Верно ли что а векторы d1c и dc1 коллинеарны

Видео:№914. Докажите, что если векторы а и 6 не коллинеарны, то: а) векторы a+b и a - b не коллинеарныСкачать

Онлайн калькулятор. Коллинеарность векторов.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто определить являются ли два вектора коллинеарными.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на проверку коллинеарности двух векторов и закрепить пройденый материал.

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Калькулятор для вычисления коллинеарности векторов

Инструкция использования калькулятора для проверки коллинеарности векторов

Ввод даных в калькулятор коллинеарности векторов

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора коллинеарности векторов

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Теория. Коллинеарность векторов

Вектора коллинеарны если отношения их координаты равны между собой.

или

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:№357. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и DD1 компланарны.Скачать

Векторы d1c и a1b коллинеарны

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = и b = . Найдем их векторное произведение

Видео:10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Коллинеарные векторы

В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными и перечислим условия, при которых они являются таковыми. Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Видео:Геометрия. 10 класс. Коллинеарность и компланарность векторов /13.04.2021/Скачать

Условия коллинеарности векторов

Векторы, лежащие на одной или нескольких параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора коллинеарны, если выполняется одно из условий ниже:

1. Существует такое число n, при котором .

2. Отношения координат векторов равны. Но данное условие не может применяться, если одна из координат равняется нулю.

3. Векторное произведение равно нулевому вектору (применимо только для трехмерных задач).

Видео:Правило параллелепипеда для векторовСкачать

Примеры задач

Задание 1
Даны векторы , и . Определим, есть ли среди них коллинеарные.

Решение:
У заданных векторов нет нулевых координат, значит мы можем применить второе условие коллинеарности.

Следовательно, коллинеарными являются только векторы a и c .

Задание 2
Выясним, при каком значении n векторы и коллинеарны.

Решение:
Т.к. среди координат нет нулей, согласно второму условию мы можем составить их соотношение, чтобы рассчитать недостающий элемент.

Видео:№355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарныСкачать

Условие коллинеарности двух векторов

Пример №1 . Проверить, коллинеарны ли векторы AB и CD ; если да, то сонаправлены ли они. A(1;1), B(7;3), C(-4;-5), D(5;-2).

Решение.
Находим координаты векторов:
AB = (6;2)
CD = (9;3)
Используя условие коллинеарности векторов, устанавливаем, что координаты этих векторов пропорциональны:

Пример №2 . Проверить условие коллинеарности векторов a и b . a(-6;3), b(8;-4).

Решение.
Используя условие коллинеарности векторов, устанавливаем, что координаты этих векторов пропорциональны:

Решение.
Находим координаты векторов:
AB = (4;4)
CD = (4;-1)
Используя условие коллинеарности векторов, устанавливаем, что координаты этих векторов не пропорциональны:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Условие коллинеарности векторов

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R

Видео:Векторы для начинающих. Коллинеарные векторы. Как найти длину вектора? Нулевой векторСкачать

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .

По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

1. ​​​Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
2. Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z

Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1

Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.

Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

Решение

Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7

тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .

Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.

Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .

Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .

Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )

🌟 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)Скачать

43. Компланарные векторыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Компланарные векторыСкачать

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

Компланарные векторы. Видеоурок 18. Геометрия 10 классСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать