Даны два n мерных вектора найти сумму этих векторов

Ввод массива Паскаля

Для того чтобы ввести значения элементов массива, необходимо последовательно изменять значение индекса, начиная с первого до последнего, и вводить соответствующий элемент. Для реализации этих действий удобно использовать цикл с заданным числом повторений, т.е. простой арифметический цикл, где параметром цикла будет выступать переменная – индекс массива Паскаля. Значения элементов могут быть введены с клавиатуры или определены с помощью оператора присваивания.

Begin

For i:=1 to 10 do

2. Способы заполнения массивов:

Вывод массива Паскаля

Вывод массива в Паскале осуществляется также поэлементно, в цикле, где параметром выступает индекс массива, принимая последовательно все значения от первого до последнего.

Пример фрагмента программы вывода массива Паскаля

Var
A: array [1..10] of integer;
I : byte ;
Begin
For i :=1 to 10 do
Write ( a [ i ],’ ‘);

Вывод можно осуществить и в столбик с указанием соответствующего индекса. Но в таком случае нужно учитывать, что при большой размерности массива все элементы могут не поместиться на экране и будет происходить скроллинг, т.е. при заполнении всех строк экрана будет печататься очередной элемент, а верхний смещаться за пределы экрана.

Пример программы вывода массива Паскаля в столбик

На экране мы увидим, к примеру, следующие значения:

Пример решения задачи с использованием массивов Паскаля

Задача: даны два n -мерных вектора. Найти сумму этих векторов.

• Входными данными в этой задаче будут являться два одномерных массива. Размер этих массивов может быть произвольным, но определенным. Т.е. мы можем описать заведомо большой массив, а в программе определить, сколько элементов реально будет использоваться. Элементы этих массивов могут быть целочисленными. Тогда описание будет выглядеть следующим образом:

var a , b : array [1..100] of integer ;

• Выходными данными будут элементы результирующего массива, назовем его c . Тип результирующего массива также должен быть целочисленным.
• Кроме трех массивов нам потребуется переменная – параметр цикла и индекс массива, назовем ее i , а также переменная n для определения количества элементов в каждом массиве.

Ход решения задачи:

• определим количество элементов (размерность) массивов, введем значение n ;
• введем массив a ;
• введем массив b ;
• в цикле, перебирая значения индекса i от 1 до n , вычислим последовательно значения элементов массива c по формуле:

c [ i ]= a [ i ]+ b [ i ];

• выведем на экран полученный массив.

Пример программы суммирования векторов

Program summa;
Var
a, b, c: array [1..100] of integer;
I, n: byte;
Begin
Write (‘введите размерность массивов:’);
Readln(n);
For i:=1 to n do
Readln (a[i]);
For i:=1 to n do
Readln (b[i]);
For i:=1 to n do
C[i]:=a[i]+b[i];
For i:=1 to n do
write (c[i],’ ‘);
end.

Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение, свойства

В статьях ранее мы рассматривали понятие вектора как элемента плоскости или пространства, т.е. геометрического объекта, имеющего конкретные очертания. Однако также возможно взглянуть на понятие с алгебраической точки зрения, когда вектор — уже не отрезок с заданным направлением, а упорядоченный комплекс чисел с определенными свойствами.

n -вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.

Записывается в виде строки a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) или столбца a = a 1 a 2 ⋮ a n , где

a i – координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.

Размерность n -вектора – это количество его координат. Например, задан n -мерный вектор b → с координатами (2, -5, 3, 9). Заданный вектор является четырёхмерным.

Равные n -векторы – n -векторы, имеющие одну и ту же размерность, а также равенство одноименных координат.

Нулевой вектор – вектор, у которого все координаты равны нулю: 0 = ( 0 , 0 , . . , 0 )

Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,

a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n )

— a = ( — a 1 , — a 2 , . . . , — a n )

Над n -мерными векторами возможно проведение операций сложения и умножения на число.

Сложение n-векторов

Результатом сложения двух n -мерных векторов будет вектор, координаты которого являются суммой соответствующих координат заданных векторов.

Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.

Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и a = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) .

Результатом будет вектор a + b = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a n + b n ) .

Операция вычитания отдельно не рассматривается, поскольку по сути разностью векторов a и b является сумма векторов а и – b .

Умножение n-вектора на число

Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.

Исходные данные: a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) и число λ .

Результатом произведения будет:

λ · a = ( λ · a 1 , λ · a 2 , . . . , λ · a n )

Множество всех n -векторов с производимыми действиями умножения на число и сложения составляют линейное пространство.

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами

Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.

Свойства операций над n-мерными векторами

Исходные данные: векторы a = ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) , b = ( b 1 , b 2 , . . . , b n ) , c = ( c 1 , c 2 , . . . , c n ) и действительные или комплексные числа λ , μ .

1. Свойство коммутативности: a + b = b + a .
2. Свойство ассоциативности: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) .
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор): a + 0 = a .
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное 1): 1 · а = а

Любой ненулевой вектор а имеет противоположный вектор — а и верным является равенство:

Сочетательное свойство умножения: ( λ · μ ) · a = λ · ( μ · a ) .

Первое распределительное свойство: ( λ + μ ) · a = λ · a + μ · a .

Второе распределительное свойство: λ · ( a + b ) = λ · a + λ · b .

Рассмотри некоторые примеры по теме.

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Необходимо найти сумму и разность векторов.

Решение

Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:

a + b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 + 1 2 , 2 + ( — 1 ) , 7 + ln 5 , 0 + 2 . 3 ) = = ( 3 2 , 2 — 1 , 7 + ln 5 , 2 . 3 )

Разницей исходных векторов будет являться сумма векторов a и b · ( — 1 ) :

a — b = a + ( — 1 ) · b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 ) · ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Выполним умножение вектора на число:

a — b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 ) · ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( ( — 1 ) · 1 2 , ( — 1 ) · ( — 1 ) , ( — 1 ) · ln 5 , ( — 1 ) · 2 . 3 ) = = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 2 , 1 , ln 1 5 , — 2 . 3 )

И совершим действие сложения:

a — b = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 1 2 , 1 , ln 1 5 , — 2 . 3 ) = = ( 1 + ( — 1 2 ) , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , 0 + ( — 2 . 3 ) ) = = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , — 2 . 3 )

Ответ:

a + b = ( 3 2 , 2 — 1 , 7 + ln 1 5 , 2 . 3 ) a — b = ( 1 2 , 2 + 1 , 7 + ln 1 5 , — 2 . 3 )

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 )

Необходимо найти вектор: a — 2 · ( b + 3 · a )

Решение

Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:

a — 2 · ( b + 3 · a ) = a — 2 · b — 6 · a = — 5 · a + ( — 2 ) · b

Определим координаты полученного вектора:

— 5 · a + ( — 2 ) · b = = — 5 · ( 1 , 2 , 7 , 0 ) + ( — 2 ) ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) = = ( ( — 5 ) · 1 , ( — 5 ) · 2 , ( — 5 ) · 7 , ( — 5 ) · 0 ) + + ( ( — 2 ) · 1 2 , ( — 2 ) · ( — 1 ) , ( — 2 ) · ln 5 , ( — 2 ) · 2 . 3 ) = = ( — 5 , — 5 2 , — 35 , 0 ) + ( — 1 , 2 , ln 1 25 , — 4 . 6 ) = = ( — 5 + ( — 1 ) , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , 0 + ( — 4 . 6 ) ) = = ( — 6 , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , — 4 . 6 )

Ответ:

a — 2 · ( b + 3 · a ) = ( — 6 , — 5 2 + 2 , — 35 + ln 1 25 , — 4 . 6 )

Исходные данные: векторы с = 1 2 — 3 , d = 0 0 3 , e = — 1 — 1 1

Необходимо определить координаты вектора: c + d + 2 e

Решение

Выполним операцию умножения вектора е на число 2, а затем найдем сумму:

c + d + 2 · e = 1 2 — 3 + 0 0 3 + 2 · — 1 — 1 1 = = 1 2 — 3 + 0 0 3 + 2 · ( — 1 ) 2 · ( — 1 ) 2 · 1 = = 1 2 — 3 + 0 0 3 + — 2 — 2 2 = = 1 + 0 + ( — 2 ) 2 + 0 + ( — 2 ) — 3 + 3 + 2 = — 1 0 2

Ответ: c + d + 2 · e = — 1 0 2

Исходные данные: векторы a = ( 1 , 2 , 7 , 0 ) , b = ( 1 2 , — 1 , ln 5 , 2 . 3 ) , f = ( 4 , 11 , 21 )

Необходимо найти вектор: 3 · a + 2 · b — 7 · ( a + f )

Решение

Исходные векторы имеют разную размерность ( а и f ), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.

Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.

Сложение и вычитание векторов

Формулы сложения и вычитания векторов

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a_n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b_n > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Примеры задач на сложение и вычитание векторов

Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов

Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов

Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.