Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей

  • Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.
  • Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.
  • Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.
  • После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.
  • Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

    Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

    Видео:№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

    №208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

    Построение параллелограмма

    Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей

    Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

    Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

  • По построению AB=BD=AD.
  • Следовательно, AB=CD.
  • Точки C и D равноудалены от A и B.
  • Отрезки AB и CD параллельны.
  • Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

    Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

    Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

    Видео:УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

    УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 класс

    Внутренние односторонние углы

    Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

    Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

    При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей∠1 и ∠2

    ∠3 и ∠4

    — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

    Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

    Свойство параллельных прямых

    Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущейЕсли a ∥ b, то

    ∠1 + ∠2 = 180º

    (как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).

    Признак параллельных прямых

    Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей ∠3 + ∠4 =180º

    А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

    то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

    Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

    Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

    ∠1 = ∠2

    тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

    Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

    Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

    Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей

    Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

    Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

    Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

    Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

    Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

    Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

    Соответственные углы равны, то есть

    Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

    Накрест лежащие углы равны, то есть

    Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

    Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

    Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

    Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

    2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

    Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

    3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

    Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

    Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

    Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

    🎥 Видео

    Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.Скачать

    Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.

    Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать

    Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

    Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

    Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

    Пары углов в геометрииСкачать

    Пары углов в геометрии

    Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

    Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрия

    Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данирСкачать

    Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данир

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

    ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая. Учимся находить односторонние углы.Скачать

    ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая. Учимся находить односторонние углы.

    Углы, образованные параллельными прямыми и секущейСкачать

    Углы, образованные параллельными прямыми и секущей

    Углы при параллельных прямых и секущей. ОГЭ/ЕГЭ (часть 1)Скачать

    Углы при параллельных прямых и секущей. ОГЭ/ЕГЭ (часть 1)

    Углы при параллельных прямых и секущей | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #егэ #профиль #умскулСкачать

    Углы при параллельных прямых и секущей | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #егэ #профиль #умскул

    Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

    Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

    Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)
  • Поделиться или сохранить к себе: