Что называется медианой треугольника?
Определение.
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Как построить медиану треугольника?
Чтобы построить медиану треугольника , надо:
1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника.
2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны.
Рисунок медианы треугольника:
Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник».
Сколько медиан имеет треугольник?
Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке:
Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному, считая от вершины:
Об этом свойстве медиан треугольника, а также о том, как найти длину медианы через длины сторон треугольника, более подробно мы поговорим позже и рассмотрим, как свойства медианы использовать при решении задач.
Кроме того, отдельно будут рассмотрены медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе и медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, поскольку каждая из них обладает своими свойствами, которые надо знать и уметь применять.
- Построение медианы треугольника с помощью циркуля и окружности
- Как начертить медиану и высоту треугольника с помощью циркуля ?
- Медиана треугольника
- Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи
- Построение отрезка, равного данному
- Деление отрезка пополам
- Построение угла, равного данному
- Построение перпендикулярных прямых
- Пример 1
- Пример 2
- Построение параллельных (непересекающихся) прямых
- Построение правильного треугольника, вписанного в окружность
- Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность
- Вариант 1
- Вариант 2
- Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника
- Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность
- Пошаговое построение медианы, биссектрисы медианы в треугольнике с помощью циркуля
- 📸 Видео
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Построение медианы треугольника с помощью циркуля и окружности
Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать
Как начертить медиану и высоту треугольника с помощью циркуля ?
Постройте треугольник ABC. Пусть необходимо провести медиану из вершины С к стороне AB.
Найдем середину стороны AB. Установите иглу циркуля в точке A. Другой конец циркуля поставьте в точку B. Тем самым ножками циркуля вы отмерили длину AB. Проведите окружность с центром в точке A и радиусом R, равным AB.
Затем, не меняя расстояния между ножкам циркуля, установите иглу циркуля в точке B. Проведите окружность с центром в точке В и тем же радиусом AB.
Окружности, проведенные из точек А и В, должны пересечься в двух точках. Назовите их, например, М и Т.
Соедините линейкой точки М и Т. Точка, в которой отрезок МТ пересечет отрезок АВ, и будет являться серединой отрезка АВ. Назовем эту точку точкой Е.
Кстати, прямая МТ будет не только делить отрезок АВ пополам, но и являться перпендикуляром к нему. Так что если перед вами стоит задача построить перпендикуляр к отрезку, действуйте по той же схеме, что и для нахождения середины отрезка.
Итак, поскольку Е — середина стороны АВ, то отрезок СЕ будет являться искомой медианой треугольника, проведенной из вершины С к стороне АВ. Соедините при помощи линейки точки С и Е.
Если необходимо провести также медианы из вершин треугольника А и В к сторонам ВС и АС соответственно, проделайте аналогичную процедуру. Помните, что все три медианы треугольника должны пересечься в одной точке.
В стороне от чертежа описывайте свои действия. Последовательно отмечайте, что вы строите. Какие линии, окружности вы проводите, и какими буквами обозначаете точки, получаемые на пересечениях.
В задачах на построение циркулем и линейкой обычно требуется не только построить что-либо, но и доказать, что используемая последовательность действий привела к нужному результату.
По построению четырехугольник АМВТ является ромбом (АМ=ВМ=АТ=ВТ=AB). Ромб — частный случай параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (свойство параллелограмма) . То есть, точка Е, полученная на пересечении диагоналей ромба АВ и МТ, дает середину АВ. Т. к. точка Е — середина АВ, то СЕ — медиана треугольника АВС (по определению) . Что и требовалось доказать.
Вам надо определить ТОЧКУ, куда вести медиану и высоту? Или просто начертить? Начертить, так у циркуля с одной стороны остриё, а вот с другой карандаш (или рейсфедер) . Вот этим концом и чертите. А мединану надо определить среднюю сторону у противоположного угла. Циркулем произвольно чертите дуги с двух концов стороны, что бы они пересекались. И от противоположного угла проводите линию (медиану) с местам пересечения дуг (но до стороны треугольника, там и будет середина) . Высота прище. Делайте рисунок на листе в клетку. И от вершины вниз параллельно клеткам, т. е. перепендикулярно основанию треугольника.
Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать
Медиана треугольника
Что называется медианой треугольника?
Определение.
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Как построить медиану треугольника?
Чтобы построить медиану треугольника , надо:
1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника.
2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны.
Рисунок медианы треугольника:
Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник».
Сколько медиан имеет треугольник?
Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке:
Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному, считая от вершины:
Об этом свойстве медиан треугольника, а также о том, как найти длину медианы через длины сторон треугольника, более подробно мы поговорим позже и рассмотрим, как свойства медианы использовать при решении задач.
Кроме того, отдельно будут рассмотрены медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе и медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, поскольку каждая из них обладает своими свойствами, которые надо знать и уметь применять.
Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать
Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи
Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.
Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Построение отрезка, равного данному
Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.
Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).
Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.
Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Деление отрезка пополам
Имеется отрезок AB.
Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.
Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.
Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Построение угла, равного данному
Имеется угол ABC.
Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.
Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.
Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.
Видео:Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать
Построение перпендикулярных прямых
Пример 1
Точка O находится на прямой a.
Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.
Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.
Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.
Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.
Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.
Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.
Пример 2
Точка O находится вне прямой а.
Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.
Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O1 — место их соприкосновения.
Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.
Доказательство выглядит следующим образом.
Две прямые ОО1 и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO1A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O1AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).
Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O1CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.
Видео:Задачи на построение с помощью циркуля и линейки - 7 класс геометрияСкачать
Построение параллельных (непересекающихся) прямых
Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.
Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.
Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.
Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.
C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.
Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.
Видео:Построение биссектрисы углаСкачать
Построение правильного треугольника, вписанного в окружность
Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:
Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.
Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.
Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.
На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.
Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.
Видео:№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать
Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность
Вариант 1
Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.
Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.
Вариант 2
Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.
После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.
Задача выполнена двумя способами.
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника
Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.
Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.
Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.
Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать
Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.
Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.
Видео:Геометрия 7. Урок 10 - Построение циркулем и линейкойСкачать
Пошаговое построение медианы, биссектрисы медианы в треугольнике с помощью циркуля
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.
Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней ( а перпендикуляр — это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) — это и будет высота.
Задание для самостоятельной проверки.
1 вариант: Построить медиану остроугольного треугольника.
2 вариант: Построить медиану тупоугольного треугольника.
3 вариант: Построить медиану прямоугольного треугольника.
4 вариант: Построить биссектрису остроугольного треугольника.
5 вариант: Построить биссектрису тупоугольного треугольника.
6 вариант: Построить биссектрису прямоугольного треугольника.
📸 Видео
Построение высоты равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейкиСкачать
Построение биссектрисы углаСкачать
Треугольник: построение медианыСкачать
Построение медианы равнобедренного треугольника с помощью циркуляр линейкиСкачать
Построения с помощью циркуля и линейки. Равнобедренный и равносторонний треугольникиСкачать
2. Построения с помощью циркуля и линейки.Скачать