Вписать ромб в четырехугольник

Содержание
  1. С помощью циркуля и линейки впишите ромб в данный параллелограмм так, чтобы стороны ромба были параллельны диагоналям параллелограмма, а вершины ромба лежали бы на сторонах параллелограмма.
  2. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  3. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  4. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  5. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  6. Параллелограмм
  7. Параллелограмм и его свойства
  8. Признаки параллелограмма
  9. Прямоугольник
  10. Признак прямоугольника
  11. Ромб и квадрат
  12. Свойства ромба
  13. Трапеция
  14. Средняя линия треугольника
  15. Средняя линия трапеции
  16. Координаты середины отрезка
  17. Теорема Пифагора
  18. Справочный материал по четырёхугольнику
  19. Пример №1
  20. Признаки параллелограмма
  21. Пример №2 (признак параллелограмма).
  22. Прямоугольник
  23. Пример №3 (признак прямоугольника).
  24. Ромб. Квадрат
  25. Пример №4 (признак ромба)
  26. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  27. Пример №5
  28. Пример №6
  29. Трапеция
  30. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  31. Центральные и вписанные углы
  32. Пример №8
  33. Вписанные и описанные четырёхугольники
  34. Пример №9
  35. Пример №10
  36. Окружность, вписанная в четырехугольник
  37. 📺 Видео

Видео:В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.Скачать

В четырехугольник вписан ромб, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника.

С помощью циркуля и линейки впишите ромб в данный параллелограмм так, чтобы стороны ромба были параллельны диагоналям параллелограмма, а вершины ромба лежали бы на сторонах параллелограмма.

Предположим, что задача решена. Пусть вершины M, N, K и L ромба MNKL расположены на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD данного параллелограмма ABCD, причём LM || BD и MN || AC.

Пусть M1 — произвольная точка отрезка AM. Рассмотрим гомотетию с центром A, переводящую точку M в точку M1. При этой гомотетии ромб MNKL перейдёт в ромб M1N1K1L1, причём вершины L1, K1 и N1 будут лежать на отрезках AD, AK и AN соответственно, а стороны полученного ромба будут параллельны диагоналям данного параллелограмма.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Через точку M1 стороны AB проведём прямую, параллельную диагонали BD данного параллелограмма ABCD, до пересечения со стороной AD в точке L1. Через точки M1 и L1 проведём прямые, параллельные диагонали AC, и отложим на них в полуплоскости, содержащей вершину C, отрезки L1K1 и M1N1, равные отрезку L1M1.

Продолжим отрезки AN1 и AK1 до пересечения со сторонами BC и DC в точках N и K соответственно. Через точки N и K прведём прямые, параллельные диагонали AC, до пересечения со сторонами AB и AD в точках M и L соответственно.

Докажем, что четырехугольник MNKL — ромб. Для этого достатачно доказать, что KN || BD, поскольку тогда четырёхугольник MNKL будет гомотетичен ромбу M1N1K1L1.

Обозначим через E и F точки пересечения прямых AK и AN с диагональю BD, а через Q и H — точки пересечения прямых AK и AN с прямой, проходящей через вершину C параллельно диагонали BD. Прямая AC проходит через середины сторон M1L1 и K1N1 ромба M1L1K1N1. Поэтому QC = HC и OE = OF, где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Поскольку DO = OB, то DE = BF. Поэтому

Вписать ромб в четырехугольник= Вписать ромб в четырехугольник= Вписать ромб в четырехугольник= Вписать ромб в четырехугольник.

Предположим, что задача решена. Пусть вершины M, N, K, L ромба MNKL расположены на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD данного параллелограмма ABCD.

Точка пересечения диагоналей ромба принадлежит средним линиям параллелограмма. Поэтому она совпадает с точкой O пересечения диагоналей параллелограмма.

Обозначим через X и Y точки пересечения отрезков ML и MN с диагоналями параллелограмма. Тогда MX = Вписать ромб в четырехугольникML = Вписать ромб в четырехугольникMN = MY.

