Векторные и скалярные вектора поля

Скалярное поле. Векторное поле. Основные понятия и задачи

Видео:Скалярные и векторные величины, основные определения.Скачать

Скалярные и векторные величины, основные определения.

Понятие поля в математике

Теория поля является разделом математики, однако понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u , если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определённое значение), поле давлений, поле скоростей и другие поля.

Поле величины u называется стационарным, (или установившимся), если u не зависит от времени t . В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки M и времени t .

В задачах физики чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные.

Видео:Скалярное и векторное поля. Определения и отличия.Скачать

Скалярное и векторное поля. Определения и отличия.

Скалярное поле: определение, поверхности уровня и линии уровня

Пусть D — некоторая область на плоскости или в пространстве.

Определение скалярного поля. Если в области D каждой точке M(x,y,z) пространства или точке M(x,y) плоскости в каждый момент времени t по определённому закону ставится в соответствие значение скалярной величины u , то функция u(x,y,z,t) в случае пространства или u(x,y,t) в случае плоскости называется скалярным полем.

Понятия скалярного поля и функции, определённой в области D , совпадают.

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику тепла, температура выше, чем в точках, расположенных дальше от источника тепла. Можно привести и такие примеры, как поле освещённости, поле плотности массы и тому подобные.

Для получения более полного представления о скалярном поле используется его графическое изображение — поверхности уровня в пространстве и линии уровня на плоскости.

Линии уровня широко используются при составлении топографических и метеорологических карт. На топографических картах линия уровня — линия, в точках которой отмечена одна и та же высота над уровнем моря. На метеорологических картах строят два вида линий уровня — изотермы (линии одинаковой температуры) и изобары (линии одинакового давления).

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество всех тех точек пространства, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение поверхности уровня скалярного поля u(x,y,z) :

При постоянном изменении значения C поверхности уровня заполняют всю область пространства. Если поверхности уровня размещены плотно, скалярное поле изменяется быстро. Если же поверхности уровня расположены редко, скалярное поле изменяется медленно.

Определение. Линией уровня скалярного поля называется множество всех тех точек на плоскости, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение линии уровня скалярного поля u(x,y) :

Пример 1. Определить поверхности уровня скалярного поля Векторные и скалярные вектора поляи их вид.

Решение. Уравнением поверхностей уровня данного скалярного поля является

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля.

Векторные и скалярные вектора поля

Поверхностями уровня являются конусы с вершиной в начале координат и осью вращения Oy . Так как по области определения Векторные и скалярные вектора поля, то одновременно не может быть x = 0 и z = 0 . Поэтому следует исключить вершину конусов.

Пример 2. Определить линии уровня скалярного поля Векторные и скалярные вектора поляи их вид.

Решение. Уравнением линий уровня данного скалярного поля является

Векторные и скалярные вектора поля.

Из этого уравнения выразим «игрек»:

Векторные и скалярные вектора поля.

Так как arcsinC — также константа, обозначим её C 1 . Тогда

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Графиками этих линий являются параболы с вершиной в точках Векторные и скалярные вектора поляи ветвями вниз. На рисунке изображены линии уровня в трёх случаях: C 1 = 1 — красная линия, C 1 = 2 — зелёная линия, C 1 = 3 — синяя линия.

Видео:Скалярные и векторные поля. ТемаСкачать

Скалярные и векторные поля. Тема

Векторное поле: определение, векторные линии

Понятие векторного поля во многом аналогично понятию скалярного поля.

Определение векторного поля. Если в некоторой области пространства каждой точке M по определённому закону ставится в соответствие вектор Векторные и скалярные вектора поля, то векторная функция Векторные и скалярные вектора поляназывается полем вектора или векторным полем.

Таким образом, векторным полем является векторная функция точки пространства

Векторные и скалярные вектора поля

Примерами векторного поля являются поля скорости и ускорения в текущей жидкости или газе, поле силы гравитации, поле интенсивности электростатического поля и тому подобные. Вообще, примером векторного поля может служить поле сил любой природы.

Мы будем рассматривать только стационарные векторные поля, то есть поля, не зависящие от времени.

Проекции вектора Векторные и скалярные вектора поля, соответствующего точке M , на координатные оси обозначим P = P(x,y,z) , Q = Q(x,y,z) , R = R(x,y,z) . Тогда векторное поле сможем задать через компоненты:

Векторные и скалярные вектора поля.

