Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Задание 20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

2) Все диаметры окружности равны между собой.

3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

1) Нет, диагонали трапеции не делятся точкой пересечения пополам.

2) Да, все диаметры одной и той же окружности равны.

3) Да, так как сумма углов в треугольнике 180°, то максимальное значение наименьшего из его углов равно 180:3=60° (случай равностороннего треугольника).

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Какие из следующих утверждений верны?

1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

2) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

3) Все диаметры окружности равны между собой.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов» — верно, сумма всех углов в треугольнике равна 180°, значит, меньший угол в треугольнике Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, в любом треугольнике есть угол, не превышающий 60 градусов, а значит, один из углов любого треугольника не превышает 60 градусов.

2) «Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам» — неверно.

3) «Все диаметры окружности равны между собой» — верно.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополамОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополамСвойства хорд и дуг окружности
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополамТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополамДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополамТеорема о бабочке

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
КругДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
РадиусДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
ХордаДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
ДиаметрДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
КасательнаяДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
СекущаяДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Окружность
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополамДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополамЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополамБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополамУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополамДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:№97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA.Скачать

№97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДиаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Пересекающиеся хорды
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам
Пересекающиеся хорды
Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Диаметры окружности делятся точкой пересечения пополам

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

💡 Видео

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 кл

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.Скачать

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Любые два диаметра окружности пересекаются. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любые два диаметра окружности пересекаются. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Медианы треугольника пересекаются в точке М. Свойство пересекающихся хорд.Скачать

Медианы треугольника пересекаются в точке М.  Свойство пересекающихся хорд.

ОГЭ по математике. 3 вар. (20) Какое из следующих утверждений верно ОГЭСкачать

ОГЭ по математике. 3 вар. (20) Какое из следующих утверждений верно ОГЭ

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать

Задача. Две окружности касаются внутренним образом.

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

Свойство диаметра окружности. 7 класс.

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружности
Поделиться или сохранить к себе: