Даны две окружности, каждая определена координатами своего центра и радиусом. Требуется найти все их точки пересечения (либо одна, либо две, либо ни одной точки, либо окружности совпадают).
Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать
Решение
Предположим, не теряя общности, что центр первой окружности — в начале координат (если это не так, то перенесём центр в начало координат, а при выводе ответа будем обратно прибавлять координаты центра). Тогда мы имеем систему двух уравнений:
Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от квадратов переменных:
Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух окружностей к задаче о пересечении первой окружности и следующей прямой:
А решение последней задачи описано в соответствующей статье.
Единственный вырожденный случай, который надо рассмотреть отдельно — когда центры окружностей совпадают. Действительно, в этом случае вместо уравнения прямой мы получим уравнение вида 0 = С, где C — некоторое число, и этот случай будет обрабатываться некорректно. Поэтому этот случай нужно рассмотреть отдельно: если радиусы окружностей совпадают, то ответ — бесконечность, иначе — точек пересечения нет.
Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать
Точки пересечения окружности с графиком
Найти точки пересечения окружности ( x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 4 и прямой y = 2x.
Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений
Подставляя в первое уравнение 2x вместо y и раскрывая скобки, получим
Подставляя эти значения во второе уравнение y = 2x, получим
и .
Видео:Уравнение окружности (1)Скачать
Пересечение двух окружностей
Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют
Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.
Формулы для расчета приведены под калькулятором.
Точки пересечения двух окружностей
Первая окружность
Вторая окружность
Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать
Пересечение окружностей
Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.
При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):
Случай | Описание | Условие |
---|---|---|
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность) | ||
Окружности не касаются друг друга | r1 + r2″ /> | |
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее | ||
Окружности пересекаются в двух точках | Не выполнено ни одно из условий выше | |
Окружности соприкасаются в одной точке | Частный случай предыдущего |
Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:
Сначала калькулятор находит отрезок a
Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):
И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:
Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым
По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres
📽️ Видео
Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать
Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.Скачать
Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать
ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать
Теорема о числе точек пересечения окружности и прямойСкачать
Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать
начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать
Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать
10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координатСкачать
17.1 Вычислите координаты точек пересечения графиков функцийСкачать
В какой четверти пересекаются графики. #ShortsСкачать
Алгебра 7 класс. 12 октября. Находим точку пересечения графиков!Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
2 3 проекция точки на конусеСкачать