Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Содержание
  1. Виды треугольников
  2. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  3. Типы треугольников
  4. По величине углов
  5. По числу равных сторон
  6. Вершины углы и стороны треугольника
  7. Свойства углов и сторон треугольника
  8. Теорема синусов
  9. Теорема косинусов
  10. Теорема о проекциях
  11. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  12. Медианы треугольника
  13. Свойства медиан треугольника:
  14. Формулы медиан треугольника
  15. Биссектрисы треугольника
  16. Свойства биссектрис треугольника:
  17. Формулы биссектрис треугольника
  18. Высоты треугольника
  19. Свойства высот треугольника
  20. Формулы высот треугольника
  21. Окружность вписанная в треугольник
  22. Свойства окружности вписанной в треугольник
  23. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  24. Окружность описанная вокруг треугольника
  25. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  26. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  27. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  28. Средняя линия треугольника
  29. Свойства средней линии треугольника
  30. Периметр треугольника
  31. Формулы площади треугольника
  32. Формула Герона
  33. Равенство треугольников
  34. Признаки равенства треугольников
  35. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  36. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  37. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  38. Подобие треугольников
  39. Признаки подобия треугольников
  40. Первый признак подобия треугольников
  41. Второй признак подобия треугольников
  42. Третий признак подобия треугольников
  43. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  44. Что такое треугольник
  45. Определение треугольника
  46. Сумма углов треугольника
  47. Пример №1
  48. Пример №2
  49. О равенстве геометрических фигур
  50. Пример №3
  51. Пример №4
  52. Признаки равенства треугольников
  53. Пример №5
  54. Пример №6
  55. Равнобедренный треугольник
  56. Пример №7
  57. Пример №10
  58. Прямоугольный треугольник
  59. Первый признак равенства треугольников и его применение
  60. Пример №14
  61. Опровержение утверждений. Контрпример
  62. Перпендикуляр к прямой
  63. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  64. Пример №15
  65. Второй признак равенства треугольников и его применение
  66. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  67. Пример №16
  68. Пример №17
  69. Признак равнобедренного треугольника
  70. Пример №18
  71. Прямая и обратная теоремы
  72. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  73. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  74. Пример №19
  75. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  76. Пример №20
  77. Третий признак равенства треугольников и его применение
  78. Пример №21
  79. Свойства и признаки
  80. Признаки параллельности прямых
  81. Пример №22
  82. О существовании прямой, параллельной данной
  83. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  84. Пример №23
  85. Расстояние между параллельными прямыми
  86. Сумма углов треугольника
  87. Пример №24
  88. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  89. Внешний угол треугольника
  90. Прямоугольные треугольники
  91. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  92. Сравнение сторон и углов треугольника
  93. Неравенство треугольника
  94. Пример №25
  95. Справочный материал по треугольнику
  96. Треугольники
  97. Средняя линия треугольника и ее свойства
  98. Пример №26
  99. Треугольник и его элементы
  100. Признаки равенства треугольников
  101. Виды треугольников
  102. Внешний угол треугольника
  103. Прямоугольные треугольники
  104. Всё о треугольнике
  105. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  106. Первый и второй признаки равенства треугольников
  107. Пример №27
  108. Равнобедренный треугольник и его свойства
  109. Пример №28
  110. Признаки равнобедренного треугольника
  111. Пример №29
  112. Третий признак равенства треугольников
  113. Теоремы
  114. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  115. Параллельные прямые
  116. Пример №30
  117. Признаки параллельности двух прямых
  118. Пример №31
  119. Пятый постулат Евклида
  120. Пример №34
  121. Прямоугольный треугольник
  122. Пример №35
  123. Свойства прямоугольного треугольника
  124. Пример №36
  125. Пример №37

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Виды треугольников

Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными.

Определение 1. Треугольник называется остроугольным, если все ее углы острые, т.е. меньше 90° (Рис.1).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Определение 2. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, т.е. больше 90° (Рис.2).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если треугольник тупоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, т.е. равен 90° (Рис.3).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если треугольник прямоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 4. Треугольник называется разносторонним, если длины всех сторон треугольника разные (Рис.4).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Определение 5. Треугольник называется равносторонним или правильным, если длины всех сторон равны (Рис.5).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если длины двух сторон равны (Рис.6).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Типы треугольников

По величине углов

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

По числу равных сторон

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Медианы треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Биссектрисы треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Высоты треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Окружность вписанная в треугольник

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Окружность описанная вокруг треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образование

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 классСкачать

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 класс

Периметр треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Формулы площади треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Подобие треугольников

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Видео:Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрияСкачать

Свойства параллельных прямых - 7 класс геометрия

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваBСА или Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваA, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваB, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваABC = Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Видео:Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиВиды треугольников параллельные прямые и их свойства, тоВиды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаВиды треугольников параллельные прямые и их свойствакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Например, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то подразумевают, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Виды треугольников параллельные прямые и их свойствавины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи то совместятся и стороны:Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваЗначит, если Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато Виды треугольников параллельные прямые и их свойства,Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— два треугольника, у которыхВиды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 1;46). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Наложим Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватаким образом, чтобы вершина Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместилась А, вершина Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— с В, а сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваналожилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюВиды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то при таком положении точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместится с С. В результате все вершины Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместятся с соответствующими вершинами

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

Пусть у Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства, то по двум сторонам и углу между ними Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Из равенства этих треугольников следует:

а) Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то есть углы при основании Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

в) Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваУ нихВиды треугольников параллельные прямые и их свойства, Поэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. По стороне AL и прилежащим к ней углам Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Если представить, что фигура Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. В таком случае фигуры Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо определению равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваЗапись Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваозначает «фигура Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравна фигуре Виды треугольников параллельные прямые и их свойства »

Рассмотрим равные треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойствабудет соответствовать равный элемент треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Условимся, что в записи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствамы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которых Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 58). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваможно наложить на треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак, чтобы точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместились, а стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваналожились на лучи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасоответственно. По условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, следовательно, сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместится со стороной Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— со стороной Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Таким образом, точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместится с точкой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— с точкой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то есть стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, совместятся полностью. Итак, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Тогда, согласно предыдущей задаче, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, с прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Они имеют общую сторону BD, a Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо построению. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Итак, прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваперпендикулярна прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваперпендикулярные прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Но это невозможно, поскольку прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, единственна.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. От любой полупрямой прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойствас начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которых Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 72). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваможно наложить на треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежали по одну сторону от прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. По условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, поэтому сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваналожится на луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— на луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общая точка сторон Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— будет лежать как на луче Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так и на луче Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а также Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Значит, при наложении треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, совместятся полностью, то есть по определению Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваНайдите угол D если Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 85). Соединим точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. У них сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваобщая, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи AD = CD по построению. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку. Отсюда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Поскольку по построению точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежит на луче АВ, угол Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовпадают, то есть точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак углы, смежные с равными углами. Значит, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Виды треугольников параллельные прямые и их свойствано второму признаку Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи биссектриса Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, не совпадающие с Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— Тогда по доказанному выше отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— данные равнобедренные треугольники с основаниями Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— Медианы этих треугольников, причем Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 102). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. По условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваявляются также биссектрисами равных углов Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваотрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойства90°. Таким образом,Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, по второму признаку равенства треугольников, откуда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватогда и Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваЗначит, треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На луче ВD от точки D отложим отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваУ них АD = СD по определению медианы, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо построению, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак вертикальные. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Рассмотрим теперь треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравнобедренный с основанием Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваОтсюда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваа поскольку по доказанному Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Доказав его равенство с треугольником Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которых Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Приложим треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойствак треугольнику Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, вершина Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— с вершиной В, а точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рис. Прикладывание треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойствак треугольнику Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравнобедренные с основанием Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. По свойству равнобедренного треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемВиды треугольников параллельные прямые и их свойства, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— данные треугольники с медианами Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, соответственно, причем Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВ них Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, по условию, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак половины равных сторон Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо условию, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо доказанному).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 119). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если углы 1 и 2 прямые, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. У них Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо условию, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак вертикальные и Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо построению. Итак, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато есть прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваперпендикулярна прямым а и b. Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то прямые параллельны.

Действительно, если Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 120) и по теореме о смежных углах Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда по доказанной теореме Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 121), a Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак вертикальные, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда но доказанной теореме Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— биссектриса угла Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваДокажите, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

По условию задачи треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравнобедренный с основанием Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПо свойству углов равнобедренного треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВместе с тем Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи секущей Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Виды треугольников параллельные прямые и их свойствачто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваНо Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 134). Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда:

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства°, так как углы 1 и 5 соответственные; Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак как углы 2 и 3 вертикальные; Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак как углы 5 и 6 смежные; Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак как углы 7 и 3 соответственные; Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак как углы 8 и 4 соответственные.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— расстояния от точек Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапрямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойствадо прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 135). Докажем, что

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваУ них сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваобщая, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи секущей Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи секущей Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо второму признаку равенства треугольников, откуда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТеорема доказана.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 142, а). Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойстваЗначит, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 142, б). Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваС другой стороны, по теореме о смежных углах Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваОтсюда, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствачто и требовалось доказать.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда для их суммы имеем: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то другие острые углы этих треугольников равны Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— данные прямоугольные треугольники, в которых Виды треугольников параллельные прямые и их свойства90° , Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 152). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На продолжениях сторон Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваотложим отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, равные катетам Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасоответственно. Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, по двум катетам. Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Это значит, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо трем сторонам. Отсюда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваИ наконец, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваОчевидно, что в треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваОтложим на продолжении стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваотрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, равный Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 153). Прямоугольные треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны по двум катетам. Отсюда следует, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТаким образом, треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравносторонний, а отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— его медиана, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойствачто и требовалось доказать.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, поэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, имеем: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваоткуда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

2. Пусть в треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваДокажем от противного, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Если это не так, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваили Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. В обоих случаях имеем противоречие условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Теорема доказана.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТаким образом, в треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТеорема доказана.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Виды треугольников параллельные прямые и их свойства АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравный Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны по двум катетам, откуда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Виды треугольников параллельные прямые и их свойствабудет наименьшей в случае, когда точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствас прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— средняя линия треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— средняя линия треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 105). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

1) Проведем через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапрямую, параллельную Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПо теореме Фалеса она пересекает сторону Виды треугольников параллельные прямые и их свойствав ее середине, то есть в точке Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПоэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

2) Проведем через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапрямую, параллельную Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакоторая пересекает Виды треугольников параллельные прямые и их свойствав точке Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(по теореме Фалеса). Четырехугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— параллелограмм.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(по свойству параллелограмма), но Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Поэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— данный четырехугольник, а точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середины его сторон (рис. 106). Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— средняя линия треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапоэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваАналогично Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Таким образом, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— средняя линия треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПоэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваСледовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— также параллелограмм, откуда: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство:

Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— точка пересечения медиан Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватреугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойствагде Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середина Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середина Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

2) Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— средняя линия треугольника

Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапоэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

3) Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— средняя линия треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапоэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

4) Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваЗначит, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— точка пересечения диагоналей Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапараллелограмма Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапоэтому Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваНо Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваТогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваСледовательно, точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваделит каждую из медиан Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствав отношении 2:1, считая от вершин Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасоответственно.

6) Точка пересечения медиан Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствадолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакоторая в таком отношении делит медиану Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато медиана Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойствавершины треугольника; отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойствастороны треугольника; Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойствауглы треугольника.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— медиана треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— биссектриса треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 270 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— высота Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— равнобедренный, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— его боковые стороны, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроведенная к основанию Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравнобедренного треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— внешний угол треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Прямоугольные треугольники

Если Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— прямоугольный (рис. 281). Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствакатеты прямоугольного треугольника; Виды треугольников параллельные прямые и их свойствагипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Видео:Урок 15 Свойства параллельных прямых (7 класс)Скачать

Урок 15  Свойства параллельных прямых (7 класс)

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваназывают треугольником. Точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваназывают вершинами, а отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасторонами треугольника.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, или Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, или Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи т. д. (читают: «треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства» и т. д.). Углы Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 110) называют углами треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

В треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, например, угол Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваназывают углом, противолежащим стороне Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, углы Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— углами, прилежащими к стороне Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, сторону Виды треугольников параллельные прямые и их свойствастороной, противолежащей углу Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасторонами, прилежащими к углу Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 110).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваиспользуют обозначение Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 109). Точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойстване принадлежит отрезку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 113 изображены равные треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Записывают: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовпадут. Тогда можно записать: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи луча Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасуществует треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравный треугольнику Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, такой, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапринадлежит лучу Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а вершина Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежит в заданной полуплоскости относительно прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 114).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи не принадлежащую ей точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 115). Предположим, что через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроходят две прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, перпендикулярные прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, равный треугольнику Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 116). Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Отсюда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а значит, точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваимеют две точки пересечения: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 117 изображены равные фигуры Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Пишут: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 118 отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— высоты треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 119 отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— медиана треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 120 отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— биссектриса треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, обозначают соответственно Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Длины высот обозначают Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, медиан — Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, биссектрис — Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствавыполняются шесть условий Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства,Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствау которых Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 128). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства

Наложим Виды треугольников параллельные прямые и их свойствана Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак, чтобы луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместился с лучом Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместился с лучом Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Это можно сделать, так как по условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваПоскольку по условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то при таком наложении сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместится со стороной Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— со стороной Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— произвольная точка серединного перпендикуляра Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваотрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середина отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Надо доказать, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Если точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовпадает с точкой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(а это возможно, так как Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— произвольная точка прямой а), то Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Если точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстване совпадают, то рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 130).

В этих треугольниках Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середина отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Сторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общая, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которых Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, (рис. 131). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Наложим Виды треугольников параллельные прямые и их свойствана Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак, чтобы точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместилась с точкой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— с отрезком Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(это возможно, так как Виды треугольников параллельные прямые и их свойства) и точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежали в одной полуплоскости относительно прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствато луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместится с лучом Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а луч Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— с лучом Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общая точка лучей Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— совместится с точкой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общей точкой лучей Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Значит, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №27

На рисунке 132 точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середина отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажите, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Решение:

Рассмотрим Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середина отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо условию. Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как вертикальные. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общая сторона. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо двум сторонам и углу между ними. Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которого Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствана рисунке 155). При этом угол Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваназывают углом при вершине, а углы Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствауглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которого Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

В треугольниках Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общая, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как по условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— биссектриса угла Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— медиана;
  3. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Но Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Отсюда следует, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, значит, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №28

Отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— медиана равнобедренного треугольника Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, проведенная к основанию. На сторонах Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваотмечены соответственно точки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстватак, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажите равенство треугольников Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Решение:

Имеем:Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 158). Так как Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общая сторона треугольников Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Рассмотрим треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которого отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— медиана и высота. Надо доказать, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— серединный перпендикуляр отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Рассмотрим треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которого отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— биссектриса и высота. Надо доказать, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 169). В треугольниках Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасторона Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— общая, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как по условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— биссектриса угла Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как по условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— высота. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которогоВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Надо доказать, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Проведем серединный перпендикуляр Виды треугольников параллельные прямые и их свойствастороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажем, что прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроходит через вершину Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Предположим, что это не так. Тогда прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапересекает или сторону Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 170), или сторону Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— точка пересечения прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасо стороной Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— равнобедренный, а значит Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Но по условиюВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда имеем: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроходит через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Рассмотрим треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, у которого отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. На луче Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваотложим отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, равный отрезку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 173). В треугольниках Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так как по условию Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— медиана, Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо построению, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как вертикальные. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— биссектриса угла Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. С учетом доказанного получаем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда по теореме 10.3 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— равнобедренный, откуда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Но уже доказано, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Пример №29

В треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроведена биссектриса Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 174), Виды треугольников параллельные прямые и их свойства,Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажите, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Решение:

Так как Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— смежные, то Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, в треугольнике Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— равнобедренный с основанием Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, и его биссектриса Виды треугольников параллельные прямые и их свойства( Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— точка пересечения Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства) является также высотой, т. е. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 177), у которых Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваВиды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Расположим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, так, чтобы вершина Виды треугольников параллельные прямые и их свойствасовместилась с вершиной Виды треугольников параллельные прямые и их свойствавершина Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— с Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваа вершины Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствалежали в разных полуплоскостях относительно прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 178). Проведем отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Поскольку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то треугольник Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— равнобедренный, значит, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Аналогично можно доказать, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапересекает отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваво внутренней точке. На самом деле отрезок Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваможет проходить через один из концов отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, например, через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: Пусть точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваравноудалена от концов отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, т. е. Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 183). Рассмотрим треугольники Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, где Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— середина отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойства— серединный перпендикуляр отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойстване принадлежит прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Если точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапринадлежит прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то она совпадает с серединой отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваявляется серединой отрезка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, то обращение к треугольникам Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствабыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Пишут: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(читают: «прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапараллельны» или «прямая а параллельна прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

На рисунке 193 отрезки Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапараллельны. Пишут: Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Доказательство: На рисунке 195 Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Надо доказать, чтоВиды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Предположим, что прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапересекаются в некоторой точке Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 196). Тогда через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, не принадлежащую прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, проходят две прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, перпендикулярные прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Следствие. Через данную точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, не принадлежащую прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, можно провести прямую Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, параллельную прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Доказательство: Пусть точка Виды треугольников параллельные прямые и их свойства не принадлежит прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства (рис. 198).

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства прямую Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, перпендикулярную прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Теперь через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства проведем прямую Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, перпендикулярную прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. В силу теоремы 13.1 Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Можно ли через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваиВиды треугольников параллельные прямые и их свойства. Докажем, что Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Предположим, что прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойстване параллельны, а пересекаются в некоторой точке Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 199). Получается, что через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроходят две прямые, параллельные прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Виды треугольников параллельные прямые и их свойства.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Виды треугольников параллельные прямые и их свойства

Решение:

Пусть прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапараллельны, прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапересекает прямую Виды треугольников параллельные прямые и их свойствав точке Виды треугольников параллельные прямые и их свойства(рис. 200). Предположим, что прямая Виды треугольников параллельные прямые и их свойстване пересекает прямую Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, тогда Виды треугольников параллельные прямые и их свойства. Но в этом случае через точку Виды треугольников параллельные прямые и их свойствапроходят две прямые Виды треугольников параллельные прямые и их свойстваи Виды треугольников параллельные прямые и их свойства, параллельные прямой Виды треугольников параллельные прямые и их свойства