:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны:

• противоположные углы равны
• диагонали точкой пересечения делятся пополам
• диагонали взаимно перпендикулярны
• диагонали ромба являются биссектрисами углов

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:

• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

• все углы равны 90 градусов
• диагонали точкой пересечения делятся пополам
• диагонали взаимно перпендикулярны
• диагонали являются биссектрисами углов
• диагонали равны

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение четырехугольника

• Выпуклые четырехугольники

• Параллелограмм

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

• Противолежащие стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
• Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
• Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны.
• Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

• Сохраняет свойства ромба.
• Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками