Точки пересечения окружности с графиком

Пересечение двух окружностей

Даны две окружности, каждая определена координатами своего центра и радиусом. Требуется найти все их точки пересечения (либо одна, либо две, либо ни одной точки, либо окружности совпадают).

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Решение

Предположим, не теряя общности, что центр первой окружности — в начале координат (если это не так, то перенесём центр в начало координат, а при выводе ответа будем обратно прибавлять координаты центра). Тогда мы имеем систему двух уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от квадратов переменных:

Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух окружностей к задаче о пересечении первой окружности и следующей прямой:

А решение последней задачи описано в соответствующей статье.

Единственный вырожденный случай, который надо рассмотреть отдельно — когда центры окружностей совпадают. Действительно, в этом случае вместо уравнения прямой мы получим уравнение вида 0 = С, где C — некоторое число, и этот случай будет обрабатываться некорректно. Поэтому этот случай нужно рассмотреть отдельно: если радиусы окружностей совпадают, то ответ — бесконечность, иначе — точек пересечения нет.

Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Определение точки пересечения окружности с прямой

Точки пересечения окружности с графиком

Найти точки пересечения окружности ( x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 4 и прямой y = 2x.

Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений

Точки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графиком

Подставляя в первое уравнение 2x вместо y и раскрывая скобки, получим

Точки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графиком

Подставляя эти значения во второе уравнение y = 2x, получим

Точки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графиком

Точки пересечения окружности с графиком Точки пересечения окружности с графикоми Точки пересечения окружности с графикомТочки пересечения окружности с графиком.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Точки пересечения окружности с графиком

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.Образовательный

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Точки пересечения окружности с графиком

Точки пересечения окружности с графиком

Точки пересечения окружности с графиком

Точки пересечения окружности с графиком

Точки пересечения окружности с графиком

Точки пересечения окружности с графиком

СлучайОписаниеУсловие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг другаr1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точкахНе выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точкеЧастный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

📽️ Видео

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностей

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.Скачать

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать

ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)

Теорема о числе точек пересечения окружности и прямойСкачать

Теорема о числе точек пересечения окружности и прямой

Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координатСкачать

Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координат

17.1 Вычислите координаты точек пересечения графиков функцийСкачать

17.1 Вычислите координаты точек пересечения графиков функций

В какой четверти пересекаются графики. #ShortsСкачать

В какой четверти пересекаются графики. #Shorts

Алгебра 7 класс. 12 октября. Находим точку пересечения графиков!Скачать

Алгебра 7 класс. 12 октября. Находим точку пересечения графиков!

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

2 3 проекция точки на конусеСкачать

2 3 проекция точки на конусе
Поделиться или сохранить к себе: