Векторы в квантовой физике (8 видео) | Курс школьной геометрии

Вектор состояния. Амплитуда вероятности.

В рамках классической Ньютоновской механики система описывается заданием координат и импульсов всех ее составляющих. Другие свойства являются производными от основных, например, кинетическая энергия. С помощью закона Ньютона мы можем предсказать траекторию движения системы в таком фазовом пространстве. То есть изменение координат и импульсов с течением времени. Например для затухающего маятника это будет спираль.

В квантовой механике система описывается вектором соятояния, который живет в Гильбертовом пространстве. Это более абстрактный объект, чем привычный нам набор физических параметров классических систем.

В данном видео мы рассмотрим математический формализм описания векторов состояния. В последствии мы увидим как эти абстрактные векторы используются для реальных физических расчетов.

Алгебра векторов состояния идентична алгебре рассматриваемых в школьной программе векторов. Но они не имеют геометрической интерпретации в виде направленных отрезков. Несмотря на это для наглядности проведем аналогию с обычными векторами.

Вектор на плоскости можно представить направленным отрезком. Однако нам надо уйти от геометрии и характеризовать его только алгебраически. Это можно сделать задав два числа – декартовы координаты вектора. По аналогии, квантовомеханический вектор состояния, живущий в двумерном пространстве, характеризуется двумя числами – компонентами вектора. Мы запишем их в столбец.

Вектор-столбец называется кет-вектором и обозначается правой скобкой. Это просто общепринятый формализм, введенный одним из отцов-основателей квантовой механики Полом Дираком. Внутри скобок может быть что угодно. Это просто условное обозначение, поясняющее о каком векторе состояния идет речь. Аналогично обозначению обычного вектора стрелочкой над символом.

Сам вектор характеризуется набором чисел (компонентами вектора) в количестве равном размерности пространства в котором живет вектор. В нашем случае два. Эти числа в общем случае комплексные. Именно поэтому вектор состояния нельзя представить направленным отрезком. Декартовы координаты не могут быть комплексными числами.

Векторы состояния как и обычные векторы на плоскости можно складывать друг с другом и умножать на число, которое также может быть комплексным. В координатных обозначениях эти операции идентичны операциям с обычными векторами. Однако из-за замены действительных чисел комплексными, графическое представление умножения на число как увеличение длины вектора уже не работает. Как и графическое сложение по правилу параллелограмма.

В квантовой механике очень важно понятие базисных векторов. В случае обычных векторов в качестве базисных можно выбрать перпендикулярные друг другу векторы в количестве равном размерности пространства. На плоскости единичные векторы ex и ey можно выбрать в качестве базисных. Тогда любой произвольный вектор можно представить как сумму базисных, умноженных на определенные числа. В случае обычных векторов эти числа не что иное, как декартовы координаты вектора. В случае векторов состояния это компоненты вектора. В компонентных обозначениях операции сложения и умножения идентичны действиям с обычными векторами.

Следует подчеркнуть, что выбор базисных векторов отнюдь не единственен. Числовые значения компонент вектора зависят от выбранного базиса, но сам вектор (как математический объект) при смене базиса остается неизменным. В частности неизменным останется скалярное произведение векторов. Однако нам не подойдет школьная формула скалярного произведения векторов как произведения их длин на косинус угла между ними. Мы не сможем определить угол между векторами состояния, потому что они не имеют геометрического представления. Нам нужно все перевести на язык алгебры.

Векторы (как и матрицы) перемножаются по правилу «строка на столбец». Мы можем перевести столбец в строку посредством рассматриваемой в прошлом видео операции эрмитового сопряжения, обозначаемой крестиком. Тогда скалярное произведение запишется как произведение вектор-строки на вектор-столбец. Заметьте, что мы получили аналог школьной формулы для скалярного произведения как суммы произведений соответствующих декартовых координат векторов. Но поскольку компоненты векторов состояния являются комплексными числами, из-за эрмитового сопряжения у нас добавилась операция комплексного сопряжения, обозначаемая звездочкой. В случае обычных чисел комплексное сопряжение ничего не делает и мы получим привычную школьную формулу для скалярного произведения.

Эрмитово-сопряженный кет-вектор обозначается левой скобкой и называется бра-вектор. Поскольку эрмитово сопряжение помимо замен столбцов на строки включает еще и комплексное сопряжение, то в разложении вектора по базисным, мы видим комплексно-сопряженные компоненты. Скалярное произведение обозначается совмещением бра- и кет- векторов и называется в квантовой механике амплитуда вероятности по причинам, которые будут ясны в дальнейшем.

Названия предложены Дираком и являются разложением слова брэкет на две части бра- и кет-.

Скалярное произведение интересно во многих отношениях. Скалярное произведение двух векторов дает не вектор, а число (в общем случае комплексное). То есть амплитуда вероятности это комплексное число. Произведение вектора a на b равно комплексному сопряжению произведения b на a.

Заметьте, что даже если компоненты вектора состояния являются комплексными числами, то скалярное произведение вектора с самим собой — это действительное неотрицательное число. Действительно, входящие в формулу произведения комплексных чисел на свои сопряжения это действительные числа — квадраты модулей комплексного числа. Для обычных векторов скалярное произведение вектора с самим собой это квадрат длины вектора.

Еще одно интересное свойство скалярного произведения: Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то для обычных векторов это означает, что они перпендикулярны. В случае векторов состояния говорят, что они ортогональны. Можно, например, убедиться, что базисные векторы ex и ey ортогональны.

И наконец, компонента вектора равна скалярному произведению данного вектора с соответствующим этой компоненте базисным вектором. Для обычных векторов это свойство наглядно поскольку скалярное произведение векторов можно представить как проекцию одного вектора на направление другого. То есть коэффициенты в разложении вектора состояния по базисным векторам являются амплитудами вероятности.

Содержание

«В основе мироздания лежит понятие красоты»: физик объясняет квантовую теорию поля
Sasha Kononenko
Квантовая механика, не говоря уже о квантовой теории поля, имеет репутацию странной, пугающей и контринтуитивной науки. В научном сообществе есть те, кто по сей день ее не признает. Однако же квантовая теория поля — единственная подтвержденная экспериментом теория, способная объяснить взаимодействие микрочастиц при низких энергиях. Почему это важно? Андрей Ковтун, студент МФТИ и сотрудник кафедры фундаментальных взаимодействий, рассказывает, как с помощью этой теории добраться до главных законов природы или придумать их самим.
Андрей Ковтун
Векторы вместо координат и скоростей
Измерить то, что трудно измерить
Действие
О красоте симметрии
ВЕ́КТОР СОСТОЯ́НИЯ
💡 Видео

Видео:Квантовая физика простым языком - поймут всеСкачать

«В основе мироздания лежит понятие красоты»: физик объясняет квантовую теорию поля

Sasha Kononenko

Квантовая механика, не говоря уже о квантовой теории поля, имеет репутацию странной, пугающей и контринтуитивной науки. В научном сообществе есть те, кто по сей день ее не признает. Однако же квантовая теория поля — единственная подтвержденная экспериментом теория, способная объяснить взаимодействие микрочастиц при низких энергиях. Почему это важно? Андрей Ковтун, студент МФТИ и сотрудник кафедры фундаментальных взаимодействий, рассказывает, как с помощью этой теории добраться до главных законов природы или придумать их самим.

Андрей Ковтун

Как известно, все естественные науки подчиняются определенной иерархии. Например, биология и химия имеют физические основания. И если смотреть на мир через лупу и каждый раз увеличивать ее силу, проводя таким образом редукцию знания, мы потихоньку придем к квантовой теории поля. Это наука, которая описывает свойства и взаимодействия самых маленьких крупиц матери, из которых мы состоим, — частиц, которые принято называть элементарными. Некоторые из них — такие, как, например, электрон — существуют сами по себе, другие же объединяются и образуют составные частицы. Всем известные протоны и нейтроны как раз являются таковыми — они состоят из кварков. А вот сами по себе кварки уже элементарны. Так вот задача физиков — понять и вывести все свойства этих частиц и ответить на вопрос, есть ли еще что-то, что лежит глубже в иерархии фундаментальных физических законов.

Наша реальность — полевая, она состоит из полей, а мы лишь элементарные возбуждения этих полей

Для радикальных ученых конечная цель — полная редукция знаний о мире, для менее радикальных — более глубинное проникновение в тонкости микромира или сверхмикромира. Но как это возможно, если мы имеем дело лишь с частицами? Ответ очень прост. Мы просто берем и сталкиваем их, в прямом смысле разбиваем друг о друга — как дети, которые, желая посмотреть устройство какой-нибудь занятной вещицы, просто бросают ее на пол, а потом изучают осколки. Также и мы сталкиваем частицы, а потом смотрим, какие новые частицы получаются при столкновении, а какие распадаются после продолжительного путешествия в гордом одиночестве. Все эти процессы в квантовой теории описываются так называемыми вероятностями распада и рассеяния. Расчетами этих величин и занимается квантовая теория поля. Но не только ими.

Видео:Квантовая механика 7 - Вектор состояния. Амплитуда вероятности.Скачать

Векторы вместо координат и скоростей

Основное отличие квантовой механики — в том, что мы больше не будем описывать физические тела с помощью координат и скоростей. Основное понятие в квантовой механике — это вектор состояния. Это шкатулка с информацией о физической системе, которую мы изучаем. Причем я использую слово «система», потому что вектор состояния — это штука, которая может описывать состояние как электрона, так и бабушки, лузгающей семечки на скамейке. То есть это понятие имеет очень широкий круг охвата. И мы хотим найти все векторы состояния, которые содержали бы в себе всю необходимую нам информацию об изучаемом объекте.

Далее естественно задаться вопросом «А как же нам эти векторы найти, а потом извлечь из них то, что хочется?». Здесь нам на помощь приходит следующее важное понятие квантовой механики — оператор. Это правило, по которому одному вектору состояния ставится в соответствие другой. Операторы должны обладать определенными свойствами, и некоторые из них (но не все) извлекают информацию из векторов состояния о нужных нам физических величинах. Такие операторы называются операторами физических величин.

Видео:Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.Скачать

Измерить то, что трудно измерить

Квантовая механика последовательно решает две задачи — стационарную и эволюционную, причем по очереди. Суть стационарной задачи состоит в том, чтобы определить все возможные векторы состояния, которые могут описывать физическую систему в данный момент времени. Такие векторы являются так называемыми собственными векторами операторов физических величин. Определив их в начальный момент, интересно проследить, как они будут эволюционировать, то есть меняться со временем.

Мюон — неустойчивая элементарная частица с отрицательным электрическим зарядом и спином 1⁄2. Антимюон — античастица с квантовыми числами (в том числе зарядом) противоположного знака, но с равной массой и спином.

Посмотрим на эволюционную задачу с точки зрения теории элементарных частиц. Пусть мы хотим столкнуть электрон и его партнера — позитрон. Другими словами, у нас есть вектор состояния-1, который описывает электрон-позитронную пару с определенными импульсами в начальном состоянии. А потом мы хотим узнать, с какой вероятностью после столкновения электрона и позитрона родятся мюон и антимюон. То есть система будет описываться вектором состояния, который содержит информацию про мюон и его антипартнера тоже с определенными импульсами в конечном состоянии. Вот вам и эволюционная задача — мы хотим узнать, с какой вероятностью наша квантовая система перескочит из одного состояния в другое.

Образование пары позитрон — электрон © iStock

Пусть мы также решаем задачу о переходе физической системы из состояния-1 в состояние-2. Допустим, у вас есть шарик. Он хочет попасть из точки A в точку B, и существует множество мыслимых путей, по которым он мог бы совершить это путешествие. Но повседневный опыт показывает, что если вы кидаете шарик под определенным углом и с определенной скоростью, то у него есть только один реальный путь. Квантовая же механика утверждает другое. Она говорит, что шарик путешествует одновременно по всем этим траекториям. Каждая из траекторий вносит свой (больший или меньший) вклад в вероятность перехода из одной точки в другую.

Квантовая теория поля называется так потому, что она описывает не частицы сами по себе, а некоторые более общие сущности, которые называются полями. Частицы же в квантовой теории поля являются элементарными переносчиками полей. Представьте воды мирового океана. Пусть наш океан спокоен, на его поверхности ничего не бурлит, нет волн, пены и так далее. Наш океан есть поле. А теперь представьте уединенную волну — только один гребень волны в форме горки, родившийся в результате какого-то возбуждения (например, удара по воде), который теперь путешествует по бескрайним просторам океана. Это частица. Эта аналогия иллюстрирует главную идею: частицы есть элементарные возбуждения полей. Таким образом, наша реальность — полевая, а мы состоим лишь из элементарных возбуждений этих полей. Будучи рожденными этими самыми полями, их кванты содержат в себе все свойства своих прародителей. Такова роль частиц в мире, в котором одновременно существует множество океанов, именуемых полями. С классической точки зрения поля сами по себе — это обычные числовые функции. Они могут состоять только из одной функции (скалярные поля), а могут — из множества (векторные, тензорные и спинорные поля).

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Действие

Вот теперь пришло время снова вспомнить о том, что каждая траектория, по которой физическая система переходит из состояния-1 в состояние-2, формируется некоторой амплитудой вероятности. В своих работах американский физик Ричард Фейнман предположил, что вклады всех траекторий равны по величине, но отличаются на фазу. По-простому, если у вас волна (в данном случае — квантовая волна вероятности) путешествует из одной точки в другую, фаза (деленная на множитель 2π) показывает, сколько колебаний укладывается на этом пути. Эта фаза есть число, которое вычисляется с помощью некоторого правила. А число это называется действием.

В основе мироздания, по сути, лежит понятие красоты, которое получило отражение в термине «симметрия»

С действием связан основной принцип, на котором сейчас строятся все разумные модели, описывающие физику. Это принцип наименьшего действия, и, коротко говоря, суть его состоит в следующем. Пусть у нас есть физическая система — это может быть как точка, так и шарик, который хочет переместиться из одного места в другое, или это может быть какая-то конфигурация поля, которая хочет измениться и стать другой конфигурацией. Они могут сделать это множеством способов. Например, частичка пытается в поле тяготения Земли попасть из одной точки в другую, и мы видим, что, в , путей, по которым она может это сделать, бесконечно много. Но жизнь подсказывает, что в действительности при заданных начальных условиях траектория, которая позволит ей попасть из одной точки в другую, только одна. Теперь — к сути принципа наименьшего действия. Мы каждой траектории по определенному правилу приписываем число, называемое действием. Потом сравниваем все эти числа и выбираем только те траектории, для которых действие будет минимальным (в некоторых случаях — максимальным). Используя такой способ выбора путей наименьшего действия, можно получать законы Ньютона для классической механики или уравнения, описывающие электричество и магнетизм!

Остается осадок оттого, что не очень понятно, что это за число такое — действие? Если сильно не приглядываться, то это некоторая абстрактная математическая величина, которая, на первый взгляд, не имеет никакого отношения к физике — кроме того, что она случайным образом выплевывает известный нам результат. На самом деле все намного интереснее. Принцип наименьшего действия в самом начале был получен как следствие законов Ньютона. Потом на его основе сформулировали законы распространения света. Также его можно получить из уравнений, описывающих законы электричества и магнетизма, а потом в обратную сторону — из принципа наименьшего действия прийти к этим же законам.

Атом азота © iStock

Замечательно, что разные, на первый взгляд, теории обретают одинаковую математическую формулировку. И это наталкивает нас на следующее предположение: не можем ли мы сами придумывать какие-нибудь законы природы с помощью принципа наименьшего действия, а потом искать их в эксперименте? Можем и делаем! В этом и состоит значение этого неестественного и сложного для понимания принципа. Но он работает, что заставляет задуматься о нем именно как о некоторой физической характеристике системы, а не как об абстрактной математической формулировке современной теоретической науки. Важно также отметить, что мы не можем писать любые действия, которые подскажет нам наше воображение. Пытаясь придумать, как должно выглядеть действие очередной физической теории поля, мы используем симметрии, которыми обладает физическая природа, и наряду с фундаментальными свойствами пространства-времени мы можем использовать множество других интересных симметрий, которые подсказывает нам теория групп (раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. — Прим. ред.).

Видео:Вселенная нереальна? 9 - Экспериментов в квантовой физики.Скачать

О красоте симметрии

Замечательно, что мы получили не просто сводку законов, описывающую какие-то природные явления, а именно способ теоретически получать законы типа ньютоновских или уравнений Максвелла. И хотя квантовая теория поля описывает элементарные частицы лишь на уровне низких энергий, она уже сослужила хорошую службу физикам во всем мире и пока является единственной теорией, здраво описывающей свойства самых мелких кирпичиков, составляющих наш мир. То, чего, собственно, хотят ученые, — это написать такое вот действие, только квантовое, которое содержало бы в себе сразу все возможные законы природы. Хотя даже если бы это удалось, то не разрешило бы всех интересных нам вопросов.

В основе глубинного понимания законов природы лежат некоторые сущности, которые имеют чисто математическую природу. И сейчас, чтобы попытаться проникнуть в глубины мироздания, приходится отказываться от качественных, интуитивно понятных аргументов. Рассказывая о квантовой механике и квантовой теории поля, очень тяжело найти понятные и наглядные аналогии, но самое главное, что я хотел бы донести, — это то, что в основе мироздания лежит, по сути, понятие красоты, которое получило отражение в термине «симметрия». Симметрия поневоле ассоциируется с красотой, как это было, например, у древних греков. И именно симметрии наряду с законами квантовой механики лежат в основе устройства самых маленьких кирпичиков мира, до которых к настоящему моменту удалось добраться физикам.

Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

ВЕ́КТОР СОСТОЯ́НИЯ

В книжной версии

Том 4. Москва, 2006, стр. 710

Скопировать библиографическую ссылку:

ВЕ́КТОР СОСТОЯ́НИЯ, физическая величина, характеризующая возможное состояние квантовой системы; одно из осн. понятий квантовой механики . В отличие от классич. механики, где движение тел описывается экспериментально измеримыми величинами – наблюдаемыми (координатами, импульсом, моментом импульса, энергией и т. д.), в квантовой механике результаты измерений той или иной величины предсказываются лишь вероятностно. Все возможные состояния данной системы образуют пространство состояний (бесконечномерное гильбертово пространство ), элементами которого и являются В. с. Как и в математике, В. с. можно складывать, получая новые возможные состояния ( суперпозиции принцип ), умножать на комплексные числа, каждой паре В. с. сопоставляется комплексное число – их скалярное произведение.