Поэтому MXOY — ромб, а его диагональ OM является биссектрисой угла AOB. Аналогично для отрезков OL, OK и ON.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим биссектрисы углов AOB и BOC. Их пересечения со сторонами данного параллелограмма — вершины данного ромба.

Действительно, диагонали полученного таким образом четырёхугольника взаимно перпендикулярны и делятся точкой их пересечения пополам. С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника

Вписать ромб в четырехугольник= Вписать ромб в четырехугольник= Вписать ромб в четырехугольник= Вписать ромб в четырехугольник.

Следовательно, MN || AC. Аналогично ML || BD.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Вписать ромб в четырехугольник

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Вписать ромб в четырехугольник

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Вписать ромб в четырехугольник

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Вписать ромб в четырехугольник

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Вписать ромб в четырехугольникуглы Вписать ромб в четырехугольникявляются внешними.

Вписать ромб в четырехугольник

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Вписать ромб в четырехугольникГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Вписать ромб в четырехугольникВписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Вписать ромб в четырехугольникДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Вписать ромб в четырехугольникВписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Вписать ромб в четырехугольник

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Вписать ромб в четырехугольник

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Вписать ромб в четырехугольникто параллелограмм Вписать ромб в четырехугольникявляется ромбом.

Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство теоремы 1.

Дано: Вписать ромб в четырехугольникромб.

Докажите, что Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство (словестное): По определению ромба Вписать ромб в четырехугольникПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Вписать ромб в четырехугольникравнобедренный. Медиана Вписать ромб в четырехугольник(так как Вписать ромб в четырехугольник), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Вписать ромб в четырехугольникТак как Вписать ромб в четырехугольникявляется прямым углом, то Вписать ромб в четырехугольник. Аналогичным образом можно доказать, что Вписать ромб в четырехугольник

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Вписать ромб в четырехугольник

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Вписать ромб в четырехугольник

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

План доказательства теоремы 2

Дано: Вписать ромб в четырехугольникравнобедренная трапеция. Вписать ромб в четырехугольник

Докажите: Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Вписать ромб в четырехугольниктогда Вписать ромб в четырехугольникЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Вписать ромб в четырехугольникпроведем параллельную прямую к прямой Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Вписать ромб в четырехугольникчерез точку Вписать ромб в четырехугольник— середину стороны Вписать ромб в четырехугольникпроведите прямую параллельную Вписать ромб в четырехугольникКакая фигура получилась? Является ли Вписать ромб в четырехугольниктрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Вписать ромб в четырехугольникМожно ли утверждать, что Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. Пусть дан треугольник Вписать ромб в четырехугольники его средняя линия Вписать ромб в четырехугольникПроведём через точку Вписать ромб в четырехугольникпрямую параллельную стороне Вписать ромб в четырехугольникПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Вписать ромб в четырехугольникт.е. совпадает со средней линией Вписать ромб в четырехугольникТ.е. средняя линия Вписать ромб в четырехугольникпараллельна стороне Вписать ромб в четырехугольникТеперь проведём среднюю линию Вписать ромб в четырехугольникТ.к. Вписать ромб в четырехугольникто четырёхугольник Вписать ромб в четырехугольникявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Вписать ромб в четырехугольникПо теореме Фалеса Вписать ромб в четырехугольникТогда Вписать ромб в четырехугольникТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Вписать ромб в четырехугольник

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство: Через точку Вписать ромб в четырехугольники точку Вписать ромб в четырехугольниксередину Вписать ромб в четырехугольникпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Вписать ромб в четырехугольникчерез Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Вписать ромб в четырехугольникрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Вписать ромб в четырехугольникЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Вписать ромб в четырехугольники Вписать ромб в четырехугольники точка Вписать ромб в четырехугольниккоторая является серединой отрезка Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольникто Вписать ромб в четырехугольника отсюда следует, что Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

2) По теореме Фалеса, если точка Вписать ромб в четырехугольникявляется серединой отрезка Вписать ромб в четырехугольникто на оси абсцисс точка Вписать ромб в четырехугольникявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Вписать ромб в четырехугольники Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

3) Координаты середины отрезка Вписать ромб в четырехугольникс концами Вписать ромб в четырехугольники Вписать ромб в четырехугольникточки Вписать ромб в четырехугольникнаходятся так:

Вписать ромб в четырехугольник

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Вписать ромб в четырехугольникпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Вписать ромб в четырехугольниккак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Вписать ромб в четырехугольник

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Вписать ромб в четырехугольник

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Вписать ромб в четырехугольниккак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Вписать ромб в четырехугольник

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Вписать ромб в четырехугольник

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Вписать ромб в четырехугольник

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Вписать ромб в четырехугольникто, Вписать ромб в четырехугольник— прямоугольный.

Вписать ромб в четырехугольник

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Вписать ромб в четырехугольникявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Вписать ромб в четырехугольниктакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Вписать ромб в четырехугольник(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Вписать ромб в четырехугольникВписать ромб в четырехугольник

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Вписать ромб в четырехугольник

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Вписать ромб в четырехугольник, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Вписать ромб в четырехугольник

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Вписать ромб в четырехугольник=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Вписать ромб в четырехугольник+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Вписать ромб в четырехугольник. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Вписать ромб в четырехугольник. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Вписать ромб в четырехугольник

Решение:

Вписать ромб в четырехугольник(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Вписать ромб в четырехугольник(АВ CD, ВС-секущая), Вписать ромб в четырехугольник(ВС || AD, CD — секущая), Вписать ромб в четырехугольник(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. Вписать ромб в четырехугольникпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Вписать ромб в четырехугольниккак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Вписать ромб в четырехугольник

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Вписать ромб в четырехугольник

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Вписать ромб в четырехугольникпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Вписать ромб в четырехугольник Вписать ромб в четырехугольникУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Вписать ромб в четырехугольник

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Вписать ромб в четырехугольник

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Вписать ромб в четырехугольникпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Вписать ромб в четырехугольниккак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Вписать ромб в четырехугольникНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Вписать ромб в четырехугольник

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Вписать ромб в четырехугольникпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Вписать ромб в четырехугольниккак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Вписать ромб в четырехугольникНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Вписать ромб в четырехугольник

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Вписать ромб в четырехугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Вписать ромб в четырехугольник

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Вписать ромб в четырехугольникМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Вписать ромб в четырехугольник. Вписать ромб в четырехугольникпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Вписать ромб в четырехугольник. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Вписать ромб в четырехугольник. По свойству углов четырёхугольника, Вписать ромб в четырехугольник

Следовательно, Вписать ромб в четырехугольник: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Вписать ромб в четырехугольник

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Вписать ромб в четырехугольник

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Вписать ромб в четырехугольник

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Вписать ромб в четырехугольник. Вписать ромб в четырехугольник

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Вписать ромб в четырехугольник

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Вписать ромб в четырехугольник(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Вписать ромб в четырехугольникпо двум сторонами и углу между ними.

Вписать ромб в четырехугольник

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Вписать ромб в четырехугольникпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Вписать ромб в четырехугольник

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Вписать ромб в четырехугольник

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Вписать ромб в четырехугольник

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Вписать ромб в четырехугольник

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Вписать ромб в четырехугольник

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Вписать ромб в четырехугольники Вписать ромб в четырехугольникПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Вписать ромб в четырехугольникпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Вписать ромб в четырехугольникПри помощи циркуля сравните длины отрезков Вписать ромб в четырехугольникСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Доказать: Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. Проведём через точки Вписать ромб в четырехугольникпрямые Вписать ромб в четырехугольникпараллельные ВС. Вписать ромб в четырехугольникпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Вписать ромб в четырехугольникпо условию, Вписать ромб в четырехугольниккак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Вписать ромб в четырехугольники Вписать ромб в четырехугольниккак противоположные стороны параллелограммов Вписать ромб в четырехугольник

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Вписать ромб в четырехугольник

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Вписать ромб в четырехугольник

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Вписать ромб в четырехугольникПроведём прямую Вписать ромб в четырехугольник. Через точки Вписать ромб в четырехугольникпроведём прямые, параллельные прямой Вписать ромб в четырехугольник. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Вписать ромб в четырехугольник, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Вписать ромб в четырехугольник

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Вписать ромб в четырехугольник(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Вписать ромб в четырехугольник

Доказать: Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Вписать ромб в четырехугольник. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Вписать ромб в четырехугольник. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Вписать ромб в четырехугольник

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Вписать ромб в четырехугольник

Поэтому Вписать ромб в четырехугольник. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Вписать ромб в четырехугольник

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРВписать ромб в четырехугольник, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Вписать ромб в четырехугольник

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Вписать ромб в четырехугольник

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Вписать ромб в четырехугольник

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Вписать ромб в четырехугольник= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Вписать ромб в четырехугольник

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Вписать ромб в четырехугольникno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Вписать ромб в четырехугольниккак вертикальные, Вписать ромб в четырехугольниквнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Вписать ромб в четырехугольник

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Вписать ромб в четырехугольникравнобедренный. Поэтому Вписать ромб в четырехугольниксоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Вписать ромб в четырехугольник

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Вписать ромб в четырехугольник

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Вписать ромб в четырехугольникВписать ромб в четырехугольник

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Вписать ромб в четырехугольник— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Вписать ромб в четырехугольник. По свойству внешнего угла треугольника, Вписать ромб в четырехугольникВписать ромб в четырехугольник— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Вписать ромб в четырехугольникизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Вписать ромб в четырехугольник

Из доказанного в первом случае следует, что Вписать ромб в четырехугольникизмеряется половиной дуги AD, a Вписать ромб в четырехугольник— половиной дуги DC. Поэтому Вписать ромб в четырехугольникизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Вписать ромб в четырехугольник

Вписать ромб в четырехугольник

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Вписать ромб в четырехугольник

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Вписать ромб в четырехугольниккак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Вписать ромб в четырехугольник, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Вписать ромб в четырехугольник

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Вписать ромб в четырехугольник(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Вписать ромб в четырехугольник(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Вписать ромб в четырехугольник

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Вписать ромб в четырехугольник

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Вписать ромб в четырехугольник

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Вписать ромб в четырехугольник

Доказать: Вписать ромб в четырехугольник

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Вписать ромб в четырехугольник

Тогда Вписать ромб в четырехугольник

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Вписать ромб в четырехугольник

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Вписать ромб в четырехугольник

Докажем, что Вписать ромб в четырехугольник. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Вписать ромб в четырехугольник. По свойству равнобокой трапеции, Вписать ромб в четырехугольник

Тогда Вписать ромб в четырехугольники, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Вписать ромб в четырехугольник

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Вписать ромб в четырехугольник

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Вписать ромб в четырехугольникцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Вписать ромб в четырехугольниквписанного в окружность. Действительно,

Вписать ромб в четырехугольник

Следовательно, четырёхугольник Вписать ромб в четырехугольник— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Вписать ромб в четырехугольник

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Вписать ромб в четырехугольник

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

Вписать ромб в четырехугольник

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )(1)
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )(2)

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. ) Вписать ромб в четырехугольник

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Вписать ромб в четырехугольник

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:

( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )(3)

Но по условию данной теоремы:

( small AB+CD=AD+BC. )(4)

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Вписать ромб в четырехугольник

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.Вписать ромб в четырехугольник

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

📺 Видео

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Шестиугольник в изометрииСкачать

Шестиугольник в изометрии

№539. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственноСкачать

№539. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно

ЧетырехугольникиСкачать

Четырехугольники

Четырехугольник Трапеция Ромб Параллелограмм Прямоугольник Квадрат Окружность и четырехугольникСкачать

Четырехугольник  Трапеция  Ромб  Параллелограмм  Прямоугольник Квадрат  Окружность и четырехугольник

№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:Скачать

№568. Докажите, что четырехугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

Ромб. 8 класс.Скачать

Ромб. 8 класс.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Четырехугольники. Вебинар | Математика

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ: прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция и окружностьСкачать

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ: прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция и окружность

8 класс, 8 урок, Ромб и квадратСкачать

8 класс, 8 урок, Ромб и квадрат
Поделиться или сохранить к себе: