Вектор равенство векторов координаты вектора

5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Видеоурок 1: Понятие вектора


Видеоурок 2: Равенство векторов

Видеоурок 3: Сложение и вычитание векторов

Видеоурок 4: Умножение вектора на число

Лекция: Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

Вектор равенство векторов координаты вектораВектор

Вектор – это тело, которое изучается в математике, но используется в большом количестве наук. Например, в физике существуют скалярные величины (те, что характеризуются значением – масса, температура и т.д.), а также векторные величины (сила, работа и другие).

Вектор – это величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением. Иными словами, это направленный отрезок.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Но кроме его длины, нам также важно, где находится его начало, а где конец.

Если вектор имеет свое начало в некоторой точке А, а заканчивается в точке В, то его обозначают следующим образом:

Кроме двух букв, вектор можно обозначить одной буквой со значком вектора сверху.

Длиной вектора (его модулем) называют расстояние между концом вектора и его началом.

Для определения модуля вектора следует воспользоваться следующей формулой:

Вектор равенство векторов координаты вектора

Кроме этого, модуль вектора может обозначаться следующим образом:

Вектор равенство векторов координаты вектора

Если некоторый вектор имеет начало и конец в одной и той же точке, то такой вектор называют нулевым. Нулевой вектор обозначают, как

Вектор равенство векторов координаты вектора

Если длина некоторого вектора равна единичному отрезку, то его называют единичным.

Если некоторые векторы расположены на одной прямой или же параллельны друг другу, то такие векторы называются коллинеарными.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Если некоторые векторы можно назвать коллинеарными, но кроме этого они направлены в одну сторону, то их можно назвать сонаправленными.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Если же наоборот два коллинеарных вектора смотрят в разные стороны, то их называют противоположно направленными.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Если же некоторые векторы являются коллинеарными, сонаправленными, а также имеют одинаковую длину (модуль), то их можно назвать равными.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Вектор равенство векторов координаты вектораКоординаты вектора

Для нахождения координаты вектора следует вычесть соответствующие координаты его конца и начала.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Например, если начало вектора А (3; 6), а конец В (5;9), то этот вектор будет иметь следующие координаты: .

Вектор равенство векторов координаты вектораСложение и вычитание векторов

Чтобы сложить два вектора для получения нового, необходимо сложить соответствующие координаты.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора

Например, сложим вектор с вектором . В результате получим новый вектор с координатами . С вычитанием все аналогично.

Вектор равенство векторов координаты вектораУмножение вектора на некоторое число

Чтобы умножить вектор на некоторое число, следует умножить каждую его координату на данное число.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора

  • Первоначальный вектор и вектор умноженный на некоторое число, который равный ему, являются параллельными.
  • Если число, на которое умножался вектор, больше нуля, то новый вектор будет сонаправлен первоначальному. Если же число меньше нуля, то векторы будут противоположно направленны.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

«Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.»

Вектор равенство векторов координаты вектора

Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.

Цели урока:

Образовательные:Изучить, что такое “вектор в пространстве», как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научится решать задачи, связанные с векторами.

Развивающие: расширение кругозора учащихся, формирование умений применять приёмы сравнивания, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления, речи, умение комментировать, развитие учебно-познавательных компетенций учащихся

Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи, привитие навыков самооценки, умения работать в коллективе, умения правильно оценивать работуодногруппников,прививать интерес к предмету.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Изучение нового материала.
  4. Закрепление знаний.
  5. Итоги урока.
  6. Самостоятельная подготовка.

Оборудование: Интерактивная доска

Тип урока: Комбинированный.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора.

(Слайд 2)

Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатами вектора , начало которого точка A(x1,y1,z1), а конец — точкаВ(х2, у2, z2), называются числа a1= х2- x1, a2=y2-y1, a3=z2-z1.

Записывают такой вектор, указывая его координаты: (a1 а2, а3) или (a1 а2, а3).

(Слайд 3)

Просмотр содержимого документа
««Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.»»

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

«Лабинский социально-технический техникум»

«Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.»

Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов.

Образовательные:Изучить, что такое “вектор в пространстве», как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научится решать задачи, связанные с векторами.

Развивающие: расширение кругозора учащихся, формирование умений применять приёмы сравнивания, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления, речи, умение комментировать, развитие учебно-познавательных компетенций учащихся

Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи, привитие навыков самооценки, умения работать в коллективе, умения правильно оценивать работуодногруппников,прививать интерес к предмету.

Изучение нового материала.

Оборудование: Интерактивная доска

Тип урока: Комбинированный.

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Актуализация знаний

3. Изучение нового материала

ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатами вектора Вектор равенство векторов координаты вектора, начало которого точка A(x1,y1,z1), а конец — точкаВ(х2, у2, z2), называются числа a1= х2- x1, a2=y2-y1, a3=z2-z1.

Записывают такой вектор, указывая его координаты: Вектор равенство векторов координаты вектора(a1 а2, а3) или Вектор равенство векторов координаты вектора (a1 а2, а3).

Вектор равенство векторов координаты вектора

Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка Вектор равенство векторов координаты вектора, тогда

Значит, направленному отрезку Вектор равенство векторов координаты векторасоответствует вектор Вектор равенство векторов координаты вектора(-4; 6; 1) (рис. 67).

Вектор равенство векторов координаты вектора

Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства.

Вектор равенство векторов координаты вектора

Длину вектора Вектор равенство векторов координаты вектора (a1 а2, а3) можно выразить через его координаты. Отложим вектор Вектор равенство векторов координаты вектораот начала координат (рис. 68). Тогда четырехугольник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а1 и а2, поэтому ОАz 2 = а1 2 + а2 2 . В прямоугольном треугольнике ОА2 А второй катет Аz А = а3 и ОА 2 = ОА 2 г + а3 2 = а1 2 + а2 2 + а3 2 . Отсюда | Вектор равенство векторов координаты вектора| = Вектор равенство векторов координаты вектора

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называютколлинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены Вектор равенство векторов координаты вектораb) или противоположно направлены Вектор равенство векторов координаты вектораb). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ

Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:

а+b=b+а — переместительный закон сложения;

а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.

Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство Вектор равенство векторов координаты вектора + Вектор равенство векторов координаты вектора =Вектор равенство векторов координаты вектора .

Действительно, для любых трех точек A(a1 а2, а3), B(b1 b2, b3), C(c1, с2, с3) Вектор равенство векторов координаты вектора(b1 – а1; b2 — а2;b3а3) и Вектор равенство векторов координаты вектора 1 — bг; с2 — b2, с3 — b3).

Отсюда Вектор равенство векторов координаты вектора + Вектор равенство векторов координаты вектора = Вектор равенство векторов координаты вектора(с1 – а1; с2 — а2; с3 — а3).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника(рис. 69).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то Вектор равенство векторов координаты вектора + Вектор равенство векторов координаты вектора= Вектор равенство векторов координаты вектора.

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда

Вектор равенство векторов координаты вектора

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называютсяпротивоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором bдает вектор а .

Если а (а1; а2; а3) и b( b1; b2; b3), то Вектор равенство векторов координаты вектора Вектор равенство векторов координаты вектора= Вектор равенство векторов координаты вектора 1 –b1; а2 — b2; а3 – b3).

Работа студентов по слайдам. Решение задач у доски по желанию.

Видео:Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)

Вектор: определение и основные понятия

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Определение вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора
рис. 1

Видео:Равенство векторов. 9 класс.Скачать

Равенство векторов. 9 класс.

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

Коллинеарные вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора
рис. 2

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Сонаправленные вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора
рис. 3

Видео:8 класс, 41 урок, Равентво векторовСкачать

8 класс, 41 урок, Равентво векторов

Противоположно направленные вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора
рис. 4

Видео:10 класс, 39 урок, Равенство вектораСкачать

10 класс, 39 урок, Равенство вектора

Компланарные вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора
рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Видео:Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.Скачать

Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.

Равные вектора

Вектор равенство векторов координаты вектора
рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

💥 Видео

8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

8 класс, 40 урок, Понятие вектора

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)

ВЕКТОРЫ на плоскости: координаты, длина, равенство вектора, определение коллинеарности векторовСкачать

ВЕКТОРЫ на плоскости: координаты, длина, равенство вектора, определение коллинеарности векторов

ВЕКТОРЫ в пространстве: система координат, длина, равенство векторов, противоположные векторыСкачать

ВЕКТОРЫ в пространстве: система координат, длина, равенство векторов, противоположные векторы
Поделиться или сохранить к себе: