Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

Формулы площадей всех фигур в геометрии — примеры вычислений

Площадь — это одна из наиболее важных и неотъемлемых характеристик любой замкнутой геометрической фигуры, показывающая её размер. Она может измеряться в различных единицах: квадратных миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и так далее. Это своеобразный аналог объёма трёхмерных фигур (шара, цилиндра, конуса и других). В геометрии разработаны формулы площадей. Их доказательством являются соответствующие теоремы. Существует общепринятое обозначение площади — буква S (от англ. square).

Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

Видео:ОГЭ вариант-2 #25Скачать

ОГЭ вариант-2 #25

Формулы для треугольников

Имеется несколько формул площади треугольника. Если в треугольнике известны две величины: во-первых, длина стороны, а во-вторых, высота, опущенная из противоположного угла перпендикулярно этой стороне, то площадь можно определить, умножив длину на высоту и разделив полученное произведение на два. Выглядит формула так: S = ½ * a * h. Буквой a обозначена длина, буквой h — высота.

При известности всех трёх сторон — a, b, c, широко применяется формула, названная в честь Герона — математика из Древней Греции: S = √(p*(p — a)*(p — b)*(p — c)). Величина p — это половина от периметра треугольника (полупериметр). Чтобы его рассчитать, необходимо суммировать все стороны и разделить сумму на два: (a + b + c)/2.

Для ещё одной формулы требуются следующие данные:

  • длина двух соприкасающихся в одной вершине сторон — a и b;
  • градус угла, который образуют эти стороны.

Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

Тогда расчёт можно произвести таким способом: S = ½ * a * b * sin γ. Синус угла является одной из тригонометрических функций, представляющей собой результат деления (отношение) в прямоугольном треугольнике противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе (сторона напротив прямого угла). Значение sin γ для конкретного угла можно посмотреть в специальной таблице.

Когда два треугольника являются подобными (подобие означает, что у них равны углы и стороны пропорциональны), то отношение их площадей соответствует отношению возведённых в квадрат сторон. Такое отношение сторон для них (например, AB: A (1) B (1)) именуется коэффициентом подобия (k). Поэтому отношение площадей равняется коэффициенту подобия в квадрате.

Если в треугольнике даны все стороны, тогда, кроме формулы Герона, есть возможность воспользоваться ещё одним способом. Он основан на том, что можно вписать любой треугольник в круг. Зная такую величину, радиус ® окружности и три стороны треугольника, производится расчёт: S = (a * b * c) / 4 R.

В любой треугольник: равносторонний и разносторонний, остроугольный и тупоугольный, в силу его геометрических свойств также может быть вписана окружность. В таком случае формула нахождения площади следующая: S = p * r. Буква p обозначает ½ периметра треугольника, r — это радиус окружности.

Видео:Задача о площади четырехугольникаСкачать

Задача о площади четырехугольника

Площадь четырёхугольников

Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

Четырёхугольник — это одна из фигур в геометрии (многоугольник), имеющая четыре стороны, а также четыре вершины, три из которых не находятся на одной прямой. Четырёхугольник называется выпуклым, если он располагается по одну сторону относительно прямой, являющейся продолжением любой из его сторон.

К выпуклым четырёхугольникам относятся практически все известные фигуры, имеющие четыре вершины, а также четыре стороны. Основными их видами выступают: 1) ромб; 2) прямоугольник; 3) трапеция; 4) квадрат; 5) параллелограмм.

Квадрат и прямоугольник

Самый простой способ вычисления площади квадрата — умножить сторону «саму на себя», иными словами, возвести в квадрат длину любой из его сторон (S = a 2 ). Такой расчёт обусловлен особым признаком квадрата — тем, что все его стороны являются абсолютно равными между собой, поэтому квадрат называется правильной фигурой.

Существует вторая, более сложная, формула площади квадрата, где осуществляется расчёт через диагональ. Диагональ — это линия, соединяющая в фигуре два угла, друг другу противоположных. Для определения площади необходимо длину диагонали возвести в квадрат и полученный результат разделить на два: S = ½ d 2 .

Для прямоугольника используется формула: S = a * b, где a, b — длина двух разных, имеющих общую вершину, сторон.

Параллелограмм, ромб и трапеция

Параллелограмм представляет собой четырёхугольник, в котором имеются два противоположных друг другу тупых угла и два — острых.

Применяются три формулы площади параллелограмма:

Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

  • Умножить сторону на высоту, перпендикулярную стороне: S = a * h.
  • Перемножить две, выходящих из одной вершины, стороны параллелограмма, и умножить на синус угла, образованного ими: S = a * b * sin γ.
  • Перемножить диагонали фигуры, затем умножить на синус угла, образованного диагоналями, и разделить результат на два: S = ½ d (1) * d (2) * sin γ.

Ромб похож на параллелограмм с одним отличием: он является равносторонним. Поэтому для вычисления площади ромба используются похожие формулы:

  • Умножить длину стороны на высоту.
  • Для ромба вторая формула площади параллелограмма преобразуется следующим образом: S = a 2 * sin γ. Поскольку все стороны у ромба равны (то есть a = b), то рассчитывается квадрат любой из них.
  • Площадь ромба рассчитать можно также, перемножив диагонали и разделив полученное число на два: S = ½ d (1) * d (2).

    Трапеция является геометрической фигурой, имеющей такие элементы: два параллельных основания — верхнее и нижнее, две боковые стороны, расположенные к нижнему основанию под острым углом. Что касается боковых сторон, то они могут быть как равными по длине (так называемая равнобедренная трапеция), так и разными.

    В связи с тем, что в «составе» трапеции можно «выделить» прямоугольник и два расположенных по бокам от него треугольника, то можно определить площадь по специальной формуле Герона: S = (a + b): | a + b | * √(p — a) * (p — b) * (p — a — c) * (p — a — d).

    В этой формуле имеются следующие обозначения:

    • буквы a, b — это основы трапеции,
    • буквы c, d — стороны,
    • p — полупериметр.

    Выпуклый четырёхугольник

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    В отношении всех иных выпуклых четырёхугольников, то есть имеющих разные по длине стороны и разные углы, разработаны свои формулы вычисления площади.

    Прежде всего, можно перемножить две диагонали, а также синус образуемого ими угла, разделив общий результат на два, то есть применить формулу: S = ½ d (1) * d (2) * sin γ.

    В том случае, когда внутри выпуклого четырёхугольника, так же как и внутри треугольника, может быть вписан круг, то для нахождения площади четырёхугольной фигуры, требуется определить две величины:

    • r — радиус окружности;
    • p — ½ периметра четырёхугольника.

    После чего полупериметр умножается на радиус. Это и будет площадь четырёхугольника. Формула выглядит так: S = p * r.

    Для тех случаев, когда круг может быть очерчен вокруг четырёхугольника, применяется другая формула. Для её использования все стороны фигуры должны быть известны. Они обозначаются буквами a, b, c, d. Рассчитывается половина периметра: p = (a + b + c + d)/2. Затем определяется площадь: S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d).

    Когда конфигурация четырёхугольника такова, что не позволяет возле него описать круг, то в связи с этим формула площади немного дополняется: S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos 2 γ.

    Коэффициент γ представляет собой половину от суммы двух противоположных углов четырёхугольной фигуры: γ = (угол (1) + угол (2)) / 2.

    Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

    Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

    Круг и эллипс

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Самое распространённое и широко применяемое правило определения площади круга — это умножение радиуса окружности в квадрате на число пи: S = π * r 2 .

    Число пи, обозначаемое греческой буквой «π» — это математическая постоянная, которая является результатом деления длины окружности на диаметр. π — иррациональное число. Для расчётов признаётся его среднее значение, равное 3,14.

    Вместо радиуса можно использовать диаметр окружности: диаметр возводится в квадрат, умножается на число π, результат делится на четыре. Формула выглядит так: S = (π * d 2 ) / 4.

    Для того чтобы посчитать площадь такой фигуры, как эллипс, необходимо провести две оси, то есть две линии, каждая из которых разделяет эллипс на две равные части, при этом сами линии перпендикулярны друг другу (образуют прямой угол). Точка пересечения разделяет каждую из осей напополам, образуя полуоси.

    Площадь эллипса вычисляется как произведение трёх величин: числа π, длины большой полуоси (а) и длины малой полуоси (b): S = π * a * b. Для удобства расчёта площадей различных фигур также можно использовать специальные онлайн-калькуляторы.

    Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

    Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

    Площади четырехугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковФормулы для площадей четырехугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковВывод формул для площадей четырехугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

    В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

    которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

    Видео:Задание 26 Площадь четырехугольникаСкачать

    Задание 26 Площадь четырехугольника

    Формулы для площадей четырехугольников

    a и b – смежные стороны

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    d – диагональ,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

    R – радиус описанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    a и b – смежные стороны,
    φ – угол между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    a – сторона квадрата

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    a – сторона,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    r – радиус вписанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    a и b – основания,
    h – высота

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    a и b – основания,
    c и d – боковые стороны

    a и b – неравные стороны,
    φ – угол между ними

    a и b – неравные стороны,
    φ1 – угол между сторонами, равными a ,
    φ2 – угол между сторонами, равными b .

    a и b – неравные стороны,
    r – радиус вписанной окружности

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников,
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
    p – полупериметр,

    Формулу называют «Формула Брахмагупты»

    ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
    ПрямоугольникПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковS = ab
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    ПараллелограммПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    КвадратПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковS = a 2
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковS = 4r 2
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    РомбПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    ТрапецияПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковS = m h
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    ДельтоидПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковS = ab sin φ
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – смежные стороны

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    d – диагональ,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    где
    R – радиус описанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    где
    a и b – смежные стороны,
    φ – угол между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    где
    a – сторона,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    r – радиус вписанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – основания,
    h – высота

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – основания,
    c и d – боковые стороны

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ – угол между ними

    где
    a и b – неравные стороны,
    r – радиус вписанной окружности

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников,
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
    p – полупериметр

    Формулу называют «Формула Брахмагупты»

    Прямоугольник
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Параллелограмм
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Квадрат
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковS = a 2

    где
    a – сторона квадрата

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковS = 4r 2

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Ромб
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Трапеция
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Дельтоид
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольниковПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ1 – угол между сторонами, равными a ,
    φ2 – угол между сторонами, равными b .

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Произвольный выпуклый четырёхугольник
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Вписанный четырёхугольник
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    Прямоугольник
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – смежные стороны

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    d – диагональ,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    R – радиус описанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов между диагоналями

    Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    ПараллелограммПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – смежные стороны,
    φ – угол между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    КвадратПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a – сторона квадрата

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

    РомбПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a – сторона,
    ha – высота, опущенная на эту сторону

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a – сторона,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    r – радиус вписанной окружности,
    φ – любой из четырёх углов ромба

    ТрапецияПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – основания,
    h – высота

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – основания,
    c и d – боковые стороны ,
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    ДельтоидПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ – угол между ними

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    φ1 – угол между сторонами, равными a ,
    φ2 – угол между сторонами, равными b .

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a и b – неравные стороны,
    r – радиус вписанной окружности

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    φ – любой из четырёх углов между ними

    Вписанный четырёхугольникПлощадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где
    a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
    p – полупериметр

    Формулу называют «Формула Брахмагупты»

    Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

    КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

    Вывод формул для площадей четырехугольников

    Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

    где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

    где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    то, в силу утверждения 2, справедлива формула

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников,

    где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников,

    где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников
    (рис.6).

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников,

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

    где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

    Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

    Видео:Суперголоволомка. Найди площадь центрального четырехугольникаСкачать

    Суперголоволомка. Найди площадь центрального четырехугольника

    Все формулы по геометрии. Площади фигур

    Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

    Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

    1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

    2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

    3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

    Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников

    На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

    Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

    💥 Видео

    Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

    Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

    Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

    Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

    ОГЭ 2023. Задача на доказательство.24. Сумма площадей треугольников равна половине площади трапеции.Скачать

    ОГЭ 2023. Задача на доказательство.24. Сумма площадей треугольников равна половине площади трапеции.

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

    Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

    Запомни: все формулы для площади треугольника

    9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

    9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

    Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

    Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

    Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

    Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

    Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

    Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

    ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

    ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?

    Огэ.9кл.Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности можно найтиСкачать

    Огэ.9кл.Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности можно найти

    8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

    8 класс, 15 урок, Площадь трапеции
  • Поделиться или сохранить к себе: