Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.
От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.
Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).
Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой
c» />
a» />
b» />
В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.
Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)
Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.
- Теорема косинусов и синусов
- Формулировка и доказательство теоремы косинусов
- Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
- Косинусы углов треугольника
- Определение угла с помощью косинуса
- Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
- Примеры решения задач
- Косинус по сторонам треугольника
- Теорема косинусов и синусов
- Формулировка и доказательство теоремы косинусов
- Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
- Косинусы углов треугольника
- Определение угла с помощью косинуса
- Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
- Примеры решения задач
- Теорема косинусов
- Следствия
- Следствие косинуса угла треугольника
- Следствие верхней части формулы cos α
- Доказательство теоремы косинусов
- Теорема косинусов для равнобедренного треугольника
- Теорема синусов
- Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.
- Следствие из теоремы косинусов.
Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать
Теорема косинусов и синусов
О чем эта статья:
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Видео:№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),Скачать
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°. Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать О чем эта статья: Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула Теоремы Пифагора: a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза. Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула теоремы косинусов: a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу: В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0). BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2 cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество. Что и требовалось доказать. Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков. С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника: Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов. Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит: Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC: Приравниваем правые части уравнений: Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше. Определим стороны b и c: Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть: a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника. Видео:Известен косинус угла треугольника, найти сторонуСкачать Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов: Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать А теперь обратим внимание на углы. Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса). Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM. Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°. Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°) Видео:ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрияСкачать При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи. Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ. ∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.Косинус по сторонам треугольника
Теорема косинусов и синусов
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Косинусы углов треугольника
Определение угла с помощью косинуса
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Если cos αПримеры решения задач
Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.
- Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.
Видео:№1016. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.Скачать
Теорема косинусов
Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.
- a² = b² + c² – 2b.c.cosα
- b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
- c² = a² + b² – 2a.b.cosγ
Например:
Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.
Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:
cos α = cos 120º = — 1/2 (это значение можно найти в таблицах)
a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)
Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.
Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать
Следствия
Следствие косинуса угла треугольника
При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.
Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.
Решение:
Будем использовать эту версию формулы:
cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8
Следствие верхней части формулы cos α
Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):
- b²+c²−a² 0, значит угол α — острый.
Видео:Вычисляем угол через координаты вершинСкачать
Доказательство теоремы косинусов
Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C
1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a CD = a.cos C.
2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:
3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:
sin C = BD/a BD = a.sinC.
4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²
5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²
6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C
6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC
7. Выносим за скобки «a²»: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC
8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C
Видео:9 класс, 14 урок, Теорема косинусовСкачать
Теорема косинусов для равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике:
- две его стороны равны;
- углы при основании равны.
Используем формулу теоремы косинусов
a² = b² + c² – 2b.c.cosα
Подставляем все известные:
x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º
x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)
Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать
Теорема синусов
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:
Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.
Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.
Теорема косинусов:
Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение:
Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Следствие из теоремы косинусов.
- Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:
h 2 = a 2 — (c – b cos α) 2 (2)
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):
b 2 — (b cos α) 2 = a 2 — (c — b cos α) 2
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α.
Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определить стороны b и c: