Уравнение прямой проходящей через вершину параболы параллельно прямой (2 видео)

Задача 41920 1. Дан треугольник АВС, в котором.

Содержание

Условие
Решение
Уравнение прямой проходящей через вершину параболы параллельно прямой
Кривые второго порядка на плоскости
📺 Видео

Условие

1. Дан треугольник АВС, в котором А(6;2), В (2;-3), С (-3;5). Составить уравнение медианы, проведённой из вершины А.

2. Дан эллипс x^2/49 + y^2/24 = 1. Найти эксцентриситет эллипса и его фокусы.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через фокус параболы у^2 = 4х перпендикулярно к прямой х-3у+1=0

Решение

Уравнение AМ, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]frac<x_-x_>=frac<y_-y_>[/m]

Умножаем обе части на (-13):

[b]2х-13у+14=0[/b] — уравнение медианы AМ

2.
Каноническое уравнение эллипса
[m]frac+frac=1[/m]

Эксцентриситет
ε =с/а=5/7

3.
Каноническое уравнение параболы:
y^2=2px
F(p/2;0)

y^2=4x ⇒ 2p=4 ⇒ [b]p=2[/b]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых
k_(1)*k_(2)=-1

x-3y+1=0 запишем в виде y=[m]fracx+frac[/m]

Общий вид прямых перпендикулярных прямой x-3y+1=0

Прямая проходит через фокус параболы, т.е через точку F(1;0)

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение прямой проходящей через вершину параболы параллельно прямой

уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:

Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k _BC =2/3. Из условия перпендикулярности k _AD =-1/ k _BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

Точка Е (1 /2,2).

5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k _BC =2/3, k _AB =-2/3.

6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

AB : 2 x + 3 y = 7 ,

BC : 2 x — 3 y =- 11 ,

Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

2 x — 3 y =- 2-6=-8>-11,

Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .

Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8; ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. . Так, как = 1,25, то = 1,25, но , тогда = 1,5625 или .

Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .

Решая эту систему, находим = 16 и = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и центр окружности .

Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

Уравнение параболы: ;

уравнение окружности: .

Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).

Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

Получим , или .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Кривые второго порядка на плоскости

Уравнение вида Ах 2 +2Вху+Су 2 +2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

№ п/п

Определение кривой

Вид уравнения

Примечание

Уравнение прямой проходящей через вершину параболы параллельно прямой

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)

— каноническое уравнение эллипса

2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное расстояние с 2 =а 2 -b 2 ;

— эксцентриси-тет, 0 2 =а 2 +b 2 ;

— эксцентри-ситет, e>1. Точки А₁,А₂ – вершины гиперболы. Прямые

— асимптоты

Парабола — множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой.

Рис.6б 6б 31

х 2 =2py

у 2 =2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x 2 =2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б)

— фокус,

ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а) F

— фокус,

ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)

1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х 2 +100у 2 =3600.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

36х 2 +100у 2 =3600, поделим обе части уравнения на 3600:

, a 2 =100, b 2 =36.

С= .

Эксцентриситет: .

Ответ: F_л(-8,0); F_п(8,0); =0,8.

2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х 2 +25у 2 =400 и точку М₀(1;-3) (рис.7).

Решение:

-4

-5

М₀

Рис. 7

Приведем уравнение 16х 2 +25у 2 =400 к каноническому виду.

, a 2 =25, b 2 =16.

Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М₀ и М:

Ответ: .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х 2 -16у 2 =144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).

-3

-4

F_П

Рис.8

Приведем уравнение 9х 2 -16у 2 =144 к каноническому виду , a 2 =16, b 2 =9.

Правый фокус гиперболы F_п(с,0);

С= .

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k₂x+b₂;

Значит, y=(3/2)x+b₂ проходит через точку F_п(5,0), то 0=(3/2)5+b₂Þb₂=-15/2. Итак, Û3x-2у-15=0.

Искомая прямая проходит через точку F_л(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х₀)+В(у-у₀)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.

4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х 2 +20у 2 =80, перпендикулярно прямой 2х—у+1=0 (рис.9).

-2

Рис. 9

Приведем уравнение к каноническому виду 4х 2 +20у 2 =80,

, a 2 =20, b 2 =4.

Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).

Условие перпендикулярности двух прямых: k₁k₃=-1.

k₂=-1: k₁Þk₂=-1/2,

Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то .

Итак, Þх+2у+4=0.

По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х—у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀,у₀) параллельно вектору , получим:

. У нас ; ;

5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.

Правый фокус эллипса имеет вид F_п(с,0);

С= .

Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;

Так как прямая проходит через точку F_п(3,0), то 0=3+bÞb=-3.

Плоскость в пространстве

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0	(x₀,y₀,z₀) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора	Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0	D=-Ax₀-By₀-Cz₀, АВС – нормальный вектор плоскости;	Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными
№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
х₀,y₀,z₀ – координаты данной точки	преобразованиями
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки	М₁(х₁,y₁,z₁), М₂(х₂,y₂,z₂), М₃(х₃,y₃,z₃) – три точки, заданные своими координатами	Точки М₁, М₂, М₃ не должны лежать на одной прямой
Уравнение плоскости в отрезках на осях	а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат	аbc≠0