Треугольник с углом 120 в окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:№707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторонаСкачать

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

• Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
• Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

• sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
• sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
• sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Видео:Геометрия В равнобедренный треугольник с углом 120 при вершине и боковой стороной а вписанаСкачать

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° — α)

Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Треугольник с углом 120 в окружности

Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине М. Образующая конуса равна Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник — тупоугольный.

б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.

а) Пусть АВ — диаметр окружности, MО — высота конуса, и пусть плоскость сечения перпендикулярна образующей АМ и пересекает основание по хорде CD. Прямая АМ лежит в плоскости АМВ и перпендикулярна хорде CD. Прямая MO лежит в плоскости АМВ и перпендикулярна хорде CD как высота конуса, следовательно, плоскость АМВ перпендикулярна прямой CD, а значит, диаметр АВ перпендикулярен хорде CD. Пусть К — точка их пересечения. Заметим, что образующие MA, MB, MC и MD равны угол АМВ равен 120°, откуда получаем, что углы МАВ и МВА равны по 30°, следовательно,

Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольных треугольниках АМО и ВМО катеты АО и ВО равны 3, значит, диаметр АВ равен 6. Рассмотрим треугольник АМК: он прямоугольный, так как прямые АМ и МК перпендикулярны, с острым углом МAК, который равен 30°. Таким образом, АК = 2МК = 2х. Найдем х по теореме Пифагора для этого треугольника:

Рассмотрим теперь треугольник MCD, полученный в сечении. Он равнобедренный, в нем стороны MC и MD равны а высота МК равна 2. Таким образом,

значит,

В треугольнике MCD:

Таким образом, получаем, что треугольник MCD — тупоугольный.

б) В плоскости МАВ из точки О опустим перпендикуляр ОН на прямую МК. Так как прямая СD перпендикулярна плоскости МАВ, то прямые ОН и СD перпендикулярны и, следовательно, ОН является искомым расстоянием. Заметим, что АК = 2МК = 4, а ОК = АК − АО = 1. Вычислим площадь треугольника МОК двумя способами:

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Построение угла 120 градусов с помощью циркуля и линейки.Скачать Решение №474 В треугольнике ABC сторона AB равна 2 корень из 3, угол C равен 120°. В треугольнике ABC сторона AB равна 2√3, угол C равен 120 градусов. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. Источник: Досрочная волна 2020 Решение: По расширенной теореме синусов: R = 2 Ответ: 2. Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение! Насколько понятно решение? Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 24 Оценок пока нет. Поставь оценку первым. Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️ Вступай в группу vk.com 😉 Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил. 📽️ Видео Нахождение диаметра описанной окружностиСкачать №259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать 16 заание ОГЭ . 16.3.4. Равнобедренные треугольникиСкачать Как начертить три линии под 120 градусов и шестиугольникСкачать Равнобедренный треугольник с углом 120°Скачать Радиус описанной окружностиСкачать Треугольник и окружность #shortsСкачать 44 Треугольник с вершинами в основаниях биссектрис треугольника с углом величины 120 градусовСкачать Геометрия Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120, если радиус вписанного круга равенСкачать Геометрия, 10 класс | Треугольники с углами 60 и 120 градусов. Часть 1Скачать Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 НайдитеСкачать №250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребраСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности