Треугольник ref вписанный в окружность re 10 ef 5

Урок №8. СКАЧИВАЙТЕ файл на устройства, чтобы все знаки и формулы были видны и распознаны. Во время чтения файла онлайн происходит потеря формул.

Просмотр содержимого документа
«Подготовка к контрольной работе»

Тема: Подготовка к контрольной работе

Задачи: обобщить и систематизировать теоретически знания и умения решать задачи по теме.

Если около четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна

Задача 1. Равносторонний треугольник KME вписан в окружность радиуса 5. Найти сторону треугольника.

Решение (краткое). Воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника:

Преобразуем её в формулу для нахождения стороны:

Тогда сторона треугольника:

Ответ: .

Задача 2. Равнобедренный треугольник QMT вписан в окружность. Высота треугольника MN=8, боковая сторона QM=MT=12. Найти радиус окружности.

Решение (краткое). Найдем QN из треугольника QMN:

Тогда сторона QT= .

Применим формулу для нахождения радиуса описанной окружности:

Задача 3. Треугольник MKT вписан в окружность, угол MKT опирается на диаметр. Стороны треугольника KM=12, KT=16. Найти радиус окружности.

Решение (краткое). Найдем длину стороны MT:

Т.к. MT – это диаметр окружности, то радиус вдвое меньше.

Задача 4. Равнобедренный треугольник REF вписан в окружность. Центр окружности делит высоту треугольника RS на отрезки RO=13 и OT=5. Найти площадь треугольника REF.

Решение (краткое). RO=OE=OF=13. Найдем ET:

Тогда сторона EF=2ET=24.

Найдем площадь треугольника:

Задача 5. В четырехугольник ABCD вписана окружность радиуса 10. Сумма противоположных сторон четырехугольника равна 24. Найти площадь четырехугольника.

Решение (краткое). Найдем площадь четырехугольника по формуле .

По свойству AB+DC=AD+BC=24, тогда полупериметр равен:

Тогда

Задача 6. Прямоугольник ABCD вписан в окружность. Меньшая из его сторон равна 10, а тупой угол между диагоналями равен 120°. Найти радиус окружности.

Решение (краткое). Угол AOD=60°, AO=DO, следовательно, треугольник AOD равносторонний. AO=10.

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, вспомнить теорию и решения задач.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Треугольник вписанный в окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Олимпиадные задания по математике 8 — 11 класс

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Олимпиадные задания по математике 8 — 11 класс

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Олимпиадные задания по математике 8 класс

1. На доске была нарисована система координат и отмечены точки A(1;2) и B(3;1). Систему координат стерли. Восстановите ее по двум отмеченным точкам.

2. В некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

3. В правильном шестиугольнике АВСDEF на прямой AF взята точка X так, что угол XСD = 45 o . Найдите угол FXE.

4. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Точка p – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС, Q – из А на DC, R – из D на АВ и Т – из D на ВС. Докажите, что точки p, Q, R и T лежат на одной окружности.

5. Восстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

6. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовем его «высотами» векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны, перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его «высот» равна нулевому вектору.

Видео:ОГЭ. Геометрия. 1 часть. Теорема косинусов.Скачать

Олимпиадные задания по математике 8 класс

1. Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК .

3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.

4. В трапеции ABCD : AB = BC = CD , CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС , проходит через середину BD .

5. Пусть AA ₁ и BB ₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС , М – середина АВ . Окружности, описанные около треугольников AMA ₁ и BMB ₁ пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно. Докажите, что К , М и L лежат на одной прямой.

6. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Олимпиадные задания по математике 9 класс

1. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне ( исследование вопроса о количестве решений не требуется ).

2. В выпуклом четырехугольнике ABCD Ð ABC = 90 0 , Ð BAC = Ð CAD , AC = AD , DH — высота треугольника ACD . В каком отношении прямая BH делит отрезок CD ?

3. Внутри отрезка АС выбрана произвольная точка В и построены окружности с диаметрами АВ и ВС . На окружностях (в одной полуплоскости относительно АС ) выбраны соответственно точки M и L так, что Ð MBA = Ð LBC . Точки K и F отмечены соответственно на лучах ВМ и BL так, что BK = BC и BF = AB . Докажите, что точки M , K , F и L лежат на одной окружности.

4. В треугольнике ABC M — точка пересечения медиан, O — центр вписанной окружности, A’ , B’ , C’ — точки ее касания со сторонами BC , CA , AB соответственно. Докажите, что, если CA’ = AB , то прямые OM и AB перпендикулярны.

5. Дан треугольник АВС . Точка О 1 — центр прямоугольника ВСDE , построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О 2 и О 3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО 1 , ВО 2 и СО 3 пересекаются в одной точке.

6. На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Олимпиадные задания по математике 9 класс

9.1. В выпуклом четырехугольнике АВС D Е – середина CD , F – середина А D , K – точка пересечения АС и ВЕ . Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС .

9.2. Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С .

9.3. Дан квадрат ABCD . Найдите геометрическое место точек M таких, что Ð AMB = Ð CMD .

9.4. Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке p . Точки X и Y – ортогональные проекции точки p на прямые AC и BC . Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC , проведенной из вершины C .

9.5. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M , Ð AMB = 60 ° . На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL . Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках p и Q . Докажите, что pK = LQ .

9.6. Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит 2 деленное на корень из 3 .

Видео:САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Олимпиадные задания по математике 9 класс

1. На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка p пересечения его диагоналей. Проведите через p прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.

2. Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.

4. Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (Исследование проводить не требуется.)

5. В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

6. Фиксированы две окружности w₁ и w₂, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой l строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w₁ и w2 соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w₁ и w₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ , лежат на одной прямой.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Олимпиадные задания по математике 10 класс

10.1. Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырехугольника АВС D . Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

10.2. Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причем в его середине?

10.3. На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в нее четырехугольник, и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырехугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив ее центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырехугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

10.4. В треугольнике АВС : М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС , то точка О равноудалена от сторон АВ и АС .

10.5. Трапеция АВС D с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырехугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC , BC , AD и BD , является вписанным.

10.6. В тетраэдре DABC : Ð ACB = Ð ADB , ( С D ) ^ ( АВС ). В треугольнике АВС дана высота h , проведенная к стороне АВ , и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите длину CD .

Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

Олимпиадные задания по математике 10 класс

1. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны?

2. Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей. Общие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

3. Дан четырехугольник ABCD. A’, B’, C’ и D’ – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA’ = CC’ и BB’ = DD’. Верно ли, что ABCD параллелограмм?

4. В треугольнике АВС угол А равен 120 o . Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно АВ + АС.

6. Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причем их периметры одинаковы. Существует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

6. Дан треугольник ABC и точки p и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями p и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая pQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Олимпиадные задания по математике 11 класс

1. AD и BE – высоты треугольника АВС . Оказалось, что точка C’ , симметричная вершине С относительно середины отрезка DE , лежит на стороне AB . Докажите, что АВ – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC’ .

2. Прямая а пересекает плоскость α . Известно, что в этой плоскости найдутся 2011 прямых, равноудаленных от а и не пересекающих a. Верно ли, что а перпендикулярна α ?

3. Дана неравнобокая трапеция ABCD ( AB || CD ). Произвольная окружность, проходящая через точки А и В , пересекает боковые стороны трапеции в точках p и Q , а диагонали – в точках M и N . Докажите, что прямые pQ , MN и CD пересекаются в одной точке.

4. Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше четырёх можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD : AC ⊥ BD , ∠ BCA = 10°, ∠ BDA = 20°, ∠ BAC = 40°. Найдите ∠ BDC . ( Ответ выразите в градусах. )

6. Пусть AA ₁, BB ₁ и CC ₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС ; окружности, описанные около треугольников АВС и A ₁ B ₁ C , вторично пересекаются в точке Р , Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника АВС , проведённых в точках А и В . Докажите, что прямые АР , ВС и ZC ₁ пересекаются в одной точке.

Видео:Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Олимпиадные задания по математике 11 класс

1. Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?

2. Трапеция ABCD и параллелограмм MBDK расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь зеленой части равна сумме площадей синих частей.

3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной ВС на прямую АС, проходит через центр вписанной окружности треугольника А₁СВ₁.

4. На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C₁ — более удаленная от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM₁ и BM₂. Точки A₁ и B₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

5. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся три ребра, из которых можно составить треугольник.

6. К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках А и В, проведена их общая касательная CD (C и D — точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем А). Прямая, проходящая через А, вторично пересекает w₁ и w₂ в точках К и L соответственно (A лежит между K и L). Прямые KC и LD пересекаются в точке p. Докажите, что РВ — симедиана треугольника KpL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).

Олимпиадные задания по математике для учащихся 1-11 классов с решением и ответами:

📸 Видео

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать