Вектор тау в теоретической механике

Буквенные обозначения и символы, используемые в технической механике и сопротивлении материалов.

Видео:Зобова А. А. - Теоретическая механика. Часть 1 - Кинематика материальной точкиСкачать

Латинские прописные буквы

Видео:кинематика точкиСкачать

Латинские строчные буквы

Видео:Кинематика точкиСкачать

Греческие буквы

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Консультация к устному экзамену. Механика. Часть 1: "Движение материальной точки"Скачать

Решение задач, контрольных и РГР

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

Видео:Термех. Кинематика. Сложное движение точкиСкачать

Набор студента для учёбы

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку

Видео:Лекция №1 "Аксиомы механики. Кинематика точки"Скачать

Кинематика. Все определения, понятия, законы и теоремы

Видео:Зобова А. А. - Теоретическая механика. Часть 1 - Кинематика абсолютно твёрдого телаСкачать

Определение кинематики

Видео:Cложное движение точки. ТермехСкачать

Кинематика точки

Способы задания движения точки

Существуют следующие способы задания движения точки:
1) векторный; 2) координатный; 3) естественный.

Векторный способ задания движения точки

При векторном способе задания движения точки, положение точки определяется ее радиус-вектором , проведенным из некоторого центра O . При этом, радиус-вектор является функцией от времени t .

Радиус-вектор – это вектор, проведенный от предварительно выбранного центра O к материальной точке M :
.
Годограф вектора – это линия, которую вычерчивает конец вектора при его изменении во времени. При этом начало вектора находится в определенной точке пространства и его положение не меняется со временем.

Таким образом, траектория точки является годографом ее радиус-вектора.

Координатный способ задания движения точки

При координатном способе задания движения точки, мы выбираем систему координат. Обычно это прямоугольная система, но можно выбрать любую другую: цилиндрическую, сферическую и т. п. Тогда положение точки в пространстве определяется тремя координатами. В прямоугольной системе, их обозначают, как правило, буквами x, y, z. Зависимости этих координат от времени определяют закон движения точки:
.

Если движение происходит в одной плоскости, то мы выбираем систему координат в этой плоскости. В результате получаем два уравнения движения:
.
Исключив из этих уравнений параметр t , можно определить траекторию движения в виде функции , или .

При прямолинейном движении, выбрав ось x системы координат вдоль линии движения, имеем одну зависимость . Эта зависимость называется законом прямолинейного движения точки.

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки

Пусть x, y, z – координаты точки в прямоугольной системе координат. Тогда
,
где – единичные векторы, проведенные в направлениях координатных осей;
– модуль вектора ;
– направляющие косинусы вектора . То есть это косинусы углов между вектором и осями координат.

Естественный способ задания движения точки

При естественном способе, система координат связана с траекторией движения точки. При этом мы считаем, что сама траектория нам известна. На этой траектории, мы выбираем положение неподвижного центра O . Тогда положение точки определяется длиной дуги s кривой, измеренной вдоль траектории от центра O до положения точки в момент времени t . Закон движения точки определяется как зависимость .

Дуговая координата s – это длина дуги траектории от некоторого неподвижного центра O до текущего положения точки. При этом в качестве центра O выбирается любая точка, принадлежащая траектории. Она является началом отсчета длины дуги s .

Переход от координатного способа к естественному выполняется по формулам:
;
.

Скорость точки

В прямоугольной системе координат, вектор скорости можно записать так:
.
Проекции скорости на оси координат (компоненты) равны производным координат по времени:
.
Модуль скорости: .
Направляющие косинусы: – это косинусы углов между вектором скорости и осями координат.

Равномерное движение точки – это движение, при котором модуль скорости остается постоянным.

Скорость при естественном способе задания движения

Вектор скорости направлен по касательной к траектории:
,
где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону увеличения длины дуги s .
Абсолютная величина скорости равна абсолютной величине производной длины дуги траектории по времени:
.
Если , то движение происходит в сторону увеличения дуговой координаты s . Если , то дуговая координата уменьшается.

Удобно ввести алгебраическую величину скорости . Она равна проекции скорости на направление единичного вектора :
.
Это скалярная величина. В отличии от модуля скорости, она может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Далее мы будем использовать следующие обозначения:
– это вектор скорости;
– его абсолютная величина;
– алгебраическая величина скорости – проекция скорости на направление вектора . При движение происходит в сторону увеличения дуговой координаты. При – в сторону уменьшения. Тогда
; .

Ускорение точки

Проекции ускорения на оси координат:
.
Модуль ускорения: .
Направляющие косинусы: .

Ускорение при естественном способе задания движения

При естественном способе задания движения, ускорение раскладывают на два взаимно перпендикулярных вектора: касательное (тангенциальное) к траектории, и нормальное (перпендикулярное) ускорение:
.
Модуль ускорения .

Касательное ускорение:
.
Здесь, как и для скорости, мы считаем, что – это скалярная величина, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда
.
Продифференцировав модуль скорости по времени, получим:
.
Отсюда следует, что абсолютное значение производной модуля скорости по времени равно модулю касательного ускорения. Если угол между направлениями векторов ускорения и скорости острый, , то происходит увеличение скорости – ускоренное движение. Если угол тупой , то происходит уменьшение скорости – замедленное движение.

Нормальное ускорение перпендикулярно касательной к траектории и всегда направлено к центру кривизны:
.
Здесь – единичный вектор в направлении главной нормали траектории.
Пусть ρ – радиус кривизны траектории. Тогда модуль нормального ускорения
.

Вектор полного ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости к траектории. Поэтому его проекция на бинормаль равна нулю:
.

Скорость и ускорение точки в полярной системе координат

В полярной системе координат , положение точки M определяется по формулам:
.
Пусть – единичные векторы (орты), проведенные из точки M в сторону увеличения r и φ , соответственно. Тогда вектор скорости выражается через них по формуле:
.
Модуль скорости: ,
где – радиальная скорость; – поперечная скорость.

Ускорение точки
.
Радиальное ускорение: . Поперечное ускорение: . Модуль ускорения: .

Классификация движений точки

1) Прямолинейное равномерное движение.
. В этом случае скорость точки постоянна. Движение происходит по прямой, параллельной вектору скорости.

2) Криволинейное равномерное движение.
. Скорость точки постоянна по абсолютной величине, но движение происходит не по прямой, а по кривой.

3) Прямолинейное неравномерное движение.
. Скорость точки изменяется по абсолютной величине, но траектория прямолинейна.

4) Криволинейное неравномерное движение.
. Скорость точки меняется как по абсолютной величине, так и по направлению. Если направления векторов и совпадают, то это ускоренное движение. В противном случае – замедленное.

5) Равнопеременное криволинейное движение.
. Это частный случай криволинейного неравномерного движения. Здесь касательное ускорение постоянно. Алгебраическая величина скорости меняется по линейному закону: . Длина дуги траектории – по квадратичному: .

Видео:Теоретическая механика 1 Основная задача механики Виды связейСкачать

Кинематика твердого тела

Общие теоремы

Расстояния между любыми двумя точками абсолютно твердого тела не меняется в процессе его движения. Эти связи приводят к дополнительным ограничениям на скорости движения точек. В результате получаются уравнения, связывающие скорости и ускорения точек. Такие уравнения носят название формул Эйлера.

Формулы Эйлера
Скорости и ускорения двух точек A и B твердого тела с радиус-векторами и связаны соотношениями:
(Т1) ;
(Т2) .
Здесь – некоторый аксиальный вектор, который называется угловой скоростью;
– вектор углового ускорения.
Доказательство.

Это фундаментальные уравнения. Точку A , при такой форме записи, называют полюсом. Тогда движение твердого тела можно рассматривать как поступательное движение полюса и вращательное движение относительно него.

Отметим еще одну теорему, которую часто применяют в расчетах.

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую
Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу:
.
Доказательство.

Далее приводится классификация видов движения тела и применение формул Эйлера в конкретных случаях.

Поступательное движение

При поступательном движении все точки тела имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения, их траектории конгруэнтны, а разность радиус-векторов любых двух точек равна вектору, который зависит от положений сравниваемых точек, но не зависит от времени.

При поступательном движении угловая скорость и угловое ускорение равны нулю:
. Тогда формулы Эйлера ⇑ принимают вид:
.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Определение

При вращении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Их траекториями являются окружности с центром на оси вращения. Положение тела определяется углом поворота φ относительно произвольным образом выбранного нулевого положения. Зависимость угла поворота от времени определяет закон вращательного движения или, что тоже самое, уравнение вращательного движения. Единицей измерения угла поворота является радиан, который считается безразмерной величиной.
180° = π радиан ⇒ 1 радиан = 180/π = 57,29578°.

Угловая скорость и ускорение

Вектор угловой скорости параллелен оси вращения. Его направление определяется правилом правого винта. Он не имеет точки приложения и применим ко всем точкам твердого тела, то есть ко всему телу в целом. Однако, для наглядности, вектор угловой скорости изображают на оси вращения.

Единицей измерения угловой скорости является 1 рад/с или, что тоже самое, 1/с = с –1 . В технике встречаются другие единицы измерения. Пусть n – число оборотов в минуту. Тогда 1 оборот = 2π радиан ; 1 минута = 60 с ; ;
n об/мин = n·2π/60 рад/с. Тогда
.

Угловое ускорение – это производная угловой скорости по времени:
.
Единицей измерения углового ускорения является рад/с 2 или, что тоже самое, с –2 .

Вектор углового ускорения также параллелен оси вращения. При ускоренном вращении он совпадает с направлением угловой скорости. При замедленном – имеет противоположное направление.

Частные случаи вращения тела

Равномерное вращение. Угловая скорость постоянна; угловое ускорение равно нулю: .
Равнопеременное вращение. Угловая скорость линейно меняется со временем; угловое ускорение постоянно: .

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Скорости точек любого твердого тела связаны формулой Эйлера ⇑. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в качестве полюса удобно выбрать любую точку на оси вращения. Тогда скорость точки с радиус-вектором тела, вращающегося с угловой скоростью , определяются по формуле:
.
Здесь – радиус-вектор произвольной точки на оси вращения. Если ось вращения проходит через начало координат, то в качестве можно выбрать точку начала координат . Тогда
.
По правилам векторного произведения,
.
Здесь |CM| – расстояние от точки M до оси вращения (см. рисунок ⇓). Точка M движется по окружности радиуса |CM|. Вектор скорости направлен по касательной к этой окружности в сторону, которая задается направлением вектора угловой скорости.

При вычислении векторного произведения, полезно использовать следующие формулы:

.
Здесь – проекции угловой скорости на оси координат. Таким образом, проекции вектора скорости точки определяются так:
.
Если ось вращения совпадает с осью z, то , .

Скорость и ускорение точек твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси Oz .

Ускорение точки определяется по формуле:
.

Вращательное ускорение:
;
.
Оно направлено по касательной к траектории и связано с изменением скорости точки по абсолютной величине.

Центростремительное (осестремительное) ускорение:

.
Оно направлено по главной нормали – к центру окружности и по абсолютной величине равно
,
где R – расстояние до оси вращения.

Модуль полного ускорения:
.
Угол β между векторами полного и центростремительного ускорений:
.

Плоское движение твердого тела

При плоском движении, все кинематические величины (перемещения, скорости и т.д.) имеют одинаковые значения для всех плоскостей, параллельных плоскости движения. Поэтому для описания плоского движения, нам достаточно рассмотреть движение любого сечения тела, или как говорят, плоской фигуры. Все результаты, полученные для одной плоской фигуры применимы и для других сечений, параллельных плоскости движения. Хотя плоская фигура имеет свои контуры и характерные точки, но мы считаем, что она не ограничена в размерах, поскольку ее размер может зависеть от выбора сечения. Кроме этого имеются некоторые точки, например мгновенный центр скоростей, которые служат только для проведения расчетов и могут находиться за пределами тела.

Для описания плоского движения, мы выбираем плоскую фигуру; проводим в ней двумерную систему координат x, y. Далее, произвольным образом выбираем точку A . Эту точку мы будем называть полюсом. Тогда положение тела однозначно определяется координатами точки A и углом поворота φ , относительно, произвольным образом выбранного направления, например оси x . При этом движение тела определяется тремя уравнениями, которые называют уравнениями плоского (или плоскопараллельного) движения тела:
.

Эти уравнения также называют уравнениями движения плоской фигуры. При таком описании, движение тела слагается из поступательного движения полюса A , и вращательного движения вокруг него. Поступательное движение зависит от выбора полюса, а угол поворота φ – нет.

Определение скоростей

Скорость точки B с радиус-вектором определяется по формуле Эйлера ⇑:
(П1) .
То есть скорость точки B тела равна векторной сумме скорости полюса A и относительной скорости . Относительное движение является вращением с угловой скоростью относительно оси, проходящей через полюс A перпендикулярно плоскости фигуры. Поскольку вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости движения, то он перпендикулярен и вектору скорости. Тогда модуль относительной скорости равен произведению угловой скорости на расстояние от точки до полюса:
.

Мгновенный центр скоростей

Определения и свойства

Далее мы будем обозначать мгновенный центр скоростей буквой P . Для плоской фигуры – это точка. Для твердого тела – это ось, проходящая через точку P перпендикулярно плоскости движения. Эта ось может находиться за пределами тела.

Если плоская фигура движется непоступательно, то мгновенный центр скоростей всегда существует. Для поступательного движения, МЦС находится на бесконечности.

Приняв МЦС P в качестве полюса, получим значение вектора скорости произвольной точки B :
.
Поскольку движение плоское, то . Тогда модуль скорости точки B плоской фигуры равен произведению угловой скорости на расстояние до мгновенного центра скоростей:
.
Вектор скорости перпендикулярен отрезку, соединяющим точку с МЦС и направлен в сторону вращения плоской фигуры.

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС:
(Ц1) .

Модуль угловой скорости плоской фигуры равен отношению модуля скорости произвольной точки к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей:
.

Теорема Шаля
Плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра, который называют центром вращений, или осью вращений.

Мгновенный центр вращений – это центр вращений, определяемый согласно теореме Шаля, при бесконечно малом перемещении фигуры.

Если рассматривать перемещение плоской фигуры со временем, то мгновенный центр вращений совпадает с мгновенным центром скоростей.

Неподвижная центроида – это геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на неподвижной плоскости.
Подвижная центроида – это геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на плоской фигуре.

Например, если колесо катится без проскальзывания по неподвижной прямой, то неподвижной центроидой является прямая, а подвижной – обод колеса.

Теорема Пуансо
При движении плоской фигуры, подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде.

Определение положения МЦС

1) Если скорости и точек A и B не параллельны, то МЦС есть точка пересечения прямых, проведенных через эти точки, перпендикулярно векторам их скоростей.
2) Если векторы и не равны, параллельны и перпендикулярны прямой AB , то для определения МЦС необходимо знать модули и направления скоростей, и применить формулу (Ц1).
3) Если векторы и равны, то МЦС находится на бесконечности, .
4) Если тело катится без скольжения по неподвижной поверхности, то МЦС находится в точке соприкосновения тела и поверхности.

Определение ускорений

Дифференцируя уравнение Эйлера (П1) по времени, получаем ускорение точки B :
(П1) ;

.

Итак мы нашли ускорение произвольной точки B плоской фигуры. Этот результат можно представить в следующем виде:
.
То есть ускорение произвольной точки B плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорению этой точки относительно полюса , которое определяется по формулам вращательного движения относительно неподвижного центра A . То есть равно геометрической сумме вращательного и центростремительного ускорений:
.

Вращательное ускорение относительно полюса перпендикулярно отрезку AB , соединяющим точку с полюсом. Центростремительное относительное ускорение направлено от точки B к A . Поскольку угловое ускорение также перпендикулярно AB , то
.

Мгновенный центр ускорений

Чтобы построить точку Q нужно выполнить следующие действия.
1) Из полюса A построить вектор ускорения .
2) Из полюса A провести луч AQ под углом к вектору ускорения полюса так, чтобы направление поворота от к AQ совпадало с направлением углового ускорения ε .
3) На луче AQ построить точку Q на расстоянии от точки A .

Приняв точку Q в качестве полюса, получим ускорение произвольной точки B твердого тела:
,
где – единичный вектор касательной к окружности радиуса QB ; – единичный вектор, направленный от B к Q .

Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений:
.
Векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и мгновенный центр ускорений один и тот же угол
.
Мгновенный центр скоростей P и мгновенный центр ускорений Q являются различными точками плоской фигуры.

Сферическое движение твердого тела

При сферическом движении, точки тела движутся по сферическим поверхностям. Положение тела часто определяют с помощью трех углов ψ, θ, φ , которые называются углами Эйлера. Для этого вводят две системы координат – неподвижную , и подвижную Oxyz , связанную с телом. Связь между ними осуществляется следующим образом.
1) Поворачиваем неподвижную систему координат на угол ψ вокруг оси . Получаем систему .
2) Поворачиваем систему координат на угол θ вокруг оси ON . Получаем систему ONK′z .
3) Поворачиваем систему координат ONK′z на угол φ вокруг оси Oz . Получаем систему координат Oxyz , связанную с телом.
Ось ON называется линией узлов; ψ – угол прецессии; θ – угол нутации; φ – угол собственного вращения. При движении тела, эти углы являются функциями от времени:
.

Теорема Эйлера – Даламбера
Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

Следствие теоремы Эйлера – Даламбера
При сферическом движении твердого тела существует ось, на которой скорости точек равны нулю. Такая ось называется мгновенной осью вращения.

Угловое ускорение ε является касательной к годографу abc угловой скорости. P₁, P₂ – мгновенные оси вращения.

Угловая скорость тела параллельна мгновенной оси вращения. Для удобства ее вектор откладывают из неподвижной точки. При движении, угловая скорость изменяется как по абсолютной величине, так и по направлению. Конец вектора описывает годограф вектора угловой скорости.

Угловое ускорение – это скорость изменения угловой скорости:
.
Оно направлено по касательной к годографу вектора угловой скорости. При сферическом движении, в отличии от случаев вращения вокруг неподвижной оси и плоского движения, направление вектора углового ускорения может не совпадать с направлением вектора угловой скорости.

Скорости точек тела определяются по формуле Эйлера ⇑. В качестве полюса возьмем неподвижную точку O . Тогда для скорости произвольной точки с радиус-вектором имеем: . Если начало координат выбрать в точке O , то , тогда
.
Модуль скорости определяется по формуле:
,
где α – угол между векторами и ; h – расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Ускорение при сферическом движении твердого тела.

Ускорение точки определяется по формуле:
.
Вращательное ускорение направлено перпендикулярно плоскости, образованной векторами углового ускорения и радиус-вектором . Оно имеет модуль , где β – угол между векторами и ; – расстояние от точки до оси E, проведенной из неподвижного центра O параллельно вектору углового ускорения.

Центростремительное (осестремительное) ускорение направлено к мгновенной оси вращения P и перпендикулярно ей. По модулю оно равно .

Свободное движение твердого тела

Это самый общий случай движения твердого тела. Свободное тело имеет шесть степеней свободы. Для описания его движения, выберем произвольную точку A тела в качестве полюса. Далее вводим две системы координат – неподвижную OXYZ, и подвижную систему , начало которой в каждый момент времени совпадает с точкой A, а оси параллельны осям неподвижной системы OXYZ. Таким образом, система совершает поступательное движение относительно OXYZ. Тогда свободное движение твердого тела можно рассматривать как сложное движение, состоящее из поступательного движения по закону движения полюса A, и сферического движения в системе координат , с неподвижной точкой A.

Уравнения движения свободного твердого тела представляют собой шесть равенств:
.
Здесь ψ, θ, ϕ – углы Эйлера. Первые три уравнения определяют поступательную часть движения и зависят от выбора полюса. Последние три уравнения определяют сферическое движение, и от выбора полюса не зависят.

Скорость любой точки B тела равна векторной сумме скорости полюса и скорости этой точки при ее сферическом движении относительно полюса:
,
где – радиус-вектор, проведенный из точки A в точку B.

Ускорение точки свободного твердого тела равно векторной сумме ускорения полюса, центростремительного (осестремительного) ускорения точки и ее вращательного ускорения относительно полюса:
.

Видео:Решение задачи по теоретической механике, тема "Равновесие системы тел".Скачать

Сложное движение точки

Для описания сложного движения, мы выбираем неподвижную (основную) систему координат и подвижную . Будем считать, что подвижная система связана с некоторым движущимся твердым телом, относительно которого, в свою очередь движется точка. Например, человек, идущий в движущемся вагоне. Здесь неподвижная система координат – это система, связанная с рельсами и ландшафтом. Твердое тело – вагон. Точка – человек. Подвижная система координат – система, связанная с вагоном. Абсолютное движение – движение человека относительно рельс; относительное движение – движение человека относительно вагона; переносное движение – движение вагона относительно рельс.

Абсолютная скорость (ускорение) точки – это скорость (ускорение) точки в неподвижной системе координат.
Переносная скорость (ускорение) точки – это скорость (ускорение) той точки подвижной системы координат, в которой, в данный момент времени, находится точка, совершающая сложное движение.
Относительная скорость (ускорение) точки – это скорость (ускорение) точки относительно подвижной системы координат.

Теорема о сложении скоростей
При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей:
.
Модуль абсолютной скорости: .
Эту теорему также называют правилом параллелограмма или треугольника скоростей.

Теорема Кориолиса о сложении ускорений
При составном движении, абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного , относительного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение); – угловая скорость вращения подвижной системы координат.

Кориолисово ускорение также называют поворотным ускорением. Оно характеризует изменение направления относительной скорости точки, вызванное вращением подвижной системы координат. Если переносное движение является поступательным, то , кориолисово ускорение равно нулю.

Видео:Сложное движение точки #1Скачать

Сложное движение твердого тела

Теперь рассмотрим сложное движение твердого тела – то есть такое движение, при котором твердое тело движется относительно некоторой системы координат , которая, в свою очередь движется относительно неподвижной системы координат . Такое движение часто называют сложением движений. Пусть A – произвольная точка тела, которую мы выберем в качестве полюса. Тогда скорость произвольной точки B тела относительно подвижной системы координат определяется по формуле:
.
В свою очередь, подвижную систему координат также можно рассматривать как твердое тело. Тогда скорость точки B при переносном движении:
.
Применяя теорему о сложении скоростей, найдем скорость точки B относительно неподвижной системы отсчета:
.
Отсюда следует, что скорость полюса относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скоростей полюса при переносном и относительном движениях:
.
Угловая скорость равна векторной сумме угловых скоростей:
.

Рассмотрим частные случаи сложного движения твердого тела.

Сложение двух поступательных движений

При сложении двух поступательных движений, . Тогда . Результирующее движение также является поступательным. Скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений:
.

Сложение вращательных движений вокруг пересекающихся осей

При сложении двух вращательных движений вокруг пересекающихся осей, результирующее движение также является вращательным. При этом ось вращения проходит через точку пересечения осей параллельно вектору абсолютной угловой скорости:
.
Если оси вращения изменяются со временем, то все сказанное выше имеет место для мгновенных осей вращения.

Аналогично предыдущему, при сложении нескольких вращательных движений вокруг пересекающихся осей, результирующее движение также является вращательным. Ось результирующего вращения проходит через точку пересечения осей параллельно вектору абсолютной угловой скорости:
.

Сферическое движение

Как было указано ранее, при сферическом движении, положение тела можно задать с помощью углов Эйлера. Они определяются последовательными переходами от неподвижной системы координат к системе координат , связанной с телом: . Такие переходы можно рассматривать как сложное движение, состоящее из серии вращений ⇑. При этом каждая последующая система координат является повернутой относительно предыдущей на соответствующий угол: ψ, θ, φ , изменяющиеся со временем. Дифференцируя эти углы по времени, получаем угловые скорости вращений систем координат, которые имеют следующие названия:
– угловая скорость прецессии; – угловая скорость нутации; – угловая скорость собственного вращения.

Связь угловых скоростей с углами Эйлера.

Векторы этих угловых скоростей направлены, соответственно, вдоль осей . Тогда вектор угловой скорости тела относительно неподвижной системы координат равен сумме угловых скоростей:
.
Его модуль:
.
Проекции вектора угловой скорости на оси подвижной системы координат Oxyz определяются с помощью кинематических уравнений Эйлера, которые имеют следующий вид:
;
;
.

Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей

Направления вращений совпадают

Если направления вращений совпадают, то угловая скорость, при абсолютном движении, равна сумме модулей угловых скоростей переносного и относительного движений: . Направление вектора совпадает с направлениями векторов и . Движение является плоскопараллельным. Мгновенная ось вращений проходит через точку C (см. рисунок), находящуюся между осями вращений. При этом
;
.

Вращения противоположны

В этом случае, угловая скорость, при абсолютном движении, равна модулю разности абсолютных значений угловых скоростей: , а направление совпадает с направлением наибольшей по абсолютной величине угловой скорости. Движение также является плоскопараллельным. Мгновенная ось вращений проходит через точку C (см. рисунок) так, что ось с наибольшей угловой скоростью оказывается между остальными осями. При этом
;
.

Пара вращений

Пара вращений – это такое сложное движение твердого тела, при котором угловые скорости противоположны по направлению и равны их абсолютные значения: . В этом случае тело совершает поступательное (или мгновенное поступательное движение). Скорости всех точек тела равны . Мгновенная ось вращения находится на бесконечности. Примером такого движения является движение педалей велосипеда относительно рамы.

Сложение поступательного и вращательного движений

Поступательное движение перпендикулярно оси вращения

Если скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения, то это плоскопараллельное движение. Оно имеет мгновенную ось вращения, находящуюся на расстоянии от оси и удаленную от нее в сторону, перпендикулярно вектору .

Винтовое движение

Если скорости и постоянны, то шаг винта также постоянен и определяется по формуле: . При постоянных скоростях и , траекторией любой точки, не лежащей на оси винта, является винтовая линия. При этом скорость точки направлена по касательной к винтовой линии и имеет абсолютное значение , где r – расстояние до оси вращения; – скорость вращательного движения, перпендикулярная оси винта.

Поступательное движение под произвольным углом к оси вращения

Здесь скорость поступательного движения можно разложить на две составляющие – параллельную и перпендикулярную оси вращения . Рассматривая движение в плоскости, перпендикулярной оси вращения, мы можем найти мгновенный центр скоростей P . Он находится на расстоянии от оси . Прибавив сюда скорость , получим винтовое движение с осью . Если скорости меняются со временем, то ось будет мгновенной винтовой осью, а все движение можно рассматривать как состоящее из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей. Такое движение называется мгновенно–винтовым движением.

Использованная литература:
А. А. Яблонский, В.М. Никифорова. Курс теоретической механики, часть 1, статика, кинематика. Москва, «Высшая школа», 1966.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 17-08-2015 Изменено: 29-01-2020

Видео:Лекция №1 "Кинематика материальной точки" (Булыгин В.С.)Скачать

Тема 1.1. Основные понятия и аксиомы статики

§1. Элементы векторной алгебры

В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.

1. Понятие вектора.

Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами. Вектора можно складывать и умножать на число.

— сумма двух векторов есть вектор

α∙ — произведение вектора на действительное число есть вектор

— существует нулевой вектор

Рис.1. Сложение векторов

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.

В сумме двух векторов (рис.1,а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис.1,б) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются следующим законам (см. рис.2):

Рис.2. Операции над векторами

2. Проекцией вектора на ось

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис.3).

Рис.3. Проекция вектора на ось

§2. Основные понятия статики

Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучается условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Твердое тело. В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не де­формируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано. Материальной точкой будет называться абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь.

Под равновесием будем понимать состояния покоя тела по отношению к другим материальным телам.

1. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах (Н), килоньютонах (кН). Сила является величиной векторной.

Ее действие на тело опре­деляется:

1) численной величиной или модулем силы

2) направле­нием силы

3) точкой приложения силы (рис.4).

Рис.4. Сила, приложенная к телу

Например, будем прикладывать к стулу одну и ту же по модулю силу F. При приложении силы сверху вниз стул остается в состоянии покоя; при положении силы снизу вверх — стул поднимается; изменим направление нагружения, приложим силу горизонтально к спинке стула — стул опрокинется. Так как во всех случаях направление и место приложения силы различны, то и результат действия силы на стул разный, несмотря на то, что модуль силы F во всех случаях одинаков.

Силу, как и другие векторные величины, изображают в виде направленного отрезка со стрелкой на конце, указывающей его направление.

Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Понятия «линия действия» и «направление» близки, но не тождественны. Очевидно, что по линии действия можно определить направление с точностью до противоположного. Аналогично связаны понятия «модуль» и «величина» для вектора.

В тексте вектор силы обозначается ла­тинскими буквами и др., с черточками над ними. Если черточки нет, значит у силы известна только ее чис­ленная величина — модуль.

2. Совокупность сил, действующих на какое-нибудь твердое тело, будем называть системой сил. Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перене­сти по линии действия в любую точку тела (конечно – твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.

3. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, на­зывается свободным.

4. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состоя­ния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Например, если системы сил, изображенных на рис. 5, а и рис. 5, б, уравновешены, то эти две системы сил будут эквивалентны друг другу.

Рис 5. Система сил:

а – заданная система сил; б – эквивалентная система сил

5. Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешенной или экви­валентной нулю.

6. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая — это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело. Так как система сил F₁ и F₂ эквивалентна одной силе R (рис. 5, б), то сила R называется равнодействующей данной системы сил. Силы F₁ и F₂ в свою очередь могут называться составляющими силы R.

7. Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противополож­ная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, назы­вается уравновешивающей силой.

8. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

9. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной.

Силы, действующие на все точки дан­ного объема или данной части поверхности тела, называются распре­деленными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, пред­ставляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равно­действующую сил тяжести его частиц. Линия действия этой равно­действующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.

§3. Аксиомы статики

Все теоремы и уравнения статики выво­дятся из нескольких исходных положений, принимаемых без матема­тических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F₁ = F₂) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 6).

Рис.6. Система сил, находящаяся в равновесии

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равнове­сии не может.

Аксиома 2. Действие данной си­стемы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравнове­шенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсо­лютно твердое тело не изменится, если перенести точку при­ложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Рис.7. Система сил

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис.7). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы

и , такие, что , . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и со­гласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В резуль­тате на тело. Будет действовать только одна сила

, равная , но приложен­ная в точке В.

Таким образом, вектор, изобра­жающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю па­раллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.8), называется геометрической суммой векторов и : .

Рис.8. Равнодействующая двух сил

Величина равнодействующей . Если векторы сил окажутся перпендикулярными, то

Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействую­щую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и прило­женную в той же точке.

Аксиома 4 (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но проти­воположное по направлению противодействие.

Закон о равенстве действия и противодей­ствия является одним из основных законов ме­ханики. Из него следует, что если тело А дей­ствует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой

(рис. 9). Однако силы и не образуют урав­новешенной системы сил, так как они приложены к разным телам. Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме 4 рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме 2.

Рис.9. Противодействие

Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 10 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами D_A и D_B, приложенными к стенам, а силы противодействия — силами R_A и R_B, приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями.

Рис. 10. Опирание балки на опоры:

а – схема загружения балки; б – силы действия балки на

опоры и противодействия со стороны опор на балку

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изме­няемого (деформируемого) тела, находящегося под действием дан­ной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сва­ренными друг с другом и т. д.

Аксиома 6 (аксиома связей). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме в следующем параграфе).

Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.

Видео-урок «Аксиомы статики»

§4. Связи и их реакции

По определению, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положе­ния любые перемещения в пространстве, называется свободным (например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью.

Например, тело лежащее на столе – несвободное тело. Связью его является плоскость стола, которая препятствует перемещению тела вниз.

Очень важен так называемый принцип освобождаемости, которым будем пользоваться в дальнейшем. Записывается он так:

Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи.

Так у тела, лежащего на столе, связь – стол. Тело несвободное. Сделаем его свободным – стол уберем, а чтобы тело осталось в равнове­сии, заменим стол силой, направленной вверх и равной, конечно, весу тела.

Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Когда связь одновременно препятствует перемещениям тела по нескольким направлениям, направление реакции связи также наперед неизвестно и должно определяться в результате решения рассматриваемой задачи.

Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п.), который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями. Реакции связей носят вторичное происхождение, они возникают как противодействие другим силам.

Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами. Термин «заданные силы» имеет глубокий смысл. Заданные силы чаще всего являются активными, т.е. силами, которые могут вызвать движение тел, например: сила тяжести, снеговая или ветровые нагрузки и т.п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей.

Одна из главных задач статики твердого тела — нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи.

Для определения направления реакции необходимо установить особенности взаимодействия твердого тела со связями различного вида. Следует иметь в виду, что реакция всегда направлена противоположно направлению возможного перемещения тела при удалении связи.

Рассмотрим, как направлены реакции некоторых основных видов связей:

1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпен­дикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис.11, а). Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям сопри­касающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 11, б), то реакция направлена по нормали к другой поверх­ности.

🔍 Видео

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Теоретическая механика термех Статика Нахождение реакции связей часть 1Скачать

Аналитическая механика 1. Аксиоматика ТМ. Кинематика точки. Криволинейные координаты.Скачать