Таким образом, векторное поле можно определить тремя скалярными функциями P , Q , R . Пусть эти функции и их частные производные по переменным x,y,z являются непрерывными функциями.

Определение. Векторной линией называется линия, направление которой в каждой точке касательной совпадает с направлением вектора поля в этой точке (рисунок ниже).

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные линии поля силы обычно называют линиями силы, векторные линии поля скоростей потока жидкости или газа — векторами потока. У стационарного потока жидкости линии потока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Уравнения векторных линий можно найти, решив систему дифференциальных уравнений

Векторные и скалярные вектора поля.

Пример 3. Найти линии вектора поля Векторные и скалярные вектора поля.

Решение. Так как Векторные и скалярные вектора поля, Векторные и скалярные вектора поля, Векторные и скалярные вектора поля, получаем систему дифференциальных уравнений

Векторные и скалярные вектора поля.

Из первого равенства получаем

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля. Из последнего равенства следует Векторные и скалярные вектора поля. Таким образом, получаем

Векторные и скалярные вектора поля

И получаем уравнения векторных линий данного векторного поля:

Видео:Градиент скалярного поляСкачать

Градиент скалярного поля

Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.

Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор Векторные и скалярные вектора поля, то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воздуха, тела, …), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, …), электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.

Если функция Векторные и скалярные вектора поляне зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):

Векторные и скалярные вектора поля

(Наряду с обозначениями Векторные и скалярные вектора поляиспользуют запись Векторные и скалярные вектора поля— радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(х; у) называют плоским.

Аналогично: вектор Векторные и скалярные вектора поля, определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов Векторные и скалярные вектора поля

Вектор Векторные и скалярные вектора поляможно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

Векторные и скалярные вектора поля

где P(x;y;z), Q(x;y;z ), R(x;y;z) — проекции вектора Векторные и скалярные вектора поляна оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора Векторные и скалярные вектора поляравна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, Векторные и скалярные вектора поля

Векторное поле называется однородным, если Векторные и скалярные вектора поля— постоянный вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = — mg, g — ускорение силы тяжести, m — масса точки.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции (U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими частными производными.

Пример:

Функция Векторные и скалярные вектора поляопределяет скалярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле Векторные и скалярные вектора поляопределено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней Векторные и скалярные вектора поля).

Пример:

Найти поле линейной скорости Векторные и скалярные вектора поляматериальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью Векторные и скалярные вектора полявокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Решение:

Угловую скорость представим в виде вектора Векторные и скалярные вектора поля, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

Построим радиус-вектор Векторные и скалярные вектора поляточки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости Векторные и скалярные вектора поля(модуль), как известно из курса физики, равно Векторные и скалярные вектора поля, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y,z) от оси вращения (оси Oz).Но Векторные и скалярные вектора поля— угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, Векторные и скалярные вектора поля

Вектор скорости Векторные и скалярные вектора полянаправлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторного произведения Векторные и скалярные вектора полявекторы Векторные и скалярные вектора поляобразуют правую тройку). Следовательно, Векторные и скалярные вектора полят. е.

Векторные и скалярные вектора поля

или Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Поле линейных скоростей Векторные и скалярные вектора полятела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле.

Векторные и скалярные вектора поля

Видео:Сравнение скалярного и векторного произведений векторов (видео 16) | Магнетизм | ФизикаСкачать

Сравнение скалярного и векторного произведений векторов (видео 16) | Магнетизм | Физика

Скалярное поле

Поверхности и линии уровня:

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

Векторные и скалярные вектора поля

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

Векторные и скалярные вектора поля

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат: Векторные и скалярные вектора поляВ частности, при с = 1 получим Векторные и скалярные вектора поля, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.

В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений (см. п. 12.9).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении Векторные и скалярные вектора поля. Пусть вектор Векторные и скалярные вектора поляимеет начало в точке М и направляющие косинусы Векторные и скалярные вектора поля

Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке Векторные и скалярные вектора поляв направлении вектора Векторные и скалярные вектора поляопределяется как

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Производной от функции U = U(M) в точке М по направлению Векторные и скалярные вектора поляназывается предел

Векторные и скалярные вектора поля

Производная по направлению Векторные и скалярные вектора поляи характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если Векторные и скалярные вектора поля> 0, то функция U возрастает в направлении Векторные и скалярные вектора поля, если Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля— бесконечно малые функции при Векторные и скалярные вектора поля(см. п. 44.3). Поскольку

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Переходя к пределу при Векторные и скалярные вектора поляполучим формулу для вычисления производной по направлению:

Векторные и скалярные вектора поля

В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

Формула (70.2) принимает вид:

Векторные и скалярные вектора поля

Замечание:

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Векторные и скалярные вектора поляИх можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Векторные и скалярные вектора полясовпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) Векторные и скалярные вектора поляполучим

Пример:

Найти производную функции Векторные и скалярные вектора поляв точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Векторные и скалярные вектора поля
Решение:

Находим вектор Векторные и скалярные вектора поляи его направляющие косинусы:

Векторные и скалярные вектора поля

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:

Векторные и скалярные вектора поля

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

Поскольку jj^- Градиент скалярного поля и его свойства

В каком направлении Векторные и скалярные вектора поляпроизводная Векторные и скалярные вектора поляимеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора

Векторные и скалярные вектора поля

и некоторого вектора

Векторные и скалярные вектора поля

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е. Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поляугол между вектором grad U и направлением Векторные и скалярные вектора поля(см. рис. 269).

Векторные и скалярные вектора поля

Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда Векторные и скалярные вектора поляТаким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна

Векторные и скалярные вектора поля

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.

Приведем важные свойства градиента функции.

1.Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня Векторные и скалярные вектора поляНо тогда из (70.3) следует, что Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.

Пример:

Найти наибольшую скорость возрастания функции

Векторные и скалярные вектора поля

Решение:

Векторные и скалярные вектора поля

Наибольшая скорость возрастания функции равна

Векторные и скалярные вектора поля

Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью Векторные и скалярные вектора поля, если точка А движется в направлении Векторные и скалярные вектора поля(антиградиентное направление).

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Векторное поле

Векторные линии поля:

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором Векторные и скалярные вектора поля. Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.

Векторной линией поля Векторные и скалярные вектора поляназывается линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора Векторные и скалярные вектора поля.

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

Векторные и скалярные вектора поля

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Векторные и скалярные вектора поля

Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, Векторные и скалярные вектора поля— ее радиус-вектор. Тогда вектор Векторные и скалярные вектора полянаправлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов Векторные и скалярные вектора поляследует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).

Пример:

Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Векторные и скалярные вектора полявокруг оси Oz.

Решение:

Это поле определено вектором Векторные и скалярные вектора поля(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

Интегрируя, получим: Векторные и скалярные вектора полят. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать Векторные и скалярные вектора полявектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть Векторные и скалярные вектора поля— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки Векторные и скалярные вектора поляВыберем в каждой площадке точку Векторные и скалярные вектора поля(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости Векторные и скалярные вектора поляв каждой точке: .Векторные и скалярные вектора поля.

Векторные и скалярные вектора поля

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор Векторные и скалярные вектора поляпостоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через Векторные и скалярные вектора поляпротекает количество жидкости, приближенно равное Векторные и скалярные вектора поля— площадь i-й площадки,Векторные и скалярные вектора поля— высота i-гo цилиндра с образующей Векторные и скалярные вектора поля. Но Я, является проекцией вектора Векторные и скалярные вектора поляна нормаль Векторные и скалярные вектора поля— единичный вектор нормали к поверхности в точке Векторные и скалярные вектора поля. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

Векторные и скалярные вектора поля

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров Векторные и скалярные вектора поляплощадок):

Векторные и скалярные вектора поля

Независимо от физического смысла поля Векторные и скалярные вектора поляполученный интеграл называют потоком векторного поля.

Потоком вектора Векторные и скалярные вектора поля через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

Векторные и скалярные вектора поля

Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля— проекция вектора а на направление нормали Векторные и скалярные вектора поля— дифференциал (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

Векторные и скалярные вектора поля

где вектор Векторные и скалярные вектора полянаправлен по нормали к поверхности, причем Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

— проекции вектора Векторные и скалярные вектора поляна соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора Векторные и скалярные вектора поля, можно записать в виде

Векторные и скалярные вектора поля

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

Векторные и скалярные вектора поля

Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде

Векторные и скалярные вектора поля

В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).

Если векторное поле Векторные и скалярные вектора поляесть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором Векторные и скалярные вектора поляострый угол и Векторные и скалярные вектора поляв точках, где векторные линии входят в объем, Векторные и скалярные вектора поля).

При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если К Векторные и скалярные вектора поля

Пример:

Найти поток вектора Векторные и скалярные вектора полячерез верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Решение:

Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть Векторные и скалярные вектора поляна верхней стороне Векторные и скалярные вектора поляпоэтому надо выбрать знак «минус»; получим:

Векторные и скалярные вектора поля

Итак, Векторные и скалярные вектора поляНаходимВекторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

В результате имеем: Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Пример:

Найти поток радиус-вектора Векторные и скалярные вектора полячерез внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).

Решение:

Векторные и скалярные вектора поля

Очевидно, чтоВекторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

т. к. Векторные и скалярные вектора поля

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

Векторные и скалярные вектора поля

в точке М называется скаляр вида Векторные и скалярные вектора поляи обозначается символом Векторные и скалярные вектора поля, т. е.

Векторные и скалярные вектора поля

Отметим некоторые свойства дивергенции.

  1. Если Векторные и скалярные вектора поля— постоянный вектор, то Векторные и скалярные вектора поля
  2. Векторные и скалярные вектора полягде с = const.
  3. Векторные и скалярные вектора полят. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, Векторные и скалярные вектора поля— вектор, то

Векторные и скалярные вектора поля

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как Векторные и скалярные вектора полято

Векторные и скалярные вектора поля

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Векторные и скалярные вектора поля

в так называемой векторной форме.

Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора Векторные и скалярные вектора полячерез поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора Векторные и скалярные вектора поля. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

Векторные и скалярные вектора поля

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля Векторные и скалярные вектора поляв точке М (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля— некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде Векторные и скалярные вектора поляОтсюда

Векторные и скалярные вектора поля

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда Векторные и скалярные вектора поля, и мы получаем выражение для Векторные и скалярные вектора поляв точке М:

Векторные и скалярные вектора поля

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Векторные и скалярные вектора поля

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что Векторные и скалярные вектора поляесть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при Векторные и скалярные вектора поляточка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при Векторные и скалярные вектора поляточка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина Векторные и скалярные вектора поляхарактеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то Векторные и скалярные вектора поля

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. Векторные и скалярные вектора поляназывается соленоидалъным (или трубчатым).

Пример:

Найти дивергенцию поля линейных скоростей Векторные и скалярные вектора поляжидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью Векторные и скалярные вектора поля.

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), Векторные и скалярные вектора поляИмеем:

Векторные и скалярные вектора поля

Поле Векторные и скалярные вектора поля— соленоидальное.

Циркуляция поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Пусть Векторные и скалярные вектора поля— радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор Векторные и скалярные вектора полянаправлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и Векторные и скалярные вектора поля— дифференциал дуги кривой Векторные и скалярные вектора поля

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора Векторные и скалярные вектора поляна вектор Векторные и скалярные вектора поля, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.

Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля— проекция вектора Векторные и скалярные вектора поляна касательную Векторные и скалярные вектора поля, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы Векторные и скалярные вектора поляполя при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение Векторные и скалярные вектора полясохраняет знак: положительный, если направление вектора Векторные и скалярные вектора полясовпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.

Пример:

Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2) Векторные и скалярные вектора полявдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости Векторные и скалярные вектора поля, перпендикулярной оси вращения.

Решение:

Будем считать, что направление нормали к плоскости Векторные и скалярные вектора полясовпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол Векторные и скалярные вектора поляс осью Oz, то циркуляция будет равна Векторные и скалярные вектора поляс изменением угла Векторные и скалярные вектора полявеличина С изменяется.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Векторные и скалярные вектора поля

вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).

Векторные и скалярные вектора поля

Решение:

Согласно формуле (71.12), имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,

Векторные и скалярные вектора поля

На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,

Векторные и скалярные вектора поля

На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Ротор поля. Формула Стокса

Ротором (или вихрем) векторного поля

Векторные и скалярные вектора поля

называется вектор, обозначаемый Векторные и скалярные вектора поляи определяемый формулой

Векторные и скалярные вектора поля

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:

Векторные и скалярные вектора поля

Отметим некоторые свойства ротора.

  1. Если Векторные и скалярные вектора поля— постоянный вектор, то Векторные и скалярные вектора поля
  2. Векторные и скалярные вектора поля
  3. Векторные и скалярные вектора полят. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.
  4. Если U — скалярная функция, а Векторные и скалярные вектора поля— векторная, то

Векторные и скалярные вектора поля

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:

Векторные и скалярные вектора поля

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:

Векторные и скалярные вектора поля

Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора Векторные и скалярные вектора поляпо контуру L, т. е. Векторные и скалярные вектора поля(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора Векторные и скалярные вектора полячерез поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

Векторные и скалярные вектора поля

Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля

Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.

Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора Векторные и скалярные вектора поля вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора Векторные и скалярные вектора поля через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля— некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).

Векторные и скалярные вектора поля

Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда Векторные и скалярные вектора поляПерейдя к пределу, получаем:

Векторные и скалярные вектора поля

Ротором вектора Векторные и скалярные вектора поля в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора Векторные и скалярные вектора поляесть векторная величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) Векторные и скалярные вектора поля, т. е. ротор вектора Векторные и скалярные вектора поля

По определению ротора

Векторные и скалярные вектора поля

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей Векторные и скалярные вектора поляпредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Замечание:

Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.

Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

Оператор Гамильтона

Векторные дифференциальные операции первого порядка:

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем Векторные и скалярные вектора поляявляются gradU, Векторные и скалярные вектора поляДействия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона

Векторные и скалярные вектора поля

Этот символический вектор называют также оператором Векторные и скалярные вектора поля(читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Векторные и скалярные вектора поляна скаляр U или вектор Векторные и скалярные вектора поляпроизводится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов Векторные и скалярные вектора поляна величины Векторные и скалярные вектора поляпонимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

Векторные и скалярные вектора поля

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля

Векторные дифференциальные операции второго порядка

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:

Векторные и скалярные вектора поля

(Понятно, что операция Векторные и скалярные вектора полянапример, не имеет смысла: Векторные и скалярные вектора поля— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о Векторные и скалярные вектора полябессмысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.

Векторные и скалярные вектора поля

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается Векторные и скалярные вектора поля. Таким образом,

Векторные и скалярные вектора поля

Дифференциальное уравнение Лапласа Векторные и скалярные вектора поляиграет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:

Векторные и скалярные вектора поля

(который тоже называют оператором Лапласа).

2. Векторные и скалярные вектора полятак как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

Векторные и скалярные вектора поля

4. Векторные и скалярные вектора полятак как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.

Векторные и скалярные вектора поля

так как двойное векторное произведение обладает свойством

Векторные и скалярные вектора поля

Здесь Векторные и скалярные вектора поля— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору Векторные и скалярные вектора поля.

Некоторые свойства основных классов векторных полей

Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле Векторные и скалярные вектора поляназывается соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. Векторные и скалярные вектора поля

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.

Приведем некоторые свойства соленоидального поля.

  1. В соленоидальном поле Векторные и скалярные вектора поляпоток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков.
  2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Векторные и скалярные вектора поля, то существует такое поле Векторные и скалярные вектора поля, что Векторные и скалярные вектора поля. Вектор Векторные и скалярные вектора поляназывается векторным потенциалом поляВекторные и скалярные вектора поля.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что Векторные и скалярные вектора поля).

3. В соленоидальном поле Векторные и скалярные вектора поляпоток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).

Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями Векторные и скалярные вектора полябоковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Векторные и скалярные вектора поляравен нулю. Следовательно,

Векторные и скалярные вектора поля

где n — внешняя нормаль.

Векторные и скалярные вектора поля

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то Векторные и скалярные вектора поляи, следовательно,

Векторные и скалярные вектора поля

Переменив направление нормали на площадке Векторные и скалярные вектора поля, т.е. взяв внутреннюю нормаль Векторные и скалярные вектора поляполучим:

Векторные и скалярные вектора поля

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

Потенциальное поле

Векторное поле Векторные и скалярные вектора поляназывается потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. Векторные и скалярные вектора поляПримером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Свойство 1. Циркуляция потенциального поля Векторные и скалярные вектора поляпо любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,

Векторные и скалярные вектора поля

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Свойство 2. В потенциальном поле Векторные и скалярные вектора полякриволинейный интеграл Векторные и скалярные вектора полявдоль любой кривой L с началом в точке Векторные и скалярные вектора поляи концом в точке Векторные и скалярные вектора полязависит только от положения точек Векторные и скалярные вектора поляи не зависит от формы кривой.

Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки Векторные и скалярные вектора полясоединим их двумя кривыми Векторные и скалярные вектора полятак, чтобы контур Векторные и скалярные вектора полялежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем

Векторные и скалярные вектора поля

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если Векторные и скалярные вектора поля, то существует функция U (х; у; z) такая, что Векторные и скалярные вектора поля

Из равенства Векторные и скалярные вектора полявытекает, что Векторные и скалярные вектора полят. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля

Векторные и скалярные вектора поля

Отсюда: Векторные и скалярные вектора поляСледовательно,

Векторные и скалярные вектора поля

т. е. вектор поля Векторные и скалярные вектора поляявляется градиентом скалярного поля.

Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.

Из равенства Векторные и скалярные вектора поляследует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Векторные и скалярные вектора поля

где Векторные и скалярные вектора поля— координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U ).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).

Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле Векторные и скалярные вектора поляназывается потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. Векторные и скалярные вектора поля. (Иногда пишут Векторные и скалярные вектора поля; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример:

Установить потенциальность поля

Векторные и скалярные вектора поля

и найти его потенциал.

Решение:

Векторные и скалярные вектора поля

Следовательно, поле вектора Векторные и скалярные вектора поляпотенциальное.

Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е. Векторные и скалярные вектора поляТак как

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Гармоническое поле

Векторное поле Векторные и скалярные вектора поляназывается гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Так как поле Векторные и скалярные вектора поляпотенциально, то его можно записать в виде Векторные и скалярные вектора поля— потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

Векторные и скалярные вектора поля

или, что то же самое,

Векторные и скалярные вектора поля

т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Векторные и скалярные вектора поля

Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля Векторные и скалярные вектора поля

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.

Скалярные и векторные поля

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Физика | Ликбез по векторам

Производная скалярного и векторного поля.

Будем рассматривать пространство, подчиняющееся законам геометрии Евклида. Напомним, что каждой паре точек (A) и (B) пространства можно поставить в соответствие вектор (overrightarrow). Векторы складываются и умножаются на вещественные числа по известным из курса аналитической геометрии правилам, для любых двух векторов определено скалярное произведение.

Если выбрана декартова система координат, то каждая точка пространства определяется заданием трех чисел — координат точки, каждый вектор определяется заданием трех своих компонент по осям координат.

Скалярное поле.

В случаях, когда в некоторой области (Omega) определена функция (f: Omega rightarrow R), то говорят, что в области (Omega) задано скалярное поле. Если выбрана координатная система, то положение точки (M in Omega) определяется заданием трех ее координат, и функция (f: Omega rightarrow R) будет функцией трех переменных (f(x, y, z)). В физике рассматривают скалярные поля давлений, температур, плотностей и так далее.

Перефразируем некоторые известные понятия дифференциального исчисления па геометрическом языке.

Говорят, что скалярное поле (f) дифференцируемо в точке (M_), если найдется такой вектор (boldsymbol), что
$$
f(M)-f(M_) = (overrightarrow<M_M>, boldsymbol) + o(|overrightarrow<M_M>|) mbox M rightarrow M_.label
$$

Вектор (boldsymbol) будем называть производной скалярного поля (f) в точке (M_) и обозначать (nabla f (M_)).

Запись (nabla f) читается как “набла эф”.

Если в пространстве задана декартова система координат, точки (M(x, y, z)), (M_(x_, y_, z_)) и вектор (boldsymbol = boldsymbol c_ + boldsymbol c_ + boldsymbol c_), то
$$
overrightarrow<M_M> = (x-x_)boldsymbol + (y-y_)boldsymbol + (z-z_)boldsymbol,nonumber
$$
$$
|overrightarrow<M_M>| = [(x-x_)^ + (y-y_)^ + (z-z_)^]^.nonumber
$$

Записывая формулу eqref в координатах, получаем
$$
f(x, y, z)-f(x_, y_, z_) = c_(x-x_) + c_(y-y_) + c_(z-z_) +\+ o(sqrt<(x-x_)^ + (y-y_)^ + (z-z_)^>)label
$$
при ((x, y, z) rightarrow (x_, y_, z_)).

Будем в дальнейшем обращаться с (nabla) как с символическим вектором (дифференциальным оператором), ставящим в соответствие скалярной функции ее производную. Тогда равенство eqref можно записать в следующем виде:
$$
f(M)-f(M_) = (overrightarrow<M_M>, nabla f (M_)) + o(|overrightarrow<M_M>|) mbox M rightarrow M_.label
$$

С оператором (nabla) можно обращаться, как с обычным вектором, если договориться, что он действует как дифференциальный оператор на функции, стоящие в записи справа от оператора (nabla), а с функциями и векторами, стоящими в записи слева, перемножается, как обычный вектор.

Пусть (boldsymbol = b_ boldsymbol + b_ boldsymbol + b_ boldsymbol) — произвольный вектор. Определим дифференциальный оператор (boldsymbol nabla) равенством (boldsymbol nabla = (boldsymbol, nabla)). Тогда
$$
boldsymbol nabla = (boldsymbol, nabla) = b_ frac + b_ frac + b_ frac.label
$$
Используя этот оператор, можно формулу eqref переписать в следующем виде:
$$
f(M)-f(M_) = (overrightarrow<M_M>, nabla) f (M_) + o(|overrightarrow<M_M>|) mbox M rightarrow M_.label
$$

Пусть (boldsymbol) — единичный вектор. Рассмотрим луч, состоящий из всех точек (M), для которых (overrightarrow<M_M> = boldsymbolt), (t > 0).

Производной скалярного поля (f) по направлению (boldsymbol) в точке (M_) будем называть следующий предел:
$$
frac(M_) = lim_ frac<f(M)-f(M_)>,quad overrightarrow<M_M> = boldsymbol t, t > 0.nonumber
$$

Из формулы eqref следует, что для дифференцируемой в точке (M_) функции выполняется равенство
$$
frac = (boldsymbol nabla) f(M_).nonumber
$$
Символический вектор (nabla) называют также оператором Гамильтона.

Векторное поле.

Проектируя уравнение eqref на координатные оси, получаем равенства
$$
a_(M)-a_(M_) = A_(x-x_) + A_(y-y_) + A_(z-z_) + o(|overrightarrow<M_M>|) mbox M rightarrow M_, i = overline,label
$$
где ((A_)) — матрица линейного преобразования (A). Из равенств eqref следует, что компоненты (a_(M)), (i = overline), дифференцируемы в точке (M_). Верно и обратное утверждение. Из дифференцируемости компонент (a_(M)) следует и дифференцируемость векторного поля в точке (M_).

Используя формулу eqref, запишем равенства eqref в следующем виде:
$$
a_(M)-a_(M_) = (overrightarrow<M_M> nabla)a_(M_) + o(|overrightarrow<M_M>|) mbox M rightarrow M_.
$$

Так как определение линейного преобразования (A) не зависит от выбора координатной системы, то и результат применения оператора (overrightarrow<M_M> nabla) к (boldsymbol(M_)) не зависит от выбора координатной системы.

Линейное преобразование (A) в формуле eqref определено однозначно.

(circ) Допустим, что существуют два линейных преобразования (A_) и (A_) таких, что для них выполнено равенство eqref. Тогда, вычитая соответствующие равенства, получим, что
$$
(A_-A_)overrightarrow<M_M> = boldsymbol(|overrightarrow<M_M>|) mbox M rightarrow M_.label
$$
Пусть (boldsymbol) — произвольный вектор, (t) — произвольное положительное число и (overrightarrow<M_M> = boldsymbol t). Тогда равенство eqref принимает следующий вид:
$$
t(A_-A_)boldsymbol = boldsymbol(t) mbox t rightarrow +0.label
$$

Деля равенство eqref на (t) и переходя к пределу при (t rightarrow +0), получаем, что ((A_-A_)boldsymbol = 0). Так как вектор (boldsymbol) произвольный, то (A_ = A_). (bullet)

Производная векторного поля по направлению (boldsymbol) в точке (M_) определяется так же, как и производная по направлению для скалярного поля. Из формулы eqref получаем
$$
frac(M_) = (boldsymbol nabla) boldsymbol(M_).label
$$

📹 Видео

Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля

Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смысла

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Юшков Е. В. - Математический анализ III - Скалярные и векторные поляСкачать

Юшков Е. В. - Математический анализ III - Скалярные и векторные поля

Физика.7 класс. Скалярные и векторные физические величины /11.09.2020/Скачать

Физика.7 класс. Скалярные и векторные физические величины /11.09.2020/

Векторные линии векторного поляСкачать

Векторные линии векторного поля

Вычисление скалярного и векторного произведений векторов (видео 17) | Магнетизм | ФизикаСкачать

Вычисление скалярного и векторного произведений векторов (видео 17) | Магнетизм | Физика

Физика. Объяснение темы "Векторные и скалярные величины"Скачать

Физика. Объяснение темы "Векторные и скалярные величины"

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Теория поляСкачать

Теория поля
Поделиться или сохранить к себе: