Векторы a b c удовлетворяют

Геометрия | 5 — 9 классы

Векторы a, b, c удовлетворяют условиям a + b + c = 0, |a| = 13, |b| = 14, |c| = 15.

Вычислите сумму ab + bc + ac.

По теореме косинусов :

c² = a² + b² — 2ab·cos(

C), 15² = 13² + 14² — 2·13·14·cos(

a² = c² + b² — 2ac·cos(

∠ A), 13² = 15² + 14² — 2·15·14·cos(

b² = c² + a² — 2bc·cos(

∠ B), 14² = 15² + 13² — 2·15·13·cos(

$overrightarrow +overrightarrow +overrightarrow =13cdot 14cos(angle C)+14cdot 15cos(angle A)+13cdot 15cos(angle B)= \ =13cdot 14cdot frac+ 14cdot 15cdot frac+13cdot 15cdot frac=70+100+ 125=295$.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Длина вектора, равного сумме двух векторов, не превосходит сумму длин этих векторов?

Длина вектора, равного сумме двух векторов, не превосходит сумму длин этих векторов.

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Изобразите векторы АВ и АК постройте вектор?

Изобразите векторы АВ и АК постройте вектор.

Равный сумме данных векторов.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Вычислите |вектор а + вектор в|, если |вектор а| = |вектор в| = 1, а угол между ними равен 30 градусов?

Вычислите |вектор а + вектор в|, если |вектор а| = |вектор в| = 1, а угол между ними равен 30 градусов.

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Определить герметрическое место концов переменного вектора х, если его начало находится в данной точке А и вектор х удовлетворяет условие ха = а, а данный вектор, а а данное число?

Определить герметрическое место концов переменного вектора х, если его начало находится в данной точке А и вектор х удовлетворяет условие ха = а, а данный вектор, а а данное число.

Видео:№349. Три точки А, В и М удовлетворяют условию АМ = λ⋅MB, где λ≠— 1. Докажите,Скачать

Очень срочно Найти вектор х, что коллинеарный вектору а = ( — 2, 3, 1) и удовлетворяет условию х * а = — 7?

Очень срочно Найти вектор х, что коллинеарный вектору а = ( — 2, 3, 1) и удовлетворяет условию х * а = — 7.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Помогите срочно пожалуйста непонимаю как делать) Даны три вектора а, b и с, удовлетворяющие условию а + b + с = 0?

Помогите срочно пожалуйста непонимаю как делать) Даны три вектора а, b и с, удовлетворяющие условию а + b + с = 0.

Зная, что |а| = 10, |b| = 12 и |с| = 14, вычислить ab + be + са.

Видео:ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

РЕШИТЕ СРОЧНО СУММУ ВЕКТОРОВ?

РЕШИТЕ СРОЧНО СУММУ ВЕКТОРОВ!

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Обьясните, какой вектор называется суммой двух векторов?

Обьясните, какой вектор называется суммой двух векторов?

В чём заключается правило теугольника сложения двух векторов?

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Дано : вектор а + вектор b = 0?

Дано : вектор а + вектор b = 0.

Вычислить координаты вектора b.

1). вектор а (1 ; 4), 2) вектор а ( — 3 ; 6) 3) вектор а (0 ; — 5).

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Что называется суммой двух векторов?

Что называется суммой двух векторов?

Вы находитесь на странице вопроса Векторы a, b, c удовлетворяют условиям a + b + c = 0, |a| = 13, |b| = 14, |c| = 15? из категории Геометрия. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Парабола ограничена линиями у = 0 и х = 1. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Х² — 4х + 3 = 0, По теореме Виета х1 = 3 ; х2 = 1. По формуле Ньютона — Лейница вычислим интеграл функции с пределами 1 и 3. См фото 2. S = 30, (6) кв. Ед.

В 1842 году было путешествие колумба.

В равнобедренном треугольнике внутренний угол при вершине, противолежащей основанию, является смежным по отношению к внешнему и поэтому равен 180° — 108° = 72°. Углы при основании равны и каждый из них равен 72° : 2 = 36°. Ответ : угол, равный 36° ..

А) Пусть меньший угол равен Х, тогда больший равен 3Х. Зная, что сумма смежных углов равна 180°, составляет уравнение : 4Х = 180 Х = 45° меньший угол равен 45°, а больший 135° б) Пояснение сам напишешь. 2Х + 20 = 180 Х = 80 Меньший угол равен 80°, ..

Угол АВС меньше угла АДС т. К. Угол АВС = 180 — оба угла а угол АДС равен 180 — часть от этих двух углов.

Найдём угол К 180° — 55° — 65° = 60° Наибольший угол М = 65° Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона Следовательно, большей стороной является сторона NK.

Основание больше ведь у него оба угла по 55 градусов.

Это двадцать знаков.

По теореме Пифагора, CB² = AB² — AC² = 225 — 29 = 196 условных единиц длины⇒CB = √196 = 14 условных единиц длины.

S = 2(3 * 2 + 2 * 5 + 3 * 5) = 62 v = 3 * 2 * 5 = 30 .

Видео:Лекция 2.3 | Векторы | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

подскажите пожалуйста ход решения. математика. вектора

известно, что [ab] + [bc] + [ca] = 0 (a,b,c-вектора)
доказать компланарность a,b,c

умножим [ab] + [bc] + [ca] скалярно на a.
a[ab] + a[bc] + a[ca] = 0
первое и последнее слагаемые равны нулю (смешанное произведение, в котором дважды присутствует один и тот же вектор) .
остается a[bc]=0
==>> a,b,c компланарны.

Смысл доказывать это аксиома
Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

• он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
• он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
  
• длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
  
• тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

• Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
• Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Видео:№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОАСкачать

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

1. Антикоммутативность
   
2. Свойство дистрибутивности
   

Сочетательное свойство

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Видео:#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

🎦 Видео

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

№740. Начертите векторы АВ, CD, и EF так, чтобы:Скачать