Вектор равный вектору ob это вектор и его длина равна

Видео:Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Определение вектора

рис. 1

Видео:Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Коллинеарные вектора

рис. 2

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Сонаправленные вектора

рис. 3

Видео:Равенство векторов. 9 класс.Скачать

Противоположно направленные вектора

рис. 4

Видео:8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

Компланарные вектора

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Равные вектора

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Видео:Как выразить вектор через данные векторы параллелограмма. Векторы на плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

Понятие вектора. Коллинеарные и равные векторы.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

При первом знакомстве с геометрией мы выясняли, какие геометрические фигуры являются простейшими. К ним относились: точка, прямая и отрезок. Отрезок, как нам уже известно, это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки мы называли концами отрезка. Отрезки обозначаются двумя заглавными латинскими буквами, причём не важно, какой из двух концов мы называем первым.

Рассмотрим такую ситуацию. Я купила в магазине муку и, поместив её в пакет, отправилась по прямой к остановке автобуса. По случайному стечению обстоятельств упаковка с мукой оказалась надорвана и пакет имел дырку. В результате весь мой путь от магазина до остановки был прочерчен просыпавшейся мукой. Получился такой белый отрезок. Но это ведь не простой отрезок, поскольку я шла только в одну сторону! Этот отрезок имел направление: от магазина до остановки. Вот такие направленные отрезки и называются векторами.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, построенный по двум точкам, одна из которых считается началом, а другая – концом.

На рисунке представлен вектор с началом в точке и концом в точке . Обозначается он так: . Его уже нельзя обозначить , поскольку точка перемещается в точку , а не наоборот. Также, вектор можно обозначать одной маленькой буквой со стрелкой над ней , тогда на рисунке она располагается между началом и концом вектора.

Вектор, также как и отрезок, имеет длину.

Определение. Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Другими словами, это длина отрезка, составляющего данный вектор.

Обозначается длина вектора так: или . О нахождении длины вектора поговорим позже.

Если конец вектора совпадает с его началом, то вектор называется нулевым, т.е. его длина равна нулю. Обозначается нулевой вектор так: или .

Отметьте три точки . Сколько векторов с началом и концом в этих точках можно провести? Проиллюстрируйте свой ответ.

Проведите векторы . Какая геометрическая фигура у вас получилась?

Проведите вектор . Что вы можете сказать о длине этого вектора?

На прямой отметьте два вектора с длинами 3 см и 1 см. Какие возможны варианты их расположения?

Начертите прямоугольник, проведите его диагонали. Отметьте все возможные векторы с началом и концом в видимых точках прямоугольника. Запишите их.

Начертите две параллельные прямые и . На прямой отложите вектор , а на прямой – вектор . Какие возможны варианты? Что вы можете сказать об этих векторах?

Рассмотрим теперь задание 6 из предыдущей темы. На двух параллельных прямых должны быть расположены два вектора. Рассмотрим варианты.

. Мы расположили эти векторы так, что они направлены в одну сторону. Такие векторы называются сонаправленными.

. Эти векторы мы расположили так, что они направлены в разные стороны. Такие векторы называются противоположно направленными.

Сонаправленные и противоположно направленные векторы составляют множество векторов, которое называется коллинеарными векторами.

Определение. Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала (направленные в одну сторону). Обозначаются так: или .

Определение. Противоположно направленными называются коллинеарные векторы, если их концы находятся по разные стороны от прямой, проходящей через их начала (направленные в разные стороны). Обозначаются так: или .

В рассмотренных случаях мы заметили, что коллинеарные векторы имели разные длины. Однако, они могут иметь и одинаковую длину. От этого условие коллинеарности не нарушается. Но появляется новая группа векторов.

Определение. Равными называются сонаправленные векторы, имеющие равные длины. Обозначаются так: .

Значит, для того, чтобы векторы были равны, нужно, чтобы они лежали на параллельных прямых (или на одной прямой); были направлены в одну сторону и их длины должны быть равны.

Откладывание вектора от данной точки.

Утверждение. От любой точки плоскости можно отложить вектор, равный данному и, притом, только один.

Через точку проведём прямую , параллельную вектору . В соответствии с аксиомой IX планиметрии, такая прямая единственная.

На прямой от точки можно отложить два отрезка и одинаковой длины, равной длине вектора . Так как они отложены в разные стороны от точки , то векторы и противоположно направленные.

По определению равных векторов .

Для доказательства единственности такого вектора, предположим, что существует ещё один вектор с началом в точке , равный вектору . Пусть это будет вектор

Так как , то по определению равных векторов, они лежат на параллельных прямых. Значит, через точку проходят две прямые и , параллельные вектору . А это противоречит аксиоме IX .

Мы пришли к противоречию потому, что сделали неправильное предположение. Значит, вектор единственный, ч.т.д.

Видео:Единичный векторСкачать

Длина вектора — основные формулы

Время чтения: 16 минут

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

• Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
• Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

• Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
• Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
• Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
  Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Чтобы рассчитать длину = (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу

Ответ:

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Ответ:

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Для прямой системы координат, найти длину вектора ( overrightarrow) , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Ответ:

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,(λ^2))

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
( left|vecright|=sqrt)
(=sqrt = sqrt)
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
( sqrt=sqrt )
( 26+left(lambda^2-2right)^2=30 )
( left(lambda^2-2right)^2=4 )
( lambda^2-2=2 ) или ( lambda^2-2=-2 ) ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )
Ответ: ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )

Видео:№742. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарныеСкачать

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow) и (overrightarrow) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Даны длины двух векторов ( overrightarrow) и ( overrightarrow) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен ( frac ) . необходимо найти длину ( overrightarrow).

В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
( KM^2=AK^2+AM^2-2cdot AKcdot AMcdotcosfrac)
(=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdotcosfrac)
(=4+16-16cosfrac)
(=20-8=12 )
Получается (KM=sqrt )
Ответ: ( left|overrightarrowright|=sqrt )

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vecright|=sqrt) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vecright|=sqrt) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

• в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
• в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
• географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.

🎬 Видео

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать