Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Задача 41920 1. Дан треугольник АВС, в котором.
Условие
1. Дан треугольник АВС, в котором А(6;2), В (2;-3), С (-3;5). Составить уравнение медианы, проведённой из вершины А.
2. Дан эллипс x^2/49 + y^2/24 = 1. Найти эксцентриситет эллипса и его фокусы.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через фокус параболы у^2 = 4х перпендикулярно к прямой х-3у+1=0
Решение
Уравнение AМ, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]frac<x_-x_>=frac<y_-y_>[/m]
Умножаем обе части на (-13):
[b]2х-13у+14=0[/b] — уравнение медианы AМ
2.
Каноническое уравнение эллипса
[m]frac+frac=1[/m]
Эксцентриситет
ε =с/а=5/7
3.
Каноническое уравнение параболы:
y^2=2px
F(p/2;0)
y^2=4x ⇒ 2p=4 ⇒ [b]p=2[/b]
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых
k_(1)*k_(2)=-1
x-3y+1=0 запишем в виде y=[m]fracx+frac[/m]
Общий вид прямых перпендикулярных прямой x-3y+1=0
Прямая проходит через фокус параболы, т.е через точку F(1;0)
Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать
Уравнение прямой проходящей через вершину параболы параллельно прямой
уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Y
1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
.
Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:
.
2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:
.
Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.
.
3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k BC =2/3. Из условия перпендикулярности k AD =-1/ k BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
.
4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.
Точка Е (1 /2,2).
5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k BC =2/3, k AB =-2/3.
6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде
AB : 2 x + 3 y = 7 ,
BC : 2 x — 3 y =- 11 ,
Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.
2 x — 3 y =- 2-6=-8>-11,
Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид
Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку 
.
Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид 
. Так как гипербола проходит через точку А (8; 
), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. 
. Так, как 
= 1,25, то 
= 1,25, но 
, тогда 
= 1,5625 
или 
.
Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .
Решая эту систему, находим = 16 и 
= 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид 
.
Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы 
и центр окружности 
.
Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.
Уравнение параболы: 
;
уравнение окружности: 
.
Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).
Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле
.
Получим 
, или 
.
Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Кривые второго порядка на плоскости
Уравнение вида Ах 2 +2Вху+Су 2 +2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.
| № п/п | Определение кривой | Вид уравнения | Примечание | |||||
 Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4) |  — каноническое уравнение эллипса | 2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное расстояние с 2 =а 2 -b 2 ;  — эксцентриси-тет, 0 2 =а 2 +b 2 ; — эксцентри-ситет, e>1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые  — асимптоты | ||||||
| 3. | Парабола — множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой.
| у 2 =2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x 2 =2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б) | F  — фокус,  ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а) F  — фокус,  ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б) |
1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х 2 +100у 2 =3600.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
36х 2 +100у 2 =3600, поделим обе части уравнения на 3600:
, a 2 =100, b 2 =36.
С= 
.
Эксцентриситет: 
.
Ответ: Fл(-8,0); Fп(8,0); 
=0,8.
2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х 2 +25у 2 =400 и точку М0(1;-3) (рис.7).
| у |
Решение:
| -4 |
| -5 |
| М |
| х |
| М0 |
| Рис. 7 |
Приведем уравнение 16х 2 +25у 2 =400 к каноническому виду.
, a 2 =25, b 2 =16.
Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М:
.
Ответ: 
.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х 2 -16у 2 =144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).
| -3 |
| -4 |
| FП |
 |
| х |
| у |
| Рис.8 |
Приведем уравнение 9х 2 -16у 2 =144 к каноническому виду 
, a 2 =16, b 2 =9.
Правый фокус гиперболы Fп(с,0);
С= 
.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k2x+b2;
Значит, y=(3/2)x+b2 проходит через точку Fп(5,0), то 0=(3/2)5+b2Þb2=-15/2. Итак, 
Û3x-2у-15=0.
Искомая прямая проходит через точку Fл(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали 
, который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х0)+В(у-у0)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.
4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х 2 +20у 2 =80, перпендикулярно прямой 2х—у+1=0 (рис.9).
| М |
 |
| -2 |
| y |
 |
| l |
| х |
 |
| Рис. 9 |
Приведем уравнение к каноническому виду 4х 2 +20у 2 =80,
, a 2 =20, b 2 =4.
Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).
Условие перпендикулярности двух прямых: k1k3=-1.
k2=-1: k1Þk2=-1/2, 
Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то 
.
Итак, 
Þх+2у+4=0.
По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х—у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали 
. Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0,у0) параллельно вектору 
, получим:
. У нас 
; 
;
5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса 
под углом 45˚ к оси Ох.
Правый фокус эллипса имеет вид Fп(с,0);
С= 
.
Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;
Так как прямая проходит через точку Fп(3,0), то 0=3+bÞb=-3.
Плоскость в пространстве
Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.
Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
| Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 | (x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора | Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости | |
| Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 | D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости; | Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными | |
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
| х0,y0,z0 – координаты данной точки | преобразованиями | ||
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  | М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами | Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой | |
Уравнение плоскости в отрезках на осях  | а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат | аbc≠0 |
Пусть даны две плоскости a1 и a2:
Угол между двумя плоскостями определяется как 
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
=0, то есть 
=0.
Условие параллельности двух плоскостей:
или 
.
Расстояние от точки до плоскости:
,
🔍 Видео
Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать
Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать
ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать
Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать
Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Уравнение прямой на плоскости. Решение задачСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать
Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать
213. Фокус и директриса параболы.Скачать
11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать
