Вектор внешней нормали поверхности

Поток векторного поля: теория и примеры
Содержание
  1. Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
  2. Направление и интенсивность потока векторного поля
  3. Вычисление потока векторного поля: примеры
  4. Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
  5. Замечание:
  6. Пример 4:
  7. Векторный анализ с примерами решения и образцами выполнения
  8. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению
  9. Производная по направлению
  10. Градиент скалярного поля
  11. Основные свойства градиента
  12. Инвариантное определение градиента
  13. Правила вычисления градиента
  14. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения
  15. Дифференциальные уравнения векторных линий
  16. Поток вектора через поверхность и его свойства
  17. Свойства потока вектора через поверхность
  18. Поток вектора через незамкнутую поверхность
  19. Метод проектирования на одну из координатных плоскостей
  20. Метод проектирования на все координатные плоскости
  21. Метод введения криволинейных координат на поверхности
  22. Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
  23. Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля
  24. Правила вычисления дивергенции
  25. Трубчатое (соленоидальное) поле
  26. Свойства трубчатого поля
  27. Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса
  28. Ротор (вихрь) векторного поля
  29. Инвариантное определение ротора поля
  30. Физический смысл ротора поля
  31. Правила вычисления ротора
  32. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
  33. Потенциальное поле
  34. Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле
  35. Вычисление потенциала в декартовых координатах
  36. Оператор Гамильтона
  37. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа
  38. Понятие о криволинейных координатах
  39. Цилиндрические координаты
  40. Сферические координаты
  41. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах
  42. Дифференциальные уравнения векторных линий
  43. Градиент в ортогональных координатах
  44. Ротор в ортогональных координатах
  45. Дивергенция в ортогональных координатах
  46. Вычисление потока в криволинейных координатах
  47. Вычисление потенциала в криволинейных координатах
  48. Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах
  49. Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Видео:Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла

Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле

Вектор внешней нормали поверхности

и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали Вектор внешней нормали поверхности. Пусть также направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z точки M.

Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора Вектор внешней нормали поверхностичерез поверхность σ называется поверхностный интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности.

Обозначим как a n проекцию вектора Вектор внешней нормали поверхностина на единичный вектор Вектор внешней нормали поверхности. Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода

Вектор внешней нормали поверхности.

Вектор внешней нормали поверхности.

Вектор внешней нормали поверхности

поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода

Вектор внешней нормали поверхности.

Видео:Вектор нормали к поверхности поля в точкеСкачать

Вектор нормали к поверхности поля в точке

Направление и интенсивность потока векторного поля

Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля Вектор внешней нормали поверхностиобразует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор Вектор внешней нормали поверхностиобразует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.

Вектор внешней нормали поверхности

Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.

Если поток векторного поля — поле скорости Вектор внешней нормали поверхностичастиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл Вектор внешней нормали поверхностиравен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции Вектор внешней нормали поверхности, то поверхностный интеграл Вектор внешней нормали поверхностиназывается магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл Вектор внешней нормали поверхностивыражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля Вектор внешней нормали поверхностичерез поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) — температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл Вектор внешней нормали поверхности.

Видео:Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

Вычисление потока векторного поля: примеры

Пример 1. Вычислить поток векторного поля Вектор внешней нормали поверхностичерез верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости Вектор внешней нормали поверхностис координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy — треугольник AOB .

Вектор внешней нормали поверхности

Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:

Вектор внешней нормали поверхности.

Длина вектора нормали:

Вектор внешней нормали поверхности.

Единичный вектор нормали:

Вектор внешней нормали поверхности.

Вектор внешней нормали поверхности

Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус Вектор внешней нормали поверхности. Тогда Вектор внешней нормали поверхности.

Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:

Вектор внешней нормали поверхности

Выразим переменную «зет»:

Вектор внешней нормали поверхности

Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:

Вектор внешней нормали поверхности

Получили ответ: поток векторного поля равен 64.

2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем

Вектор внешней нормали поверхности.

Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:

Вектор внешней нормали поверхности

Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или Вектор внешней нормали поверхности. По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:

Вектор внешней нормали поверхности

Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:

Вектор внешней нормали поверхности

Осталось только сложить все три интеграла:

Вектор внешней нормали поверхности.

Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.

Пример 2. Вычислить поток векторного поля Вектор внешней нормали поверхностичерез верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости Вектор внешней нормали поверхностис координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.

Вектор внешней нормали поверхности

1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так:

Вектор внешней нормали поверхности.

Длина этого вектора:

Вектор внешней нормали поверхности,

единичный вектор нормали (орт):

Вектор внешней нормали поверхности.

Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:

Вектор внешней нормали поверхности

Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода

Вектор внешней нормали поверхности.

Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:

Вектор внешней нормали поверхности.

Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.

Вычисляем первый интеграл:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вычисляем второй интеграл:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вычисляем третий интеграл:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:

Вектор внешней нормали поверхности.

Пример 3. Вычислить поток векторного поля Вектор внешней нормали поверхностичерез внешнюю сторону параболоида Вектор внешней нормали поверхностив первом октанте, отсечённую плоскостью z = 9 .

Вектор внешней нормали поверхности

Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:

Вектор внешней нормали поверхности

Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вычисляем второй интеграл:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

В сумме получаем искомый поток векторного поля:

Вектор внешней нормали поверхности.

Видео:Векторное поле, поток вектора через поверхностьСкачать

Векторное поле, поток вектора через поверхность

Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского

Содержание:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности. 1. . Пусть поверхность 5 однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле Если в формуле (1) берется знак« то угол 7 между осью Oz и нормалью острый; если же знак то угол 7 — тупой.

Так как элемент площади этой поверхности равен то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности 5 сводится к вычи-слениюдвойного интеграла по формуле Символ Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность.

Теорема Гаусса—Остроградского означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(x> у). Пример 1. Найти поток вектора через часть поверхности параболоида z = s2 + y2, отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15). Данная поверхность проектируется на круг плоскости хОу с центром в начале координат радиуса .

Находим орт п° нормали к параболоиду: Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол 7, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом, Находим скалярное произведение , значит, Согласно формуле (3) Вводя полярные координаты где получаем Если поверхность 5 проектируется однозначно на область плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = г). В этом случае имеем Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOzy то ее можно задать уравнением и тогда Знак « + » перед дробью в формуле (10) означает, чтоугол /3 между осью Оу и вектором нормали п° — острый, а знак «-», что угол /3 — тупой.

Замечание. Для нахождения потока вектора через поверхность 5, заданную уравнением г = /(х,у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид: Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, задэнные уравнениями Пример 2. Вычислить поток вектора а = хг через внешнюю сторону параболоида ограниченного плоскостью.

Имеем Так как угол 7 — острый, следует выбрать знак « + ». Отсюда Искомый поток вычисляется так: Переходя к полярным координатам , получим Метод проектирования на все координатные плоскости. Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dzy, Dxz, Dyz проекции 5 на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F у, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Тогда погок вектора к через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен можно записать так: Известно, что причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что Пример 3. Вычислить поток векторного поля через треугольник, ограниченный плоскостями 4 Имеем так что Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ».

Полагая получим Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dvz —треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны . Имеем Аналогично получим . Значит, искомый поток равен 3. Метод введения криволинейных координат на поверхности. Если поверхность 5 является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты. А.

Поверхность 5 является частью кругового цилиндра ограниченного поверхностями будем иметь Элемент площади поверхности выражается так: и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности 5 вычисляется по формуле: где 4. Найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности цилиндра ограниченной плоскостями Так как то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре равно: Тогда по формуле (18) получим В.

Поверхность 5 является частью сфсры офаничснной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями.

Точки данной сферы описываются соотношениями где Поэтому элемент площади В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности 5 вычисляется по формуле где Пример 5. Найти поток вектора через внешнюю часть сферы Положим Тогда скалярное произведение выразится так: По формуле (21) получим.

Замечание:

Здесь мы воспользовались формулой Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Теорема 4.

Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от дх ду dz по области V, ограниченной поверхностью S: Здесь — орт внешней нормали к поверхности, а символ означает поток через замкнутую поверхность 5. Эта формула называется формулой Гаусса—Остроградского.

Рассмотрим сначала векгор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность 5 пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность 5 разбивается на две части 5| и 52, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21). Внешняя нормаль к поверхности 52 образует острый угол 7 с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности 51 образует тупой угол с осью Oz.

Поэтому cos так что на 52 имеем 7. В силу аддитивности потока имеем Пусть da — элемент площади на поверхности S. Тогда

элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интегралам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности Si и S2. Пусть S2 описывается уравнением — уравнением z = z(x>y). Тогда Так как приращение непрерывно дифференцируемой фунмции можно представить как интеграл от ее производной то для функции R(x, у, z) будем иметь.

Пользуясь этим, получаем из формулы (3) Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Як, п°) = 0 и интеграл / da по ней равен нулю.

Поэтому формула (4) остается

справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части. Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность S пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23). Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза.

Пусть S и S2 — те части поверхности 5, на которые она разбивается разрезом 5Р, a V и Vj — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями . Здесь Sp означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем: Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройною интеграла, получим (интегралы по разрезу взаимно уничтожаются).

Рассмотрим, наконец, вектор Для каждой компоненты Лк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остро градского Пример 1. Вычислить поток век-гора через замкнутую поверхность по определению, 2) по формуле Остроградского. 4 1)

Поток вектора а равен сумме на поверхности Si), на поверхности S2 К так как Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам Тогда 2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через сферу радиуса R с центром 8 начале координат: 1) по определению; 2) по формуле Остроградского. Так как для сферы и поэтому 2) Сначала находим Отсюда Пример 3.

Вычислить поток вектора через замкнугую поверхность S, заданную условиями: 1) по определению; 2) по формуле Острогрздя ого (рис.25). Имеем Значит, Поэтому Итак, Имеем Поэтому Переходя к цилиндрическим координатам и замечая,на поверхности 5, имеем Замечание . При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить седо замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Ос гроградского.

Пример 4:

Вычислить поток вектора Заданная поверхность S есть конус с осыо Оу (рис.26). Замкнем этот конус куском £ плоскости у — I. Тогда, обозначая через П| искомый поток, а через Н2 поток по поверхности будем иметь где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Так как на поверхности Е выполняется равенство у = 1. Следовательно, ITj

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Векторный анализ с примерами решения и образцами выполнения

Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве. Объектами приложения векторного анализа являются: Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.

Вектор внешней нормали поверхности

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению

Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано иоде данной величины. Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т.е. вполне характеризуется своим числовым значением. Например, поле температур.

Скалярное поле задается скалярной функцией точки и = f(М). Если в пространстве введена декартова система координат, то и есть функция трех переменных х, у, z — координат точки М:

u = f(x,y,z). (1)

Определение:

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция f(М) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхности уровня

f(x, y, z) = с = const. (2)

Пример:

Найти поверхности уровня скалярного поля

Вектор внешней нормали поверхности

Согласно определению уравнением поверхности уровня будет

Вектор внешней нормали поверхности

Это уравнение сферы (с ≠ 0) с центром в начале координат.

Скалярное поле называется плоским, если во всех плоскостях, параллельных некоторой плоскости, поле одно и то же. Если указанную плоскость принять за плоскость хОу, го функция поля не будет зависеть от координаты г, т. е. будетфункцией только аргументов х и у,

u=f(x, y). (3)

Плоское поле можно характеризовать с помощью линий уровня — множества точек плоскости, в которых функция f(x, у) имеет одно и то же значение. Уравнение линии уровня —

f(х, у) = с = const. (4)

Пример:

Найти линии уровня скалярного поля

Вектор внешней нормали поверхности

Линии уровня задаются уравнениями

Вектор внешней нормали поверхности

При с = О получаем пару прямых у = х, у = -х. При с ≠ 0 получаем семейство гипербол (рис. 1).

Вектор внешней нормали поверхности

Производная по направлению

Пусть имеется скалярное поле, определяемое скалярной функцией и = f(M). Возьмем точку М0 и выберем направление, определяемое вектором I. Возьмем другую точку М так, чтобы вектор М0М был параллелен вектору 1 (рис.2). Обозначим длину вектора МоМ через ∆l, а приращение функции f(М) — f(Mo), соответствующее перемещению ∆l, через ∆и. Отношение

Вектор внешней нормали поверхности

определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины поданному направлению I.

Пусть теперь ∆l стремится к нулю так, чтобы вектор М0М все время оставался параллельным вектору I.

Вектор внешней нормали поверхности

Определение:

Если при ∆l —> 0 существует конечный предел отношения (5), то его называют производной функции и = f(M) в данной точке М0 по данному направлению I и обозначают символом
Вектор внешней нормали поверхности

Так что, по определению,
(6)

Вектор внешней нормали поверхности

Это определение не связано с выбором системы координат, т. е. Hocит вариантный характер.

Найдем выражение для производной по направлению в декартовой системе координат. Пусть функция f(М) = f(х, у, z) дифференцируема в точке Мо(хо, yо, zо). Рассмотрим значение f(M) в точке М(х0 + ∆х,у0 + ∆y, zo + ∆z). Тогда полное приращение функции можно записать в следующем виде:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

означают, что частные производные вычислены в точке Мо. Отсюда (7)

Вектор внешней нормали поверхности

Здесь величины Вектор внешней нормали поверхностисуть направляющие косинусы вектора МоМ = ∆xi + ∆yj + ∆zk. Так как векторы МоМ и I сонаправлены (М0М ↑↑ I), то их направляющие косинусы одинаковы:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Так как M —» Mo, оставаясь все время на прямой, параллельной вектору I, то углы а, β, γ постоянны, а потому

Вектор внешней нормали поверхности

Окончательно из равенств (7) и (8) получаем

Вектор внешней нормали поверхности

Замечание:

Частные производные Вектор внешней нормали поверхностиявляются производными функции и по направлениям координатных осей Ox, Оу, Oz соответственно.

Пример:

Найти производную функции

Вектор внешней нормали поверхности

в точке Mo(3,0,2) по направлению к точке M1(4,1, 3).
Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор МoМ = имеет длину |МоМ| = /3. Его направляющие косинусы: Вектор внешней нормали поверхностиВектор внешней нормали поверхности

По формуле (9) будем иметь

Вектор внешней нормали поверхности

Тот факт, что Вектор внешней нормали поверхности>0, означает, что скалярное поле в точке М0 в данном направлении возрастает.
Для плоского поля U = f(x, у) производная по направлению 1 в точке Мо(х0, у0) вычисляется по формуле (10)

Вектор внешней нормали поверхности

где а — угол, образованный вектором I с осью Ох.

Замечание:

Формула (9) для вычисления производной по направлению I в данной точке М0 остается в силе и тогда, когда точка М стремится к точке Мо по кривой, для которой вектор I является касательным в точке Мо.

Пример:

Вычислить производную скалярного поля

и = arctg(xy)

в точке Mo(1, 1), принадлежащей параболе у = х2, по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы).

Вектор внешней нормали поверхности

Пусть касательная к параболе в точке Мо образует с осью Ох угол a. Тогда tga =Вектор внешней нормали поверхности= 2, откуда направляющие косинусы касательной

Вектор внешней нормали поверхности

Вычислим значения Вектор внешней нормали поверхностив точке Mo(1, 1). Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Теперь по формуле (10) получаем

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Найти производную скалярного поля и = In(xy + yz + zx) в точке Mo(0, 1, 1) по направлению окружности

Вектор внешней нормали поверхности

Векторное уравнение окружности имеет вид

Вектор внешней нормали поверхности

Находим единичный вектор т касательной к окружности

Вектор внешней нормали поверхности

Точке Mo(0,1, 1) соответствует значение параметра t= π/2 Значение т в точке Мо будет равно

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда получаем направляющие косинусы касательной к окружности в точке Mо: cos a = — 1, cos β = 0, cos γ = 0.

Вычислим значения частных производных данного скалярного поля в точке Mo(0, 1, 1)

Вектор внешней нормали поверхности

Значит, искомая производная

Вектор внешней нормали поверхности

Градиент скалярного поля

Пусть скалярное поле определяется скалярной функцией

u = f(x, y. z),

которая предполагается дифференцируемой.

Определение:

Градиентом скалярного поля u в данной точке М называется вектор, обозначаемый символом grad и и определяемый равенством
(1)

Вектор внешней нормали поверхности

Ясно, что этот вектор зависит от функции f, так и от точки М, в которой вычисляется ее производная.
Пусть I° — единичный вектор в направлении I, т. е.

Вектор внешней нормали поверхности

Тогда формулу для производной по направлению можно записать в следующем виде:
(3)

Вектор внешней нормали поверхности

тем самым производная от функции и по направлению I равна скалярному произведению градиента функции u(M) на орт I° направления I.

Основные свойства градиента

Теорема:

Градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).
Проведем через произвольную точку М поверхность уровня и = const и выберем на этой поверхности гладкую кривую L, проходящую через точку М (рис. 4). Пусть 1 — вектор, касательный к кривой L в точке М.

Вектор внешней нормали поверхности

Так как на поверхности уровня и(М) = и(М1) для любой точки М1 ∈ L, то

Вектор внешней нормали поверхности

С другой стороны, Вектор внешней нормали поверхности= (grad и, I°). Поэтому (grad и, I°) = 0. Это означает, что векторы grad и и I° ортогональны, grad u ⊥ I°.

Итак, вектор grad и ортогонален к любой касательной к поверхности уровня в точке М. Тем самым он ортогонален к самой поверхности уровня в точке М.

Теорема:

Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.

Ранее мы доказали, что градиент скалярного поля направлен по нормали к поверхности уровня, которая может быть ориентирована либо в сторону возрастания функции и(М), либо в сторону ее убывания.

Обозначим через п нормаль к поверхности уровня, ориентированную в сторону возрастания функции и(М), и найдем производную функции и в направлении этой нормали (рис. 5). Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Так как по условию и(М1) > и(М), то и(М1) — и(М) > 0, и поэтому

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда следует, что grad и направлен в ту же сторону, что и выбранная нами нормаль п, т.е. в сторону возрастания функции и(М).

Теорема:

Длина градиента равна наибольшей производной по направлению в данной точке поля,

Вектор внешней нормали поверхности

(здесь mах Вектор внешней нормали поверхности берется по всевозможным направлениям в данной точке М поля).
Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

где φ — угол между векторами I и grad n. Так как наибольшее значение cos φ равно 1, то наибольшим значением производной Вектор внешней нормали поверхностикак раз и является |grad и|.

Пример:

Найти направление наибольшего изменения скалярного поля

и = ху + yz + zx

в точке Mо(1, 1, 1), а также величину этого наибольшего изменения в указанной точке.

Направление наибольшего изменения скалярного поля указывается вектором grad u(M). Имеем grad u(М) = (у + z)i + (х + г)j + (у + х)к, так что

Этот вектор определяет направление наибольшего возрастания поля в точке Мо(1,1,1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна

Вектор внешней нормали поверхности

Инвариантное определение градиента

Величины, характеризующие свойства изучаемого объекта и не зависящие от выбора системы координат, называются инвариантами данного объекта. Например, длина кривой — инвариант этой кривой, а угол касательной к кривой с осью Ох — не инвариант.

Основываясь на доказанных выше трех свойствах градиента скалярного поля, можно дать следующее инвариантное определение градиента.

Определение:

Градиент скалярного поля есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции поля и имеющий длину, равную наибольшей производной по направлению (в данной точке).
Пусть п° — единичный вектор нормали, направленный в сторону возрастания поля. Тогда

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Найти градиент расстояния

Вектор внешней нормали поверхности

где Мo(хo,уo,zo) — некоторая фиксированная точка, а М(х,у,z) — текущая.

Вектор внешней нормали поверхности

где r° — единичный вектор направления MoM.

Правила вычисления градиента

  1. grad си(М) = с grad и<М), где с — постоянное число.
  2. grad(u + v) = grad и + grad v.

Приведенные формулы получаются непосредственно из определения градиента и свойств производных.

3. grad(u v) = v grad и+ и grad v.

По правилу дифференцирования произведения

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Доказательство аналогично доказательству свойства 3.

Пусть F(u) — дифференцируемая скалярная функция. Тогда

grad F(u) = F'(u) grad и.

По определению градиента имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Применим ко всем слагаемым правой части правило дифференцирования сложной функции. Получим

Вектор внешней нормали поверхности

grad F(r) = F'(r) • p°. (6)

Формула (6) следует из формулы grad r = r°.

Пример:

Найти производную по направлению радиус-вектора r от функции u = sin r, где r = |r|. По формуле (3)

Вектор внешней нормали поверхности

а по формуле (6) grad sin r = cos r • r° . В результате получим, что

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Пусть дано плоское скалярное поле

Вектор внешней нормали поверхности

где r1, r2 — расстояния от некоторой точки Р(х,у) плоскости до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, F1 ≠ F2.

Рассмотрим произвольный эллипс с фокусами F1 и F2 и докажем, что всякий луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус.

Линии уровня функции (7) суть

Вектор внешней нормали поверхности

Уравнения (8) описывают семейство эллипсов с фокусами в точках F1 и F2.

Согласно результату примера 2 имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Тем самым градиент заданного поля равен вектору PQ диагонали ромба, построенного на ортах Вектор внешней нормали поверхностирадиус-векторов, проведенных к точке Р(х,у) из фокусов F1 и F2, и значит, лежит на биссектрисе угла между этими радиус-векторами (рис. 6).

Вектор внешней нормали поверхности

По теореме 1 градиент PQ перпендикулярен к эллипсу (8) в точке Р(х,у). Следовательно, нормаль к эллипсу (8) в любой его точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными в эту точку. Отсюда и из того, что угол падения равен углу отражения, получаем: луч света, вышедший из одного фокуса эллипса, отразившись от него, непременно попадает в другой фокус этого эллипса.

Видео:Что такое нормаль?Скачать

Что такое нормаль?

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Определение:

Если в каждой точке M(x,y,z) пространства или части пространства определена векторная величина

Вектор внешней нормали поверхности

то говорят, что там задано векторное поле а.

Задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций от трех переменных Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z).

Примерами векторных полей могут служить: силовое поле — поле некоторой силы F, поле скоростей v течения некоторой жидкости и др.

Для геометрической характеристики векторного поля служат векторные линии. Векторной линией векторного поля а называется кривая, касательная к которой в любой точке М имеет то же направление, что и вектор поля а в этой точке (рис. 7).

Вектор внешней нормали поверхности

В силовом поле векторные линии называются силовыми линиями‘, в поле скоростей движения жидкости векторные линии называются линиями тока.

Дифференциальные уравнения векторных линий

Пусть векторное поле определяется вектор-функцией

Вектор внешней нормали поверхности

где P(x,y,z), Q(x, у, z), R(x,y,z) — непрерывные функции переменных х, у, z, имеющие ограниченные частные производные первого порядка. Пусть

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

— есть радиус-вектор текущей точки векторной линии векторного поля a (t — параметр). Из определения векторной линии следует, что вектор

и вектор касательной к этой кривой

Вектор внешней нормали поверхности

должны быть коллинеарны в каждой точке векторной линии. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

Вектор внешней нормали поверхности

Таким образом, мы получили для векторных линий систему дифференциальных уравнений в симметричной форме.

Допустим, что нам удалось найти два независимых интеграла системы (2): (3)

Вектор внешней нормали поверхности

Система уравнений (3) определяет векторную линию как линию пересечения двух поверхностей. Произвольно меняя параметры c1 и c2 мы получаем семейство векторных линий как семейство с двумя степенями свободы.

Пример:

Hайти векторные линии векторного поля

а = хi + уj + 2zk.

Выписываем дифференциальные уравнения векторных линий, dx dy dz

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Интегрируя эту систему, получим два уравнения

Вектор внешней нормали поверхности

где c1, c2 — произвольные постоянные. Пересечение плоскостей у = c1х с параболическими цилиндрами z = c2x 2 дает двухпараметрическое семейство векторных линий поля (рис. 8).

Вектор внешней нормали поверхности

Определение:

Векторное поле называется плоским, если все векторы а параллельны одной и той же плоскости и в каждой плоскости, параллельной указанной, векторное поле одно и то же.

Посмотрим, как плоское векторное поле описывается в координатах. Если указанную в определении плоскость (или любую ей параллельную) принять за плоскость хОу, то векторы плоского поля не будут содержать компоненты по оси Oz и координаты векторов не будут зависеть от z:

Вектор внешней нормали поверхности

Дифференциальные уравнения векторныхлиний плоского поля можно записать в следующем виде

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими кривыми, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости хОу.

Пример:

Найти векторные линии магнитного поля бесконечно длинного прямого провода.

Предположим, что проводник направлен вдоль оси Oz и по нему течет ток силы J, т. е. вектор тока

J = J • k.

Тогда вектор напряженности Н магнитного поля определяется по формуле

Вектор внешней нормали поверхности

р = xi + yj + zk

— радиус-вектор точки М, р — расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6), получим

Вектор внешней нормали поверхности

Дифференциальные уравнения векторных линий:

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда x = const, Вектор внешней нормали поверхностиили xdx + ydy = 0. Окончательно имеем

Вектор внешней нормали поверхности

т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси Oz (рис.9).

Пример:

Найти векторные линии поля сил тяготения, образованного притягивающей материальной точкой массы т, расположенной в начале координат.

В данном случае сила F определяется так:

Вектор внешней нормали поверхности

Дифференциальные уравнения векторных линий:

Вектор внешней нормали поверхности

откуда, умножая каждую из дробей на Вектор внешней нормали поверхностиполучим

Вектор внешней нормали поверхности

Чтобы получить уравнения векторных линий в параметрической форме, приравняем каждую из дробей величине Вектор внешней нормали поверхности. Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Это — полупрямые, выходящие из начала координат.

Вектор внешней нормали поверхности

Чтобы из семейства векторных линий выделить одну, надо задать точку М0(хо, yo, zо). через которую эта векторная линия должна проходить, и по координатам заданной точки определить величины С1, C2, C3.

Пусть, например, точка Мо имеет координаты хо = 3, yо = 5, zо = 7. Уравнение векторной линии, проходящей через точку Mo(3, 5, 7), можно записать так:

x = 3t, у — 5t, z = 7t.

Сама точка Мо получается при значении параметра t = 1.

Видео:#3.2 Найти поток вектора a=x^3i+y^3j=z^3k через всю поверхность куба в направлении внешней нормалиСкачать

#3.2 Найти поток вектора a=x^3i+y^3j=z^3k через всю поверхность куба в направлении внешней нормали

Поток вектора через поверхность и его свойства

Рассмотрим сначала частный случай поля скоростей v течения жидкости. Выделим в поле некоторую поверхность Σ. Потоком жидкости через поверхность Σ называется количество жидкости, протекающее через поверхность Σ за единицу времени.

Этот поток легко вычислить, если скорость течения постоянна (v = const), а поверхность Σ —плоская. В этом случае поток жидкости равен объему цилиндрического тела с параллельными основаниями и образующими длины |v|, так как за единицу времени каждая частица перемещается на величину v (рис. 10),

П =Sh,

где S — площадь основания, h = npnv = (v, n°) — высота цилиндра и n — нормаль к его основанию, |п°| = 1.

Итак, при постоянной скорости v поток жидкости через плоскую поверхность Σ равен
(1)

Вектор внешней нормали поверхности

Если скорость v изменяется непрерывно, а поверхность Σ — гладкая, то можно разбить поверхность Σ на столь малые части Σk (k = 1, 2,…, п), чтобы каждую часть Σk можно было приближенно считать плоской и вектор v на ней постоянным.

Вектор внешней нормали поверхности

Так как поток жидкости через поверхность Σ равен сумме потоков жидкости через все ее части Σk, то мы получаем для вычисления потока приближенную формулу (2)

Вектор внешней нормали поверхности

где п — общее число частей Σk, на которые разбита поверхность Σ, Рк — точка, лежащая на k-ой части, ∆σk — площадь части Σk поверхности, ( v, n°)pk означает скалярное произведение векторов v и п° в точке Pk ∈ Σk (рис. 11).

Вектор внешней нормали поверхности

Назовем потоком жидкости через поверхность Σ предел суммы (2) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров площадок Σk,

Вектор внешней нормали поверхности

где d — наибольший из диаметров частей Σk (k= 1,2,…,п). Интеграл (3), определяющий поток жидкости, берется от скалярной функции (v, п°) по площади поверхности Σ.

Понятие потока произвольного вектора а через поверхность Σ вводится п о аналогии с введенным выше понятием потока жидкости через поверхность.

Определение:

Потоком вектора (векторного поля) а через поверхность Σ называется интеграл по поверхности Σ от проекции вектора а на нормаль к поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Ясно, что интеграл (4) существует, если вектор а = Pi+Qj+Rk непрерывен, т. е. непрерывны его координаты Р(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y,z), и поверхность Σ — гладкая, т. е. имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость

Пример:

Поле создается точечным зарядом (электричесkое поле) или точечной маcсой (поле тяготения), помещенными в начале координат. Тогда вектор напряженности поля в любой точке Р будет равен

Вектор внешней нормали поверхности

где q — величина заряда (массы), r = ОР — радиус-вектор точки Р. Требуется найти поток вектора напряженности Е через SR — сферу радиуса R с центром в начале координат.

Так как направление нормали к сфере совпадает с направлением радиус-вектора r, то п° = r° и поэтому

Вектор внешней нормали поверхности

На сфере SR радиуса R имеем r = R, так что (Е, n°) = Вектор внешней нормали поверхности= const. Поэтому поток вектора через SR равен

Вектор внешней нормали поверхности

Видео:41. Основные понятия теории векторных полейСкачать

41. Основные понятия теории векторных полей

Свойства потока вектора через поверхность

1. Линейность.
(5)

Вектор внешней нормали поверхности

где λ и μ — постоянные числа.

2. Аддитивность. Если поверхность Σ разбита кусочно-гладкой кривой на две части Σ1 и Σ2, то поток через поверхность Σ равен сумме потоков через поверхности Σ1 и Σ2,
(6)

Вектор внешней нормали поверхности

Это свойство позволяет распространить понятие потока на кусочно-гладкие поверхности Σ.

Понятие ориентации поверхности

Взяв, к примеру, цилиндрическую поверхность, замечаем, что если в некоторой ее точке М выбрать определенный (один из двух) единичный вектор нормали и непрерывно перемещаться затем по поверхности вместе с соответствующим вектором нормали по любому пути, не переходящему через край повержюсти, то при возвращении в точку М единичный вектор нормали совпадает с исходным (рис. 12).

Вектор внешней нормали поверхности

Вместе с тем, существуют поверхности, для которых это не так. Примером такой поверхности может служить лист Мёбиуса (рис. 13). Существует путь (отмеченная на рисунке пунктиром средняя линия листа), перемещаясь по которому, мы возвратимся в начальную точку с единичным вектором нормали, противоположным исходному.

Вектор внешней нормали поверхности

Описанное свойство разбивает все поверхности на два класса — двусторонние, или ориентируемые (плоскость, сфера, поверхность куба и т.п.), и односторонние, или неориентируемые (лист Мёбиуса).

3. Зависимость потока от ориентации поверхности (от ориентации вектора нормали к поверхности). Понятие потока вводится только для двусторонних поверхностей. Будем считать, что если в одной точке такой поверхности направление вектора нормали уже выбрано, то в любой другой ее точке берется тот вектор нормали, который получается из выбранного при непрерывном перемещении точки по поверхности (без перехода через границу). В частности, на замкнутой поверхности во всех точках берется либо внешняя нормаль, либо внутренняя (внутренняя нормаль направлена внутрь тела, ограниченного замкнутой поверхностью).

Обозначим через Σ+ ту сторону поверхности Σ, на которой выбран вектор нормали п+ = п, а через Σ- — сторону поверхности Σ, на которой берется вектор нормали (п_ = -п). Тогда получим
(7)

Вектор внешней нормали поверхности

где п°_ = -п°+. Таким образом, при изменении ориентации поверхности (при изменении направления вектора нормали п° к поверхности Σ) поток вектора меняет знак на противоположный.

Пример:

Вычислить поток радиус-вектора r = хi + yj + zk через поверхность прямого кругового цилиндра высоты Н с радиусом основания R и осью Oz.

Вектор внешней нормали поверхности

Поверхность Σ состоит из трех частей: боковой поверхности Σ1, верхнего основания Σ2 и нижнего основания Σ3 цилиндра. Искомый поток П в силу свойства аддитивности равен

П = П1 +П2 + П3,

где П1, П2, П3 — потоки данного поля через Σ1, Σ2 и Σ3 соответственно.

На боковой поверхности цилиндра вектор внешней нормали п°1 параллелен плоскости хОу, и поэтому

Вектор внешней нормали поверхности

(см. рис. 14). Следовательно,

Вектор внешней нормали поверхности

На верхнем основании Σ2 вектор нормали п°2 параллелен оси Оz, и поэтому можно положить п°2 = k. Тогда имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

На нижнем основании Σ3 вектор г перпендикулярен к вектору нормали п°3 = -k. Поэтому (r, п°3) = (r, -k) = 0 и

Вектор внешней нормали поверхности

Значит, искомый поток

Вектор внешней нормали поверхности

Здесь символ Вектор внешней нормали поверхностиозначает двойной интеграл по замкнутой поверхности.

Видео:Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-ГауссаСкачать

Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Поток вектора через незамкнутую поверхность

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности.

Метод проектирования на одну из координатных плоскостей

Пусть поверхность S однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида

z = f(x, у).

Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле

Вектор внешней нормали поверхности

Если в формуле (1) берется знак « -», то угол γ между осью Oz и нормалью п° —острый; если же знак «+», то угол γ — тупой.

Так как элемент площади dσ этой поверхности равен

Вектор внешней нормали поверхности

то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности S сводится к вычислению двойного интеграла по формуле
(3)

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(i, у).

Пример:

Найти поток вектора

Вектор внешней нормали поверхности

через часть поверхности параболоида

Вектор внешней нормали поверхности

отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15).

Вектор внешней нормали поверхности

Данная поверхность проектируется на круг Dxy плоскости хОу с центром в начале координат радиуса R =Вектор внешней нормали поверхности. Находим орт п° нормали к параболоиду:

Вектор внешней нормали поверхности

Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол γ, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом,

Вектор внешней нормали поверхности

Находим скалярное произведение

Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности

Если поверхность S проектируется однозначно на область Dyz плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = φ<у, z). В этом случае имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Знак «+» в последней формуле соответствует тому, что угол а между осью Ох и вектором нормали п° острый, и знак «-», если указанный угол тупой.

Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOz, то ее можно задать уравнением у = ψ(x, z) и тогда

Вектор внешней нормали поверхности

Знак «+» перед дробью в формуле (10) означает, что угол β между осью Оу и вектором нормали п° — острый, а знак «—», что угол β — тупой.

Замечание:

Для нахождения потока вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(z, у, z)j + R(х, у, k)

к через поверхность S, заданную уравнением z = f(x, у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор

Вектор внешней нормали поверхности

Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид:
(11)

Вектор внешней нормали поверхности

Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, заданные уравнениями х = φ(у, z) или у = ψ(х, z).

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Вычислить поток вектора

а = хzi

через внешнюю сторону параболоида

Вектор внешней нормали поверхности

ограниченного плоскостью z = 0 (рис. 16).
Имеем

n = ±(2ri + 2yj+k).

Так как угол γ — острый, следует выбрать знак «+». Отсюда

Вектор внешней нормали поверхности

Искомый поток вычисляется так:

Вектор внешней нормали поверхности

Переходя к полярным координатам х = р cos φ, y = p sin φ, 0 ≤ р ≤ 1. 0 ≤ φ Вектор внешней нормали поверхности

Метод проектирования на все координатные плоскости

Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dxy, Dxz, Dyz проекции S на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F(x, y, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е.

x = x(y,z), y = y(x,z), z = z(x,y). (12)

Тогда поток вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен

Вектор внешней нормали поверхности

можно записать так:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак cos a, cos β, cos γ на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что (15)

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Вычислить поток векторного поля

а = yi + zj + zk

через треугольник, ограниченный плоскостями z + y+ z = l (l>0), x=0, у — 0, z = 0 (угол γ — острый) (рис. 17).
Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ». Полагая Р = у, Q = z, R = х, получим

Вектор внешней нормали поверхности

Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dyz — треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны ВС: y+z = l, 0 ≤ у ≤ I. Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Значит, искомый лоток равен

Вектор внешней нормали поверхности

Метод введения криволинейных координат на поверхности

Если поверхность S является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты.

Вектор внешней нормали поверхности

А. Поверхность S является частью кругового цилиндра

Вектор внешней нормали поверхности

ограниченного поверхностями z = f1(x,y) и z = f2(х. у), где f1(x. y) ≤ f2(x, y) (рис. 18). Полагая х = R cos φ, у = R sin φ, z = z, будем иметь

Вектор внешней нормали поверхности

Элемент площади поверхности выражается так:

Вектор внешней нормали поверхности

и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности S вычисляется по формуле:

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Найти поток вектора

Вектор внешней нормали поверхности

через внешнюю сторону поверхности цилиндра

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре (х = 2 cos φ, у = 2 sin φ, z = z) равно:

Вектор внешней нормали поверхности

Тогда по формуле (18) получим

Вектор внешней нормали поверхности

В. Поверхность S является частью сферы

Вектор внешней нормали поверхности

ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид Вектор внешней нормали поверхностии полуплоскостями Вектор внешней нормали поверхности(рис. 19).Точки данной сферы описываются соотношениями

Вектор внешней нормали поверхности

где Вектор внешней нормали поверхностиПоэтому элемент площади

Вектор внешней нормали поверхности

В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности S вычисляется по формуле

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Найти поток вектора

Вектор внешней нормали поверхности

через внешнюю часть сферы

Вектор внешней нормали поверхности

отсеченную плоcкостью z = 2 (рис. 20).

В данном случае имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Тогда скалярное произведение (а, п°) выразится так:

Вектор внешней нормали поверхности

По формуле (21) получим

Вектор внешней нормали поверхности

Замечание:

Здесь мы воспользовались формулой

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Видео:Непосредственное вычисление потокаСкачать

Непосредственное вычисление потока

Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского

Теорема:

Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

непрерывны и имеют непрерывные частные производные Вектор внешней нормали поверхности, то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от

Вектор внешней нормали поверхности

по области V, ограниченной поверхностью S:

Вектор внешней нормали поверхности

Здесь п0 — орт внешней нормали к поверхности, а символ Вектор внешней нормали поверхностиозначает поток через замкнутую поверхность S. Эта формула называется формулой Гаусса—Остроградского.

Рассмотрим сначала вектор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность S пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность S разбивается на две части S1 и S2, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21).

Внешняя нормаль к поверхности S2 образует острый угол γ с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности S1 образует тупой угол с осью Oz. Поэтому cos γ = (п°, к) > 0 на S2 и cos γ Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности

Пусть dσ — элемент площади на поверхности S. Тогда

Вектор внешней нормали поверхности

где dS — элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интеграл ам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности S1 и S2. Пусть S2 описывается уравнением z = z2(x, у), а S, — уравнением z = z1(x, у). Тогда

Вектор внешней нормали поверхности

Так как приращение непрерывно дифференцируемой функции можно представить как интеграл от ее производной

Вектор внешней нормали поверхности

то для функции R(x, у, z) будем иметь

Вектор внешней нормали поверхности

Пользуясь этим, получаем из формулы (3)

Вектор внешней нормали поверхности

Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Rk, п°) = 0 и интеграл ∫∫ (Rk, n°) dσ по ней равен нулю. Поэтому формула (4) остается справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части.

Вектор внешней нормали поверхности

Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность 5 пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23).

Вектор внешней нормали поверхности

Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза. Пусть S1 и S2 — те части поверхности S, на которые она разбивается разрезом Sp,a V1 и V2 — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями Вектор внешней нормали поверхности

Здесь Sp+ означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем:

Вектор внешней нормали поверхности

Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройного интеграла, получим

Вектор внешней нормали поверхности

(интегралы по разрезу Sp взаимно уничтожаются). Рассмотрим, наконец, вектор

Для каждой компоненты Pi, Qj, Rк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим

Вектор внешней нормали поверхности

Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остроградского

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Вычислить поток вектора

а = 2xi — (z — 1)k

через замкнутую поверхность

Вектор внешней нормали поверхности

1) по определению, 2) по формуле Остроградского.

1) Поток вектора а равен сумме

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Следовательно, П = -4π + 0 + 8π = 4π.

2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Вычислить поток радиус-вектора

r = xi + yj + zk

через сферу радиуса R с центром в начале координат:

1) по определению; 2) по формуле Остроградского.

1) Так как для сферы

Вектор внешней нормали поверхности

2) Сначала находим

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Вычислить поток вектора

Вектор внешней нормали поверхности

через замкнутую поверхность S, заданную условиями:

Вектор внешней нормали поверхности

1) по определению; 2) по формуле Остроградстого (рис.25).

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

(на S1 имеем z = 0),

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Переходя к цилиндрическим координатам

Вектор внешней нормали поверхности

и замечая, что z = 9 — р на поверхности S, имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Замечание:

При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить ее до замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Оcтроградского.

Пример:

Вычислить поток вектора

Вектор внешней нормали поверхности

через поверхность S:

Вектор внешней нормали поверхности

Заданная поверхность S есть конус с осью Оу (рис. 26).

Вектор внешней нормали поверхности

Замкнем этот конус куском Σ плоскости у = I. Тогда, обозначая через П1 искомый поток, а через П2 поток по поверхности Σ, будем иметь

Вектор внешней нормали поверхности

где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S и Σ.
Так как

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

т.к. на поверхности Σ выполняется равенство у = 1. Следовательно, П1 = π.

Видео:Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Пусть S — замкнутая поверхность. Рассмотрим поле скоростей v течения жидкости и вычислим поток жидкости через поверхность 5. Если он положителен, то это означает, что из той части пространства, которая ограничена поверхностью S, вытекает больше жидкости, чем втекает в нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются источники (выделяющие жидкость). Напротив, если поток отрицателен, то внутрь S втекает больше жидкости, чем вытекает из нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются стоки (поглощающие жидкость).

Тем самым, величина

Вектор внешней нормали поверхности

позволяет судить о природе части векторного поля, заключенного внутри поверхности S, а именно, о наличии источников или стоков внутри нее и их производительности (мощности).

Понятие о потоке вектора через замкнутую поверхность приводит к понятию дивергенции, или расходимости поля, которое дает некоторую количественную характеристику поля в каждой его точке.

Пусть М — изучаемая точка поля. Окружим ее поверхностью S произвольной формы, например, сферой достаточно малого радиуса. Область, ограниченную поверхностью 5, обозначим через (V), а ее объем через V.

Вычислим поток вектора а через поверхность S. Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Составим отношение этого потока П к величине объема V,

Вектор внешней нормали поверхности

Так как числитель представляет собой производительность источников (стоков) внутри области (V), то отношение (1) дает среднюю производительность единицы объема.

Определение:

Если отношение (1) имеет конечный предел, когда область (V) стягивается в точку М, то этот предел называют дивергенцией векторного поля (дивергенцией вектора а) в точке М и обозначают div а(М). То есть по определению

Вектор внешней нормали поверхности

Дивергенция векторного поля есть скалярная величина (числитель и знаменатель дроби (2) суть скалярные величины).

Если diva(M) > 0, то в точке М расположен источник, если diva(M) Вектор внешней нормали поверхности

Пользуясь теоремой о среднем для тройного интеграла, получим

Вектор внешней нормали поверхности

Подставляя это выражение в формулу (2), определяющую дивергенцию, найдем

Вектор внешней нормали поверхности

Когда область (V) стягивается в точку М, то и точка Мcp стремится к точке М и, в силу предположенной непрерывности частных производных, получаем

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

(все величины в формуле (3) вычисляются водной и той же точке).

Формула (3) дает выражение дивергенции в декартовых координатах. Попутно доказано само существование дивергенции вектора а при условии, что производные Вектор внешней нормали поверхностинепрерывны.

Используя формулу (3) для дивергенции, запишем формулу Гаусса—Остроградского в векторной форме. Имеем
(4)

Вектор внешней нормали поверхности

— поток вектора а через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции вектора а по области (V), ограниченной поверхностью S.

Правила вычисления дивергенции

1, Дивергенция обладает свойством линейности
(5)

Вектор внешней нормали поверхности

где С1,…, Сп — постоянные числа.

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k

и С — постоянное число. Тогда

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

2. Дивергенция постоянного вектора с равна нулю

div e = 0. (6)

3. Дивергенция произведения скалярной функции и(М) на вектор а(М) вычисляется по формуле

div(ua) = u diva + (gprad u,a). (7)

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Найти дивергенцию вектора

Вектор внешней нормали поверхности

где r = |r| — расстояние от начала координат до переменной точки М(х,у,z),

Вектор внешней нормали поверхности

По формуле (7) имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Так как r = xi + уj + zk. то

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Трубчатое (соленоидальное) поле

Если во всех точках некоторой области G дивергенция векторного поля, заданного в этой области, равна нулю

div а ≡ 0, (8)

то говорят, что в этой области поле соленоидальное (или трубчатое).

Из формулы Гаусса—Остроградского вытекает, что в трубчатом поле поток вектора через любую замкнутую поверхность S, лежащую в этом поле, равен нулю
(9)

Вектор внешней нормали поверхности

Свойства трубчатого поля

Рассмотрим в области, где задано поле вектора а, какую-нибудь площадку Σ (рис.27). Назовем векторной трубкой совокупность векторных линий, проходящих через границу γ = θΣ этой площадки. Пусть Σ1 — некоторое сечение векторной трубки. Выберем вектор нормали щ к сечению Σ1 так, чтобы он был направлен в ту же сторону, что и вектор а поля.

Вектор внешней нормали поверхности

Теорема:

В трубчатом поле поток вектора а через любое сечение векторной трубки один и тот же.

Пусть Σ1 и Σ2 —непересекающиеся сечения одной и той же векторной трубки. Надо доказать, что

Вектор внешней нормали поверхности

Обозначим через Σ3 часть поверхности векторной трубки, заключенную между сечениями Σ1 и Σ2. Поверхности Σ1, Σ2, Σ3 вместе образуют замкнутую поверхность Σ (рис.28).

Вектор внешней нормали поверхности

Так как по условию поле вектора а — трубчатое, то

Вектор внешней нормали поверхности

В силу аддитивности потока соотношение (10) можно переписать так:

Вектор внешней нормали поверхности

В точках поверхности Σ3, составленной из векторных линий, имеем Вектор внешней нормали поверхности, так что (а, п°3) = 0 на Σз, и значит, последний интеграл в левой части (11) равен нулю. Таким образом, из (11) находим

Вектор внешней нормали поверхности

Пусть поверхность Σ имеет ориентированный замкнутый контур L своей границей. Будем говорить, что поверхность Σ натянута на контур L. Вектор нормали п к поверхности Σ будем ориентировать так, чтобы из конца нормали обход контура L был виден против часовой стрелки (рис. 29).

Вектор внешней нормали поверхности

Теорема:

В трубчатом поле поток вектора а через любую поверхность, натянутую на данный контур, один и тот же:

Вектор внешней нормали поверхности

Замечание:

В трубчатом поле векторные линии могут быть либо замкнутыми кривыми, либо иметь концы на границе области, где поле задано.

Пример:

Рассмотрим силовое поле, создаваемое точечным зарядом q, помешенным в начале координат. Вычислим дивергенцию вектора Е напряженности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Пользуясь формулой (7), получим

Вектор внешней нормали поверхности

для r ≠ 0. Таким образом, поле вектора Σ, заданного формулой (13), будет трубчатым в любой области G, не содержащей точки O(0,0,0).

Вычислим поток вектора Σ через сферу Sr радиуса R с центром в начале координат O(0,0,0) (рис.30).

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Замечание:

Можно показать, что поток вектора (13) через любую замкнутую поверхность Σ, охватывающую точку O(0,0,0), всегда равен 4 πg.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле

а(М) = Р(х, у, х)i + Q(x, у, z)j + R(х, у, z)k

и замкнутый ориентированный контур L.

Определение:

Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от вектора а по контуру L

Вектор внешней нормали поверхности

Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, определяемым ориентацией контура (рис. 31) символ Вектор внешней нормали поверхностиозначает, что интеграл берется по замкнутому контуру L.

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля

Вектор внешней нормали поверхности

вдоль эллипса L:

Вектор внешней нормали поверхности

По определению циркуляции имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид:

Вектор внешней нормали поверхности

и, значит, dx = -a sin tdt, dy = b cos tdt. Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем

Вектор внешней нормали поверхности

Видео:Потенциальное поле. Нахождение потенциала векторного поляСкачать

Потенциальное поле.  Нахождение потенциала векторного поля

Ротор (вихрь) векторного поля

Рассмотрим поле вектора

а(М) = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(х, у, z)k,

Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам.

Определение:

Ротором вектора а(M) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством

Вектор внешней нормали поверхности

или, в символической, удобной для запоминания форме,

Вектор внешней нормали поверхности

Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Вектор внешней нормали поверхности

Определение:

Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называется безвихревым.

Пример:

Найти ротор вектора

Вектор внешней нормали поверхности

Согласно формуле (3) имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим

Вектор внешней нормали поверхности

div rot a = 0. (3′)

Таким образом, поле вектора rot а соленоидально.

Теорема Стокса:

Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L,

Вектор внешней нормали поверхности

При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Σ, и что ориентация орта нормали п° к поверхности Σ С G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормали обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что а = Pi + Qj + Rk, n° = cos ai + cos βj + cos γk, и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде:

Вектор внешней нормали поверхности

Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Σ и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур λ соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура λ. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Σ остается слева, так что веkтор нормали п к поверхности Σ составляет с осью Oz острый угол γ (cos γ > 0).

Пусть z = φ <х,у) — уравнение поверхности Σ и функция ф(х,у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Вектор внешней нормали поверхностив замкнутой области D. Рассмотрим интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

Линия L лежит на поверхности Σ. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности z = φ(х, у),мы можем заменить z под знаком интеграла на φ(x, у). Координаты (х, у)

Вектор внешней нормали поверхности

переменной точки кривой λ равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по λ,

Вектор внешней нормали поверхности

Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина. Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Σ. Так как dS = cos γ • dσ,то из формулы (8) получим, что

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор нормали n° к поверхности Σ определяется выражением

Вектор внешней нормали поверхности

или n° = cos a • i + cos β • j + cos γ • k. Отсюда видно, что

Вектор внешней нормали поверхности

Поэтому равенство (9) можно переписать так:

Вектор внешней нормали поверхности

Считая Σ гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул

Вектор внешней нормали поверхности

Складывая равенства (10), (11) и (12) почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче,

Вектор внешней нормали поверхности

Замечание:

Мы показали, что поле вектора rota — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Σ, натянутой на контур L.

Замечание:

Формула (4) выведена в предположении, что поверхность Σ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Ecли это условие не выполнено, то разбиваем Σ на части так, чтобы каждая часть указан ному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример:

Вычислить циркуляцию вектора

а = yi — xj + k

Вектор внешней нормали поверхности

1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса.

1) Зададим линию L параметрически:

Вектор внешней нормали поверхности

Тогда dx = -R sin t dt, dy = R cos t dt, H dz = 0, так что

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Натянем на контур L кусок плоскости z = H, так что п° = k. Тогда

Вектор внешней нормали поверхности

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Как написать уравнения касательной и нормали | Математика

Инвариантное определение ротора поля

Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат.

Теорема:

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению,

Вектор внешней нормали поверхности

Здесь ( Σ ) — плоская площадка, перпендикулярная вектору п; S — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; ( Σ )М означает, что площадка ( Σ ) стягиваетcя к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33).

Вектор внешней нормали поверхности

Применим сначала к циркуляции

Вектор внешней нормали поверхности

вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении:

Вектор внешней нормали поверхности

(скалярное произведение (rot a, n°) берется в некоторой средней точке Mср площадки ( Σ )).

При стягивании площадки ( Σ ) к точке М средняя точка Мср тоже стремится к точке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем

Вектор внешней нормали поверхности

Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависит от выбора системы координат, то сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора. Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rot a согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта.

Физический смысл ротора поля

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси l с угловой скоростью w. Не нарушая общности, можно считать, что ось l совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где

r = xi + уj + zk.

Вектор угловой скорости в нашем случае равен w ≡ wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М,

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения.

Вектор внешней нормали поверхности

Правила вычисления ротора

1, Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору,

rot e = 0.

2. Ротор обладает свойством линейности

Вектор внешней нормали поверхности

где c1, c2,…, cn — постоянные числа.

3. Ротор произведения скалярной функции и(М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

rot(wa) = и rot а + [grad и, а].

Вектор внешней нормали поверхности

Видео:Демидович №4441б: поток радиус-вектора через замкнутую поверхностьСкачать

Демидович №4441б: поток радиус-вектора через замкнутую поверхность

Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования

Определение:

Область G трехмерного пространства называется поверхностно односвязной, если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G.

Например, внутренность сферы или все трехмерное пространство являются поверхностно односвязными областями; внутренность тора или трехмерное пространство, из которого исключена прямая, поверхностно односвязными областями не являются.

Пусть в поверхностно односвязной области G задано непрерывное векторное поле

а (М) = Р(М)i + Q(M)j + R(M) k.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема:

Для того чтобы криволинейный интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

в поле вектора а не зависел от пути интегрирования, а зависел только от начальной и конечной точек пути (А и В), необходимо и достаточно, чтобы циркуляция вектора a вдаль любого замкнутого контура L, расположенного в области G, была равна нулю.

Необходимость. Пусть интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

не зависит от пути интегрирования. Покажем, что тогда

Вектор внешней нормали поверхности

по любому замкнутому контуру L равен нулю.

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в поле вектора а и возьмем на нем произвольно точки A и В (рис.35).

Вектор внешней нормали поверхности

По условию имеем

Вектор внешней нормали поверхности

где L1 и L2 — различные пути, соединяющие точки А и В; откуда

Вектор внешней нормали поверхности

Но L1 U L2 как раз и есть выбранный замкнутый контур L. Достаточность. Пусть

Вектор внешней нормали поверхности

для любого замкнутого контура L. Покажем, что в этом случае интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

не зависит от пути интегрирования.

Возьмем в поле вектора а две точки А и В, соединим их произвольными линиями L1 и L2 к покажем, что

Вектор внешней нормали поверхности

Для простоты ограничимся случаем, когда линии L1 и L2 не пересекаются. В этом случае объединение L1 ∪ L2 образует простой замкнутый контур L (рис. 36).

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

а по свойству аддитивности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

откуда справедливость равенства (2) и вытекает.

Теорема 9 выражает необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла от формы пути, однако эти условия трудно проверяемы. Приведем более эффективный критерий.

Теорема:

Для того, чтобы криволинейный интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

не зависел от пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле а(М) = Р(X, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k было безвихревым,

rot a(M) = 0. (3)

Здесь предполагается, что координаты Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) вектора а(М) имеют непрерывные частные производные первого порядка и область определения вектора а(М) поверхностно односвязна.
Замечание:

В силу теоремы 9 независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю циркуляции вектора а вдоль любого замкнутого контура. Это обстоятельство мы используем при доказательстве теоремы.

Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от формы пути, или, что то же, циркуляция вектора а по любому замкнутому контуру L равна нулю. Тогда

Вектор внешней нормали поверхности

т. е. в каждой точке поля проекция вектора rot а на любое направление равна нулю. Это означает, что сам вектор rot а равен нулю во всех точках поля,

rot а ≡ 0.

Достаточность. Достаточность условия (3) вытекает из формулы Стокса, так как если rot а ≡ 0, то и циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Вектор внешней нормали поверхности

Ротор плоского поля a = P(x, y)i + Q(x, y)j равен

Вектор внешней нормали поверхности

что позволяет сформулировать для плоского поля следующую теорему.

Теорема:

Для того, чтобы криволинейный интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

в односвязном плоском поле не зависел от формы линии L, необходимо и достаточно, чтобы соотношение

Вектор внешней нормали поверхности

выполнялось тождественно во всей рассматриваемой области.

Если область неодносвязна, то выполнение условия

Вектор внешней нормали поверхности

вообще говоря, не обеспечивает независимости криволинейного интеграла от формы линии.

Пример:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Ясно, что подынтегральное выражение не имеет смысла в точке 0(0,0). Поэтому исключим эту точку. В остальной части плоскости (это будет уже не сщносвязная область!) координаты вектора а непрерывны, имеют непрерывные частные производные и

Вектор внешней нормали поверхности

Рассмотрим интеграл (6) вдоль замкнутой кривой L — окружности радиуса R с центром в начале координат

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Отличие циркуляции от нуля показывает, что интеграл (6) зависит от формы пути интегрирования.

Видео:Формула Остроградского-ГауссаСкачать

Формула Остроградского-Гаусса

Потенциальное поле

Определение:

Поле вектора а(М) называется потенциальным, если существует скалярная функция и<М) такая, что

grad и = a. (1)

При этом функция и<М) называется потенциалом поля ее поверхности уровня называются эквипотенциальными поверхностями.
Пусть

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.

Вектор внешней нормали поверхности

то соотношение (1) равносильно следующим трем скалярным равенствам:

Вектор внешней нормали поверхности

Заметим, что потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого: если grad и = а и grad v = а, то

Вектор внешней нормали поверхности

и, следовательно, и = v + с, где с — постоянное число.

Пример:

Поле радиус-вектора г является потенциальным, так как

Вектор внешней нормали поверхности

(напомним, что Вектор внешней нормали поверхности). Потенциалом поля радиус-вектора является, следовательно,

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Вектор внешней нормали поверхности

Пусть функция φ(r) такая, что

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Теорема:

Для того чтобы поле вектора а было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым,

rot а0, (2)

т. е. чтобы его ротор равнялся нулю во всех точках поля. При этом предполагается непрерывность всех частных производных от координат вектора а и поверхностная односвязность области, в которой задан вектор а.
Необходимость. Необходимость условия (2) устанавливается непосредственным подсчетом: если поле потенциально, т. е. а = grad и, то

Вектор внешней нормали поверхности

в силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

Достаточность. Пусть поле вектора безвихревое (2). Для того чтобы доказать потенциальность этого поля, построим его потенциал и(М). Из условия (2) следует, что криволинейный интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

не зависит от формы линии L, а зависит только от ее начальной и конечной точек. Зафиксируем начальную точку Мо(xo, yо, zo), а конечную точку М(х, y, z) будем менять. Тогда интеграл (3) будет функцией точки М(х, у, z). Обозначим эту функцию через и(М) и докажем, что

grad u = а.

В дальнейшем будем записывать интеграл (3), указывая лишь начальную и конечную точку пути интегрирования,

Вектор внешней нормали поверхности

Равенство grad и = а равносильно трем скалярны м равенства м

Вектор внешней нормали поверхности

Докажем первое из них,

Вектор внешней нормали поверхности

второе и третье равенства доказываются аналогично.

По определению частной производной имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Рассмотрим точку М1(х + ∆х, у, z), близкую к точке M(x,y,z). Так как функция и(М) определяется соотношением (4), в котором криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем путь интегрирования так, как указано на рис.37.

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Последний интеграл берется вдоль отрезка прямой ММ1, параллельной оси Ох. На этом отрезке в качестве параметра можно принять координату х:

x = х, у = const, z = const.

Тогда dx = dx,dy = 0, dz = 0, так что

Вектор внешней нормали поверхности

Применяя к интегралу в правой части (6) теорему о среднем, получаем

Вектор внешней нормали поверхности

где величина ξ заключена между х и х + ∆х. Из формулы (7) вытекает, что

Вектор внешней нормали поверхности

Так как ξ —► x при ∆x —» 0, то в силу непрерывности функции Р(х, у, z) получаем

Вектор внешней нормали поверхности

Аналогично доказывается, что

Вектор внешней нормали поверхности

Следствие:

Векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда криволинейный интеграл в нем не зависит от пути.

Видео:Поток векторного поля через поверхность. Поверхностный интеграл.Скачать

Поток векторного поля через поверхность. Поверхностный интеграл.

Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле

Теорема:

Интеграл Вектор внешней нормали поверхности в потенциальном поле а(М) равен разности значений, потенциала и(М) поля в конечной и начальной точках пути интегрирования,

Вектор внешней нормали поверхности

Ранее былодоказано, что функция

Вектор внешней нормали поверхности

является потенциалом поля.

В потенциальном поле криволинейный интеграл

Вектор внешней нормали поверхности

не зависит от пути интегрирования. Поэтому, выбирая путь отточки М1 к точке М2 так, чтобы он прошел через точку Mo (рис. 38), получаем

Вектор внешней нормали поверхности

или, меняя ориентацию пути в первом интеграле справа,

Вектор внешней нормали поверхности

Так как потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого, то любой потенциал рассматриваемого поля можетбыть записан в виде

v(M) = u(M) + c, (10)

где с — постоянная.

Делая в формуле (10) замену u(M2) = v(M2) — с, и(М1) = v(M1) — с, получим для произвольного потенциала v(M) требуемую формулу

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

В примере 1 было показано, что потенциалом поля радиус-вектора г является функция

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

где ri (i = 1,2) — расстояние от точки Mi(i = 1,2) до начала координат.

Видео:Демидович №4442: поток вектора через цилиндрСкачать

Демидович №4442: поток вектора через цилиндр

Вычисление потенциала в декартовых координатах

Пусть задано потенциальное поле

а(М) = Р(х, у, г)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k.

Ранее было показано, что потенциальная функция и(М) может быть найдена по формуле

Вектор внешней нормали поверхности

Интеграл (11) удобнее всего вычислять так: зафиксируем начальную точку Мо(хо, yо, zо) и соединим ее с достаточно близкой текущей точкой M(x,y,z) ломаной М0М1М2М, звенья которой параллельны координатным осям, М0М1,||Ох, M1М2||Оу, М2М|| Oz (рис.39).

Вектор внешней нормали поверхности

При этом на каждом звене ломаной изменяется только одна координата, что позволяет существенно упростить вычисления. В самом деле, на отрезке М0М1 имеем:

Вектор внешней нормали поверхности

На отрезке М1М2:

х = const, dx = 0, у = у, dy = dy, z = z0 и dz = 0.

x = const, dx = 0, у = const, dy = 0, z = z и dz = dz.

Следовательно, потенциал u(M) равен

Вектор внешней нормали поверхности

где x, у, z — координаты текущей точки на звеньях ломаной, вдоль которых ведется интегрирование.

Пример:

Доказать, что векторное поле

является потенциальным, и найти его потенциал.

Проверим, будет ли поле вектора а(М) потенциально. С этой целью вычислим ротор поля. Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (12). Возьмем за начальную точку Mо начало координат О (так обычно поступают, если поле а(М) определено в начале координат). Тогда получим

Вектор внешней нормали поверхности

u(z, у, z) = ху + xz + yz + с,

где с — произвольная постоянная.

Потенциал этого поля можно найти и по-иному. По определению потенциал и(х, у, г) есть скалярная функция, для которой grad и = а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам:

Вектор внешней нормали поверхности

Интегрируя (13) по х, получим

Вектор внешней нормали поверхности

где f(y,z) — произвольная дифференцируемая функция от у и z. Продифференцируем (16) по у:

Вектор внешней нормали поверхности

откуда, учитывая (14), будем иметь

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Проинтегрировав (17) по у, найдем

Вектор внешней нормали поверхности

где F(z) — некоторая функция х. Подставив (18) в (16), получим

и(х, у, z) = ху + xz + у z + F(z).

Дифференцируя последнее равенство по z и учитывая соотношение (15), получим уравнение для F(z),

Вектор внешней нормали поверхности

откуда Вектор внешней нормали поверхности= 0, так что F(z) = с = const. Итак,

u(x,y,z) = ху +yz + zx +с.

Видео:Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиСкачать

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Оператор Гамильтона

Мы рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление grad и для скалярного поля и = и(х, у, z) и div а и rot а для векторного поля а = а(x, у, z). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора ∇ («набла»): (1)

Вектор внешней нормали поверхности

Оператор ∇ (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и векторными свойствами. Формальное умножение, например, умножение Вектор внешней нормали поверхностина функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование:

Вектор внешней нормали поверхности

В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором ∇ будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы:

1, Если и = и(х, у, z) — скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим

Вектор внешней нормали поверхности

a = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + (x, y, z)k,

где P, Q, R — дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим

Вектор внешней нормали поверхности

3. Вычисляя векторное произведение [ ∇, а], получим

Вектор внешней нормали поверхности

Для постоянной функции и = с получим

∇c = 0,

а для постоянного вектора с будем иметь

( ∇, с) = 0 и [ ∇, с] = 0.

Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем

( ∇, a + b) = ( ∇, а) + ( ∇, b),

Вектор внешней нормали поверхности

Замечание:

Формулы (5) и (6) можно трактовать так же как проявление дифференциальных свойств оператора «набла»( ∇ — линейный дифференциальный оператор). Условились считать, что оператор ∇ действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например,

( ∇, а) ≠ (а, ∇ ),

ибо ( ∇, а) = div а есть функция Вектор внешней нормали поверхностив то время как

Вектор внешней нормали поверхности

— скалярный дифференциальный оператор.

Применяя оператор ∇ к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения.

Пример:

grad(u v) = v Brad и + u grad v. (7)

По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем

∇(uv) = v∇u + u ∇v,

grad(uv) = v grad u + u grad v.

Чтобы отметить тот факт, что «набла» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается.

Пример:

Пусть и(x,y,z) — скалярная дифференцируемая функция, a(x,y,z) — векторная дифференцируемая функция. Доказать, что

div(ua) =u diva + (a, grad u). (8)

Перепишем левую часть (8) в символическом виде

div(ua) = ( ∇, ua).

Учитывая дифференциальный характер оператора ∇, получаем

Вектор внешней нормали поверхности

Так как ис — постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что

Вектор внешней нормали поверхности

(на последнем шаге мы опустили индекс с).

В выражении ( ∇, иас) оператор ∇ действует только на скалярную функцию и, поэтому

Вектор внешней нормали поверхности

В итоге получаем

div(ua) = u div а + (a, grad и).

Замечание:

Используя формализм действий с оператором ∇ как с вектором, надо помнить, что ∇ не является обычным вектором — он не имеет ни длины, ни направления, так что, например, вектор ( ∇, а> не будет, вообще говоря, перпендикулярным вектору а (впрочем, для плоского поля а = Р(х, y)i + Q(x, y)j вектор

Вектор внешней нормали поверхности

перпендикулярен плоскости хОу, а значит, и вектору а).

Не имеет смысла и понятие коллинеарности по отношению к символическому вектору ∇. Например, выражение [∇ φ, ∇ ψ] где φ и ψ — скалярные функции, формально напоминает векторное произведение двух кoллинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Однако в общем случае это не имеет места. В самом деле, вектор ∇ φ = grad φ направлен по нормали к поверхности уровня φ = const, а вектор ∇ ψ = grad ψ определяет нормаль к поверхности уровня ψ = const. В общем случае эти нормали не обязаны быть коллинеарными (рис. 40). С другой стороны, в любом дифференцируемом скалярном поле φ (х, у, z) имеем [∇ φ, ∇ ψ] = 0.

Эта примеры показывают, что с оператором «набла» нужно обращаться с большой осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить аналитическими методами.

Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа

Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора ∇.

1, Пусть имеем скалярное поле и = и(x,y,z). В этом поле оператор ∇ порождает векторное поле

∇u = grad и.

В векторном поле grad и можно определить две операции:

( ∇, ∇u) = div grad u, (1)

что приводит к скалярному полю, и

[ ∇, ∇m] = rot grad u, (2)

что приводит к векторному полю.

2. Пусть задано векторное поле а = Pi + Qj + Rk. Тогда оператор (2) порождает в нем скалярное поле

(∇, а) = div a.

В скалярном поле div а оператор ∇ порождает векторное поле

∇ (∇,a) = grad div а. (3)

3. В векторном поле а = Pi + Qj + Rк оператор ∇ порождает также векторное поле

[∇, а] = rot a.

Применяя к этому полю снова оператор ∇, получим:

а) скалярное поле

(∇, [∇, а]) = div rot а, (4).

б) векторное поле

(∇, [∇, а]) = rot rot а. (5)

Формулы (1)-(5) определяют так называемые дифференциальные операции второго порядка.

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz и рассмотрим каждую из формул (1)-(5) более подробно.

1, Предполагая, что функция и(х, у, z) имеет непрерывные вторые частные производные по х, у и z, получим

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

называется оператором Лапласа, или лапласианом. Его можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона ∇ на самого себя, т.е.

Вектор внешней нормали поверхности

Оператор ∆ (дельта) играет важную роль в математической физике. Уравнение (6)

Вектор внешней нормали поверхности

называется уравнением Лапласа. С его помощью описывается, например, стационарное распределение тепла.

Скалярное поле и(х, у, z), удовлетворяющее условию ∆и = 0, называется лапла-совым или гармоническим полем.

Например, скалярное поле и = 2х 2 + Зу — 2x 2 является гармоническим во всем трехмерном пространстве: из того, что

Вектор внешней нормали поверхности

2. Пусть функция u(z, у, z) имеет непрерывные частные производные второго порядка включительно. Тогда

rot grad u0. (7)

В самом деле, действуя формально, получим

rot grad и = [∇, ∇u] = [ ∇, ∇ ] u = 0,

ибо [∇, ∇] = 0 как векторное произведение двух одинаковых «векторов».

Тот же результат можно получить, используя выражения градиента и ротора в декартовых координатах

Вектор внешней нормали поверхности

3. Пусть задано векторное поле

а = Р(х, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k,

координаты которого P, Q, R имеют непрерывные частные производные второго порядка. Тогда получим

Вектор внешней нормали поверхности

4. При тех же условиях, что и в пункте 3, имеем (9)

Вектор внешней нормали поверхности

Это соотношение уже было доказано ранее путем непосредственных вычислений. Здесь мы приведем его формальное доказательство, используя известную формулу из векторной алгебры

(А, [В, С]) = (С,[А,В])= (В, [С, А]).

div rot а = (∇, [∇, а]) = (а, [∇, ∇]) = О,

так как [∇, ∇] = 0 как векторное произведение двух одинаковых «векторов».

5. Покажем, наконец, что при тех же условиях, что и ранее,

rot rot а = grad div а — ∆а. (10)

rot rot а = [ ∇, [∇,a]),

то, полагая в формуле для двойного векторного произведения [А, [В, С]] = В(А, С) — (А, В)С,

А = ∇, B = ∇, С = а,

Вектор внешней нормали поверхности

Но ( ∇, а) = div а и ( ∇, ∇) = ∆. Поэтому окончательно будем иметь

rot rot а = grad div а — ∆а,

где grad div а выражается по формуле (8), а ∆а для вектора а = Pi + Qj + Rk надо понимать так:

∆а = ∆Р • i + ∆Q • j + ∆R • k.

В заключение приведем таблицу дифференциальных операций второго порядка.

Вектор внешней нормали поверхности

Заштрихованные прямоугольники означают, что соответствующая операция не имеет смысла (например, градиент от rot а).

Понятие о криволинейных координатах

Во многих задачах бывает удобно определять положение точки простр анства не декартовыми координатами (х, у, z), а тремя другими числами (q1, q2, q3), более естественно связанными с рассматриваемой частной задачей.

Если задано правило, согласно которому каждой точке М пространства отвечает определенная тройка чисел (q1, q2, q3) и, обратно, каждой такой тройке чисел отвечает единственная точка М, то говорят, что в пространстве задана криволинейная координатная система. В этом случае величины q1, q2, q3 называют криволинейными координатами точки М.

Координатными поверхностями в системе криволинейных координат q1, q2, q3 называются поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

На координатных поверхностях одна из координат сохраняет постоянное значение. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями.

В качестве примеров криволинейных координат рассмотрим цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется тремя координатами:

Вектор внешней нормали поверхности

р = const — круговые цилиндры с осью Оz;

φ = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz;

z = const — плоскости, перпендикулярные оси Oz (рис. 41).

1) линии (р) — лучи, перпендикулярные оси Oz и имеющие начало на этой оси, т. е. линии пересечения координатных поверхностей φ = const, z = const;

2) линии (φ) — окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Oz;

3) линии (z) — прямые, параллельные оси Oz.

Связь декартовых координат точки (х, у, z) с цилиндрическими координатами (р, φ, z) задается формулами

x = p cos φ, y = p sin φ, z = z. (2)

Вектор внешней нормали поверхности

Сферические координаты

В сферических координатах положение точки М в пространстве определяется следующими координатами:

Вектор внешней нормали поверхности

Координатные поверхности (рис. 42):

r = const — сферы с центром в точке О;

θ = const — круговые полуконусы с осью Oz;

φ = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz.

1) линии (г) — лучи, выходящие из точки О;

2) линии (θ) — меридианы на сфере;

3) линии (φ) — параллели на сфере.

Связь декартовых координат (х, у, z) точки М с ее сферическими координатами (r, θ, φ) задается формулами

х = r cos φ sin θ,

у = r sin φ sin θ, (4)

z = r cos θ.

Введем единичные векторы e1, е2, е3 (орты), направленные по касательным к координатным линиям(q1),(q2),(q3)в тoчке М в сторону возрастания переменных q1,q2,q3 соответственно.

Определение:

Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке М орты e1, е2, е3 попарно ортогональны.
В такой системе ортогональны и координатные линии, и координатные поверхности.
Примерами ортогональных криволинейных координат служат системы цилиндрических и сферических координат. Мы ограничимся рассмотрением только ортогональных систем координат.

Пусть r = r(q1, q2, q3) — радиус-вектор точки М. Тогда можно показать, что
(5)

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

— коэффициенты Ламэ данной криволинейной системы координат. Вычислим коэффициенты Ламэ для цилиндрических координат

Вектор внешней нормали поверхности

Так как х = р cos φ, у = р sin φ, z = z, то
(6)

Вектор внешней нормали поверхности

Аналогично для сферических координат имеем
(7)

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

являются дифференциалами длин дуг соответствующих координатных линий.

Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

Дифференциальные уравнения векторных линий

Рассмотрим поле вектора

Вектор внешней нормали поверхности

Уравнения векторных линий в криволинейных координатах q1,q2, q3 имеют вид

Вектор внешней нормали поверхности

В цилиндрических координатах (q1 = р, q2= φ, q3 = z)
(1)

Вектор внешней нормали поверхности

в сферических координатах (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ)
(2)

Вектор внешней нормали поверхности

Градиент в ортогональных координатах

Пусть и = u(q1, q2, q3) — скалярное пoле. Тогда

Вектор внешней нормали поверхности

В цилиндрических координатах (q1 = р, q2 = φ, q3 = z)
(3)

Вектор внешней нормали поверхности

в сферических координатах (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ) (4)

Вектор внешней нормали поверхности

Ротор в ортогональных координатах

Рассмотрим векторное поле

Вектор внешней нормали поверхности

и вычислим rot а. Имеем

Вектор внешней нормали поверхности

В цилиндрических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

в сферических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Дивергенция в ортогональных координатах

Дивергенция div а векторного поля

Вектор внешней нормали поверхности

вычисляется по формуле
(7)

Вектор внешней нормали поверхности

В цилиндрических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

в цилиндрических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

в сферических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

Применяя формулу (7) к единичным векторам е1, е2, е3, получим

Вектор внешней нормали поверхности

Вычисление потока в криволинейных координатах

Пусть S — часть координатной поверхности q1 = с = const, ограниченная координатными линиями

Вектор внешней нормали поверхности

Тогда поток вектора

Вектор внешней нормали поверхности

через поверхность S в направлении вектора e1 вычисляется по формуле
(8)

Вектор внешней нормали поверхности

Аналогично вычисляется поток через часть поверхности q2 = с, а также через часть поверхности д3 = с, где с = const.

Пример:

Найти поток П векторного поля

Вектор внешней нормали поверхности

через внешнюю сторону верхней полусферы S радиуса R с центром в начале координат.
Полусфера S есть часть координатной поверхности r = const, а именно r = R. На полусфере S имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Учитывая, что в сферических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

по формуле (8) найдем

Вектор внешней нормали поверхности

Вычисление потенциала в криволинейных координатах

Пусть в некоторой области Ω задано потенциальное векторное поле

Вектор внешней нормали поверхности

т. e. rot а = 0 в области Ω.

Для нахождения потенциала и = и(q1, q2, q3) этого векторного поля запишем равенство а(М) = grad u(M) в следующем виде:

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда следует, что
(9)

Вектор внешней нормали поверхности

Интегрируя систему дифференциальных уравнений с частными производными (9), найдем искомый потенциал

Вектор внешней нормали поверхности

где с — произвольная постоянная.

В цилиндрических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

система (9) принимает вид

Вектор внешней нормали поверхности

В сферических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

система (9) имеет вид

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Найти потенциал векторного поля, заданного в цилиндрических координатаx

Вектор внешней нормали поверхности

Убедимся, что rot a = 0. По формуле (S) получим

Вектор внешней нормали поверхности

т.е. данное поле потенциально.

Искомый потенциал u = и(р, φ, z) является решением следующей системы дифференциальных уравнений с частными производными (см. формулу (10)):

Вектор внешней нормали поверхности

Интегрированием по р из первого уравнения находим

Вектор внешней нормали поверхности

Дифференцируя соотношение (11) no φ и используя второе уравнение, получим

Вектор внешней нормали поверхности

или Вектор внешней нормали поверхности= 0, откуда с = c1(z). Таким образом,

Вектор внешней нормали поверхности

Дифференцируя это соотношение по z и используя третье уравнение, получим

Вектор внешней нормали поверхности

или c1`(z) =0, откуда c1(z) = с. Итак, потенциал данного поля

Вектор внешней нормали поверхности

Линейный интеграл и циркуляция в ортогональных криволинейных координатах

Пусть векторное поле

Вектор внешней нормали поверхности

определено и непрерывно в области Ω изменения ортогональных криволинейных координат q1, q2, q3. Так как дифференциал радиус-вектора r любой точки M(q1, q2, q3) ∈ Ω выражается формулой

Вектор внешней нормали поверхности

то криволинейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой L ⊂ Ω будет равен
(13)

Вектор внешней нормали поверхности

В частности, для цилиндрических координат (q1 = р, q2 = φ, q3 = z, Н1 = 1, Н2 = р, Н3=1) будем иметь

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда по формуле (13) получим
(14)

Вектор внешней нормали поверхности

Аналогично для сферических координат (q1 = r, q2 = θ, q3 = φ, Н1 = 1, Н2 = r, H3 = r sin θ будем иметь

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда по формуле (13) получим
(15)

Вектор внешней нормали поверхности

Если кривая L замкнута (начальная и конечная точки кривой L совпадают), то циркуляция Ц векторного поля а (М) в криволинейных координатах q1, q2, q3 вычисляется по формуле (13), а в случае цилиндрических или сферических координат — по формулам (14) или (15) соответственно.

Пример:

Вычислить циркуляцию векторного поля, заданного в цилиндрических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

по замкнутой кривой L,

Вектор внешней нормали поверхности

Координаты данного вектора равны соответственно

Вектор внешней нормали поверхности

Контур L представляет собой замкнутую кривую, расположенную в плоскости z = 0 (рис. 43).

Вектор внешней нормали поверхности

Подставляя координаты данного вектора в формулу .(14), получим

Вектор внешней нормали поверхности

На кривой L имеем

Вектор внешней нормали поверхности

Искомая циркуляция будет равна

Вектор внешней нормали поверхности

Оператор Лапласа в ортогональных координатах

Вектор внешней нормали поверхности

Используя формулы (16) и (17), для оператора Лапласа ∆ получим следующее выражение:

Вектор внешней нормали поверхности

В цилиндрических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

В сферических координатах

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности

Пример:

Найти все решения уравнения Лапласа ∆и = 0, зависящие только от расстояния r.

Так как искомое решение и должно зависеть только от расстояния точки М от начала координат г, т. е. и = и (r), то уравнение Лапласа ∆и = 0 в сферических координатах будет иметь вид

Вектор внешней нормали поверхности

Отсюда Вектор внешней нормали поверхноститак что

Вектор внешней нормали поверхности

где С1 и С2 — постоянные.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Вектор внешней нормали поверхности

Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности Вектор внешней нормали поверхности

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Поделиться или сохранить к себе: