Виды четырехугольников картинки с названиями

math4school.ru

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Виды четырёхугольниковСкачать

Виды четырёхугольников

Четырёхугольники

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Основные определения и свойства

Виды четырехугольников картинки с названиями

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиями

Если M , N , P , Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , а R , S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ , MRPS , NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD . Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

Виды четырехугольников картинки с названиями

Отрезки MP , NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP , NG=GQ , RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Описанные четырёхугольники

Виды четырехугольников картинки с названиями

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK = AN , BK = BL , CL = CM , DM = DN .

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b , CD = c и AD = d верны соотношения:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Вписанные четырёхугольники

Виды четырехугольников картинки с названиями

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Площадь вписанного четырёхугольника:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ВИДЫ И СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ. Часть 1Скачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ВИДЫ И СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ. Часть 1

Параллелограмм

Виды четырехугольников картинки с названиями

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ ABC =∠ CDA ; ∠ ABD =∠ CDB .

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Виды четырехугольников картинки с названиями

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:
  • через две его стороны и угол между ними:
Виды четырехугольников картинки с названиями

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

∠ ABD =∠ CBD =∠ ADB =∠ CDB ; ∠ BAC =∠ DAC =∠ BCA =∠ DCA .

Виды четырехугольников картинки с названиями

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Виды четырехугольников картинки с названиями

  • через диагонали ромба и сторону:

Виды четырехугольников картинки с названиями

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Площадь ромба можно определить:

Виды четырехугольников картинки с названиями

  • через сторону и угол ромба:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)Скачать

Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)

Прямоугольник

Виды четырехугольников картинки с названиями

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через диагонали и угол между ними:
Виды четырехугольников картинки с названиями

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Видео:Учим плоские геометрические фигуры с паровозиком Чух-Чухом - часть первая (1). Геометрия для детейСкачать

Учим плоские геометрические фигуры с паровозиком Чух-Чухом - часть первая (1). Геометрия для детей

Квадрат

Виды четырехугольников картинки с названиями

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Радиус вписанной окружности:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Трапеция

Виды четырехугольников картинки с названиями

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

Виды четырехугольников картинки с названиями

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AED ∼ Δ BEC , k = AD / BC .

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AОD ∼ Δ CОВ , k = AD / BC .

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

Виды четырехугольников картинки с названиями

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Виды четырехугольников картинки с названиями

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Виды четырехугольников картинки с названиями

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

  • углы при основании равны:
  • сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

Виды четырехугольников картинки с названиями

  • через диагонали и угол между ними:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Виды четырехугольников и свойства параллелограммовСкачать

Виды четырехугольников и свойства параллелограммов

Дельтоид

Виды четырехугольников картинки с названиями Виды четырехугольников картинки с названиями

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

Виды четырехугольников картинки с названиями

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:
Виды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиями

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Виды четырехугольников ПараллелограммСкачать

Виды четырехугольников  Параллелограмм

Ортодиагональные четырёхугольники

Виды четырехугольников картинки с названиями

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d ²;
  • для площади четырёхугольника верно: S = ½ef ;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.
Виды четырехугольников картинки с названиями

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Виды четырехугольников картинки с названиями

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О , то верны соотношения:

Видео:ЧетырехугольникиСкачать

Четырехугольники

Виды четырехугольников картинки с названиями

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Виды четырехугольников картинки с названиями

1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Трапеция

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Трапеция называется равнобедренной (равнобочной), если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Виды четырехугольников. Параллелограмм. Трапеция. Прямоугольник. Ромб. Квадрат.Скачать

Виды четырехугольников. Параллелограмм. Трапеция. Прямоугольник. Ромб. Квадрат.

Прямоугольник

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Квадрат

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

Свойства:
1. Все углы квадрата прямые

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Видео:Виды четырехугольниковСкачать

Виды четырехугольников

Четырехугольник

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Определение четырехугольника

Определение 1. Четырехугольник − это замкнутая ломаная линия, состоящая из четырех звеньев.

Определение 2. Четырехугольник − геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и последовательно соединенные четырьмя отрезками, называемыми сторонами четырехугольника.

Объединение четырехугольника и ограниченной им части плоскости также называют четырехугольником.

Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью четырехугольника, а другая внешней областью четырехугольника.

Видео:ЧетырёхугольникиСкачать

Четырёхугольники

Виды четырехугольников

Четырехугольники бывают следующих видов:

  • Параллелограмм − четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно вправны и параллельны (Рис.1).
  • Трапеция − четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (Рис.2).
  • Прямоугольник − четырехугольник, у которого все углы прямые (Рис.3).
  • Ромб − четырехугольник, у которого все стороны равны (Рис.4).
  • Квадрат − четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые (Рис.5).
  • Дельтоид − четырехугольник, у которого есть две пары равных смежных сторон (Рис.6, Рис.6.1).
  • Антипараллелограмм (или контрпараллелограмм)− четырехугольник, у которого противоположные стороны равны но не параллельны (с самопересечением) (Рис.7).
Виды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Виды четырехугольниковСкачать

Виды четырехугольников

Обозначение четырехугольника

Обозначают четырехугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют четырехугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, четырехугольник на рисунке 8 называют ( small A_1A_2A_3A_4 ) или ( small A_4A_3A_2A_1 ) (Рис.8).

Виды четырехугольников картинки с названиями

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Соседние вершины четырехугольника

Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 8 вершины ( small A_2 ) и ( small A_3 ) являются соседними, так как они являются концами стороны ( small A_2A_3. )

Видео:Виды четырёхугольников в школеСкачать

Виды четырёхугольников в школе

Смежные стороны четырехугольника

Стороны четырехугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 8 стороны ( small A_2A_3 ) и ( small A_3A_4 ) являются смежными, так как они имеют общую вершину ( small A_3. )

Простой четырехугольник. Самопересекающийся четырехугольник

Четырехугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

Виды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиямиВиды четырехугольников картинки с названиями

На рисунках 9 и 9.1 изображены простые четырехугольники так как стороны четырехугольников не имеют самопересечений. А на рисунке 10 четырехугольник не является простым, так как стороны ( small A_1A_4 ) и ( small A_2A_3 ) пересекаются. Такой четырехугольник называется самопересекающийся.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

Виды четырехугольников картинки с названиями

На рисунке 11 четырехугольник лежит по одну сторону от прямых ( small m, n, p, q, ) проходящих через стороны четырехугольника. Поэтому такой четырехугольник выпуклый.

Виды четырехугольников картинки с названиями

На рисунке 12 прямая ( small m) делит четырехугольник на две части, т.е. четырехугольник не лежит по одну сторону от прямой ( small m). Следовательно, этот четырехугольник не является выпуклым.

Правильный четырехугольник

Простой четырехугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Квадрат является правильным четырехугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°. Среди четырехугольников других правильных четырехугольников не существует.

На рисунке 5 изображен правильный четырехугольник (квадрат), так как у данного четырехугольника все стороны равны и все углы равны. Четырехугольник (ромб) на на рисунке 4 не является правильным, так как все стороны четырехугольника равны, но все его углы не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным четырехугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Периметр четырехугольника

Сумма всех сторон четырехугольника называется периметром четырехугольника. Для четырехугольника ( small A_1A_2A_3A_4 ) периметр вычисляется из формулы:

( small P=A_1A_2+A_2A_3+A_3A_4+A_4A_1 )

Угол четырехугольника

Углом (внутренним углом) четырехугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами четырехугольника, сходящимися к этой вершине. Если четырехугольник выпуклый, то все углы четырехугольника меньше 180°. Если же четырехугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол ( small alpha ) на рисунке 13).

Виды четырехугольников картинки с названиями

Внешний угол четырехугольника

Внешним углом четырехугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу четырехугольника при данной вершине.

Виды четырехугольников картинки с названиями

На рисунке 14 угол α является внутренним углом четырехугольника при вершине ( small A_4, ) а углы β и γ являются внешними углами четырехугольника при этой же вершине. Очевидно, что при каждой вершине есть два внешних угла.

Диагональ четырехугольника

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины четырехугольника.

Очевидно, что у четырехугольника две диагонали.

Сумма углов четырехугольника

Для любого простого четырехугольника по крайней мере один диагональ делит его на два треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому сумма углов простого четырехугольника равна 360°.

Сумма внешних углов четырехугольника

Пусть задан четырехугольник ( small A_1A_2A_3A_4 .) Внешний угол при вершине ( small A_1) равен ( small 180°-angle A_1.) Аналогично, внешние углы при вершинах ( small A_2, A_3, A_4 ) равны ( small 180°-angle A_2, ) ( small 180°-angle A_3, ) ( small 180°-angle A_4, ) соответственно. Тогда сумма внешних углов четырехугольника равна:

( small 180°-angle A_1 ) ( small +180°-angle A_2 ) ( small +180°-angle A_3 ) ( small +180°-angle A_4 )( small =720°-(angle A_1+angle A_2+angle A_3+angle A_4 )) ( small =720°-360°=360°. )

Задача 1. Доказать, что длина любой стороны четырехугольника меньше суммы длин трех его сторон.

Решение. Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD (Рис.15). Покажем, например, что AB

Поделиться или сохранить к себе: