Правила построения сечений многогранников:
1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого
а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
Примеры построения сечений:
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:
пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;
пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;
Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.
MKNTPL — искомое сечение.
Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.
.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
.
Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.
.
Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
.
Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).
.
Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).
.
- Устный опрос: параллельность плоскостей 3.1
- «Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
- «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
- Описание презентации по отдельным слайдам:
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
- Общая информация
- Похожие материалы
- Устный опрос: параллельность плоскостей 2.2
- Устный опрос: параллельность плоскостей 2.1
- Устный опрос: параллельность плоскостей 1.2
- Устный опрос: параллельность плоскостей 1.1
- Презентация к уроку по геометрии «Сумма углов треугольника»
- Конспект урока по геометрии «Сумма углов треугольника»
- «Параллелограмм и его свойства»
- ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ РАБОТАМ ПО ГЕОМЕТРИИИ В 9 КЛАССЕ
- Вам будут интересны эти курсы:
- Оставьте свой комментарий
- Подарочные сертификаты
- Две задачи на построение сечений
- Задача 6.
- Задача 16.
- 🎦 Видео
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Устный опрос: параллельность плоскостей 3.1
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Устный опрос:
«Параллельность плоскостей»
3 уровень, 1 вариант
10 класс
Описание слайда:
Верно ли, что если в каждой из двух параллельных плоскостей проходит прямая, то эти прямые скрещивающиеся?
Описание слайда:
Может ли в тетраэдре ДАВС грань ДВС содержать прямую, параллельную ребру ДА?
Описание слайда:
Сформулируйте первое свойство прямоугольного параллелепипеда.
Описание слайда:
Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым а и b соответственно. Прямая c скрещивается с прямой b. Укажите, какой из случаев взаимного расположения прямых а и с невозможен.
Описание слайда:
Определите вид сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки пересечения диагоналей его оснований.
Описание слайда:
Определите, какую фигуру в пространстве образуют середины всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Как расположена эта фигура по отношению к данным прямым?
Описание слайда:
Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью MNK.
А
B
D
K
N
M
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 966 человек из 79 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 340 человек из 71 региона
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 690 человек из 74 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Устный опрос: параллельность плоскостей 2.2
Устный опрос: параллельность плоскостей 2.1
Устный опрос: параллельность плоскостей 1.2
Устный опрос: параллельность плоскостей 1.1
Презентация к уроку по геометрии «Сумма углов треугольника»
Конспект урока по геометрии «Сумма углов треугольника»
«Параллелограмм и его свойства»
ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ РАБОТАМ ПО ГЕОМЕТРИИИ В 9 КЛАССЕ
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5440431 материал.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января
Время чтения: 1 минута
Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах
Время чтения: 1 минута
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов
Время чтения: 1 минута
ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
Две задачи на построение сечений
Здесь рассмотрено подробное решение двух наиболее сложных, на мой взгляд, задач из представленных в группе Задачи на построение сечений многогранников на этом сайте. Если Вы еще не выполняли подобных заданий, вернитесь на указанную страницу и попробуйте поработать самостоятельно.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Задача 6.
Замечание: куб на чертеже может быть повёрнут к нам любой гранью, но трудно предугадать, какой удобнее для построения. Поэтому, если совсем не получается решение какой-либо задачи по стереометрии, то я рекомендую начинать заново, перерисовав исходный чертёж. А зачастую бывает достаточно просто переставить символы, обозначающие вершины основания многоугольника (естественно, не произвольно, а согласовав между собой и с условием задачи).
Для начала вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.
Аксиома. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Поэтому для реализации нашей цели нужно найти две различные плоскости, содержащие прямую B1D, и построить в них нужные перпендикуляры. В качестве таковых в кубе можно взять, например, плоскости B1BDD1 и B1ADC1
Построим сечение B1BDD1. Две противоположные стороны этого четырёхугольника являются рёбрами куба, а две другие — диагоналями его граней. По свойствам куба можем сделать вывод, что B1BDD1 – прямоугольник длина которого в √2 _ раз больше ширины. Делим диагональ на 4 части и ставим точку К, удовлетворяющую условию B1K : B1D = 1 : 4. Проводим через эту точку перпендикуляр к B1D. Отрезок MN лежит на одной из искомых прямых.
При необходимости легко уточнить положение точек M и N на поверхности куба. Если задана длина ребра (или можно обозначить её, например, символом a), то длины отрезков B1M и B1N легко вычисляются из подобия прямоугольных треугольников, которое хорошо просматривается на плоском чертеже.
Получили четыре точки, принадлежащие искомой плоскости сечения и поверхности куба. Соединяем прямой линией точки M и F на грани BСС1B1. Соединяем точки F и N на грани A1B1С1D1 и продолжаем прямую до пересечения с ребром A1B1 в точке R. Соединяем точки R и E на грани A1B1BA и продолжаем прямую до пересечения с ребром B1B в точке. M ? Но где гарантия, что именно в точке M, а не выше или ниже по ребру?
Если были проведены вычисления отрезков B1F = B1M и B1N = B1E в процессе анализа плоских прямоугольников, то ответ становится очевидным: так как прямоугольные треугольники B1RF, B1RM и B1FM равнобедренные и равные.
Если же при построении положение точек M и F не вычислялось, а контролировался только факт их положения на рёбрах куба, то придётся произвести ряд вычислений на этапе доказательства верности построения.
Замечание I.
Возможен альтернативный подход к этой задаче. Так как куб является правильным многогранником и имеет центр симметрии, расположенный в точке пересечения диагоналей, а значит на линии B1D, с которой мы работаем, то можно предположить, что сечение также будет симметричным и будет иметь форму равностороннего треугольника. Поэтому после анализа (жёлтого) прямоугольника на первом чертеже и получения точки М, можно сразу отложить от вершины B1 на рёбрах куба равные отрезки B1R = B1F = B1M, а затем доказать, что плоскость RMF перпендикулярна прямой B1D. Для этого лучше всего воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.
Теорема. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Замечание II.
Вид сечения сильно зависит от положения точки K на диагонали куба. Попробуйте сместить точку K ближе к середине отрезка B1D и построить MN ⊥ B1D в прямоугольнике B1BDD1. На каких гранях и рёбрах куба теперь окажутся точки искомого сечения?
Ниже вы можете посмотреть маленькое видео о том, как изменяется сечение куба плоскостью, перпендикулярной его диагонали, в зависимости от положения их точки пересечения.
Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать
Задача 16.
При решении задачи предполагаем, что все операции на плоскости, в частности, построение параллельных и перпендикулярных прямых, нам известны из планиметрии и в подробном описании не нуждаются.
Решение.
Чтобы построить плоскость, параллельную заданной плоскости, нужно вспомнить признак параллельности двух плоскостей.
Теорема. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
Теорема. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Кроме того, нам нужно, чтобы плоскость сечения проходила через заданную точку А2. Значит, хорошо бы сразу найти две такие пересекающиеся прямые, параллельные каким-либо прямым в плоскости PQR, чтобы хотя бы одна из них содержала точку А2. В этом и будет состоять первый этап решения задачи.
Через точки R и Р проводим РN || CC1 и RM || CC1 . Соединяем точки M и N прямой линией. По свойствам призмы получим MN || RР и MN = RР .
Терерь рассмотрим диагональное сечение призмы, проведенное через параллельные прямые AA1 и СС1. Плоскость AA1C1C содержит заданные точкии A2 и Q и пересекает заданную плоскость PQR по линии QE. (Буквой Е обозначена общая точка линии пересечения плоскостей и прямой RP.) В этой плоскости (голубой на чертеже) через точку А2 проводим прямую, параллельную QE до пересечения с верхним основанием призмы в точке F. А2F || QE по построению.
На верхней грани призмы через точку F проводим прямую, параллельную линии MN, которая в нашем случае пересекает рёбра призмы A1D1 и B1C1 в точках H и G соответственно. HG || MN .
В зависимости от положения точки А2 на ребре АА1 положение точек H и G на рёбрах призмы может изменяться. Например, если бы точка А2 располагалась ближе к вершине А1, то точка G могла бы оказаться на ребре А1В1, а если бы она находилась близко к вершине А, то точка Н могла бы оказаться на ребре D1С1. От этого зависит окончательная форма искомого сечения призмы. Т.е. поскольку в условии задачи положение точек на рёбрах не фиксировано, то ваши ответы могут отличаться от приведенного мной не только формой на чертеже, но и количеством сторон получившегося многоугольника.
Обе прямые HG и RР параллельны прямой MN по построению, следовательно HG || RР . Для прямых в плоскости это вам уже известно давно. Для прямых в пространстве это тоже доказано.
Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Таким образом, прямые А2F и HG и есть те самые прямые, которые мы искали. А2F параллельна QE, следовательно параллельна плоскости PQR. HG параллельна RР, следовательно параллельна плоскости PQR. А2F и HG пересекаются в точке F. Эти прямые определят секущую плоскость, параллельную заданной PQR.
Аксиома. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Продолжим прямую HG до пересечения с ребром A1B1 в точке L. Точка L принадлежит верхней и фронтальной (на нашем чертеже) граням призмы, поскольку она принадлежит их общему ребру. Кроме того, точка L принадлежит плоскости сечения, поскольку находится на прямой HG. Следовательно, эта точка должна принадлежать и линии пересечения фронтальной грани с плоскостью сечения. Соединяем точку L с точкой А2. Эта прямая будет принадлежать плоскости грани АА1В1В на основании следующей теоремы.
Теорема. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Пользуясь этим же утверждением, соединяем и остальные две пары точек, принадлежащих одной грани призмы.
То, что оно удовлетворяет условию проходить через точку А2 очевидно по построению. То, что плоскость A2HGK параллельна плоскости RQP мы доказали, ссылаясь на соответствующие положения теории на каждом шаге построения.
Замечание.
Конечно, во время экзамена вы не будете делать несколько чертежей и так подробно описывать построение. Итоговый чертёж будет выглядеть примерно так.
Однако, не забывайте, что основное требование к заданиям второй части ЕГЭ профильного уровня это обоснованность решения. Поэтому, если вы просто выполнили все построения и представили на проверку итоговый чертёж, то к нему необходимо написать доказательство, которое содержит ссылки на теорию. При этом не обязательно цитировать теоремы полностью, можно упомянуть их названия.
Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.
Понравились материалы сайта?
Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
🎦 Видео
Уравнение параллельной прямойСкачать
Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать
§51 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точкиСкачать
СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Как строить сечения параллелепипедаСкачать
Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать
Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать
Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать
Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать