Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):

( small r= frac, )(1)
( small p= frac. )(2)

Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:

( small S= large frac small cdot a cdot b. )(3)

Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

( small r= large frac<fracab><frac(a+b+c)> ) ( small = large frac, )(4)
( small c= sqrt. )(5)

Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на ( small a+b-c ):

( small r= frac ) ( small = frac ) ( small = frac )(6)

Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:

( small r= frac ) ( small = frac .)

Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:

( small r= frac ,)(7)

где c вычисляется из (5).

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Подставим значения ( small a=17, ; b=5; c=17.720045 ) в (7):

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Ответ: Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник
( small frac=frac .)

Учитывая, что ( small alpha=90°-beta ) и ( small sin (90°-beta)=cos beta ), получим:

( small frac=frac ) ( small =frac=frac .)(8)

Тогда из (8) получим:

( small b=frac. )(9)

Далее, из теоремы синусов:

( small frac=frac ) ( small =frac=frac .)
( small c=frac .)(10)

Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения ( small b ) и ( small c ) из (9) и (10) в (7):

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольникВпишите окружность в данный прямоугольный треугольник
Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник(11)

Пример 2. Известны катет ( small a=21 ) и прилежащий к нему угол ( small beta=30° ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=21 ) ( small beta=30° ) в (11):

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Ответ: Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha; ) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:

( small alpha+beta=90°) ( small beta=90°-alpha )

Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольникВпишите окружность в данный прямоугольный треугольник
Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник(12)

Пример 3. Известны катет ( small a=6 ) прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha=53°. ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение ( small a=6, ; alpha=53° ) в (12):

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Ответ: Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольникДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольникAK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольникДано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

1) Проведем отрезки OK и OF.

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Видео:4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangleСкачать

4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangle

Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник

Тема этого занятия – «Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде». Для начала дадим еще раз определение прямоугольному треугольнику, повторим основные тригонометрические функции и формулы, в которых он применяется. Решим задачи на вписанную в такие треугольники окружность и описанную вокруг них окружность.

📸 Видео

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружности

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формула радиуса вневписанной окружности в прямоугольный треугольник, касающейся гипотенузы.Скачать

Формула радиуса вневписанной окружности в прямоугольный треугольник, касающейся гипотенузы.

Прямоугольный треугольник со вписанной окружностьюСкачать

Прямоугольный треугольник со вписанной окружностью

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: