Вектор нормали к поверхности сферы

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Видео:Вектор нормали к поверхности поля в точкеСкачать

Вычисление векторов

Описанная в предыдущей главе модель отражения света никак не связана с видом проецирования (параллельным или перспективным). Она является общей, т. е. может применяться как к плоским, так и к криволинейным поверхностям, причем расстояние между поверхностью и наблюдателем не учитывается. Большая часть вычислений в процессе закрашивания изображений пространственной сцены приходится на определение компонентов векторов, используемых в модели Фонга, и их скалярных произведений. В процессе выполнения этих вычислений часто используются разнообразные упрощения, учитывающие специфику конкретной ситуации. Например, если анализируемая поверхность — плоский многоугольник, то для всех ее точек вектор нормали будет одним и тем же. Если источник света достаточно далеко удален от поверхности, то для всех точек этой поверхности вектор, характеризующий направление падения лучей от этого источника, будет одним и тем же.

В этой главе рассматриваются методы вычисления компонентов векторов для общего случая.

Видео:Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точкеСкачать

Вектор нормали к поверхности

Вектор нормали на гладкой поверхности существует в каждой ее точке и определяет локальную ориентацию участка поверхности в окрестности этой точки. Метод вычисления компонентов вектора нормали зависит от способа математического описания поверхности. Продемонстрируем, как вычислить нормаль для плоскости и сферы.

Плоскость описывается уравнением

Уравнение плоскости можно записать в виде произведения вектора нормали п в точке Р₀ и любого вектора, принадлежащего этой плоскости,

где Р — любая точка (х, у, z) на рассматриваемой плоскости.

Плоскость может быть однозначно задана совокупностью трех точек плоскости не лежащих на одной прямой (неколлинеарных). Для определения нормали можно использовать их векторное произведение

Для любой поверхности в системе компьютерной графики различают внешнюю и внутреннюю стороны. От порядка сомножителей в векторном произведении зависит направление вектора нормали, а следовательно, определение внешней стороны поверхности. Некоторые графические системы автоматически вычисляют вектор нормали, используя первые три вершины в определении многоугольника, полагая его плоским. В библиотеки OpenGL этого не предусмотрено, но существует возможность самостоятельно организовать в программе определение нормали, что позволяет прикладному программисту гибко управлять свойствами модели освещения.

Способ вычисления компонентов вектора нормали к криволинейной поверхности существенно зависит от принятого способа описания поверхности. Покажем несколько способов определения нормали к сферической поверхности единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат. Обычно такая сфера описывается уравнением в неявной форме

или в векторной форме

Нормаль определяется вектором градиента (gradient vector), который представляется в виде матрицы-столбца

Сфера может быть описана и уравнением в параметрической форме. При этом координаты х, у и z любой точки на сферической поверхности представляют собой независимые уравнения от двух параметров и и v

В системах компьютерной графики предпочтение следует отдать параметрической форме, особенно при описании кривых и поверхностей. Один из вариантов описания сферы имеет вид

Изменяя и и v в диапазоне -я/2 дР дР

ститочки/*. Прямые, параллельные векторам — и —, проходятче-

рез точку Р и лежат в касательной плоскости. Векторы — и —

определяются следующим образом:

Вектор нормали формируется как векторное произведение

Подставляя в это уравнение параметрические функции сферической поверхности, получим

Поскольку нас интересует только направление вектора нормали, то для сферы единичного радиуса получим n = Р.

В графической системе основным типом примитива, с которым выполняются все вычисления, являются вершины. Таким образом, и вектор нормали следует формировать достаточно близко к той точке, нормаль в которой нас интересует. В рамках конвейерной архитектуры графических систем организовать такое вычисление довольно сложно, поскольку по «конвейеру» точки следуют одна за другой. Поэтому в большинстве графических систем программисту приходится самостоятельно организовывать вычисление векторов нормалей в прикладной программе.

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Поверхности

Видео:Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиСкачать

Простые поверхности.

Будем говорить, что функция (f(u, v)) непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве (E subset boldsymbol^), если она определена и имеет непрерывные частные производные (partial f/partial u) и (partial f/partial v) на открытом множестве (G), содержащем замкнутое множество (E).

Пусть (Omega) — ограниченная область в (boldsymbol^), а функции (varphi(u, v)), (psi(u, v)) и (chi(u, v)) непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве (overline = Omega cup partial Omega), где (partial Omega) — граница области (Omega). Тогда отображение (F: overline rightarrow boldsymbol^), определяемое формулами
$$
x = varphi(u, v),quad y = psi(u, v),quad z = chi(u, v),quad (u, v) in overline,label
$$
называется непрерывно дифференцируемым.

Если при этом в каждой точке ((u, v) in Omega) ранг функциональной матрицы
$$
beginvarphi_(u, v)&psi_(u, v)&chi_(u, v)\varphi_(u, v)&psi_(u, v)&chi_(u, v)endlabel
$$
равен двум, то отображение (F: rightarrow boldsymbol^) называется гладким.

Если (overline) есть замкнутое ограниченное множество в (boldsymbol^), a (F: overline rightarrow boldsymbol^) есть такое гладкое отображение, что соответствие между множествами (overline) и (Sigma = F(overline)) является взаимно однозначным, то будем множество (Sigma) называть простой поверхностью в (boldsymbol^), а уравнения eqref будем называть параметрическими уравнениями простой поверхности (Sigma).

Пусть область (Omega) ограничена простым гладким или кусочно гладким контуром (gamma). Образ кривой (gamma) при гладком отображении (F: overline rightarrow boldsymbol^) будем называть краем простой поверхности (Sigma) и обозначать через (partial Sigma).

Если уравнение кривой (gamma) имеет вид
$$
u = u(t),quad v = v(t),quad alpha leq t leq beta,nonumber
$$
то уравнение (partialSigma) задается следующими формулами:
$$
x = varphi(u(t), v(t)),quad y = psi(u(t), v(t)),quad z = chi(u(t), v(t)),quad alpha leq t leq beta.label
$$

График функции (z = f(x, y)), непрерывно дифференцируемой на замкнутом ограниченном множестве (overline subset boldsymbol^), есть простая поверхность, определяемая параметрическими уравнениями
$$
x = u,quad y = v,quad z = f(u, v),quad (u, v) in overline.label
$$

В этом случае матрица (beginx_&x_\x_&y_end) является единичной, а поэтому ранг матрицы eqref равен двум.

Например, график функции (z = x^ + y^), ((x, y) in overline), где (overline = <(x, y): x^+ y^ leq 1>), есть простая поверхность. Окружность, получаемая при пересечении параболоида вращения (z = x^ + y^) и плоскости (z = 1), является краем рассматриваемой простой поверхности.

Уравнения eqref простой поверхности можно записать и в векторной форме:
$$
boldsymbol = boldsymbol(u, v),quad (u, v) in overline,quad boldsymbol(u, v) = varphi(u, v) boldsymbol + psi(u, v) boldsymbol + chi(u, v) boldsymbol.label
$$

С механической точки зрения формулы eqref определяют гладкую (без разрывов и изломов) деформацию плоской области (Omega) в множество (Sigma) (простую поверхность в пространстве (boldsymbol^)). Для практических целей только простых поверхностей недостаточно. Например, сфера (x^ + y^ + z^ = a^) не является простой поверхностью в (boldsymbol^). Интуитивно ясно, что сферу нельзя получить никакой гладкой деформацией плоской области.

Имея в виду приложения теории поверхностных интегралов, введем в рассмотрение класс почти простых поверхностей.

Пусть (Omega) — плоская область и (F: overline rightarrow boldsymbol^) — непрерывно дифференцируемое отображение. Будем множество (Sigma = F(overline)) называть почти простой поверхностью в (boldsymbol^), если найдется расширяющаяся последовательность ограниченных областей (<Omega_>) таких, что (overline_ subset Omega_), (Omega = displaystylebigcup_^Omega_) и поверхности (Sigma_ = F(overline_)) простые.

Сфера (S = <(x, y, z): x^+ y^ + z^ = a^>) есть почти простая поверхность.

(vartriangle) Введем сферические координаты. Тогда сфера (S) есть образ прямоугольника (overline = displaystyleleft<(varphi, psi): 0 leq varphi leq 2pi, -frac leq psi leq fracright>) при непрерывно дифференцируемом отображении (F: overline rightarrow S), определяемом формулами
$$
x = a cos varphi cos psi,qquad y = a sin varphi cos psi,qquad z = a sin psi.nonumber
$$

Образами отрезков (varphi = varphi_), (displaystyle-frac leq psi leq frac) являются меридианы, а при (displaystyle|psi_| Рис. 52.1

Конус (K = <(x, y, z): x^+ y^ = z^>) есть почти простая поверхность.

(vartriangle) Введем цилиндрические координаты. Тогда конус (K) есть образ полуполосы
$$
overline = <(r, varphi): 0 leq r Рис. 52.2

Легко проверить, что (overline_ subset Omega_), (Omega = displaystylebigcup_^Omega_) и что поверхности (Sigma_ = F(overline_)) являются простыми. Поэтому конус (K) — почти простая поверхность. (blacktriangle)

Если (Sigma) есть простая поверхность, заданная векторным уравнением eqref, а непрерывно дифференцируемые функции
$$
u = u(u’, v’), v = v(u’, v’), (u’, v’) in Omega’nonumber
$$
задают взаимно однозначное отображение замыкания области (Omega’) на замыкание ограниченной области (Omega), причем якобиан отображения
$$
frac = begindisplaystylefrac&displaystylefrac\displaystylefrac&displaystylefracendnonumber
$$
отличен от нуля в (overline’), то уравнение
$$
boldsymbol = boldsymbol (u(u’, v’), v(u’, v’)) equiv boldsymbol(u’, v’);quad (u’, v’) in Omega’,label
$$
определяет ту же простую поверхность, что и уравнение eqref. Уравнения eqref и eqref называют различными параметризациями поверхности (Sigma).

Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, допуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифференцируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобиана отображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такие параметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерывная дифференцируемость которых не имеет места на границе области (Omega).

(vartriangle) Переход от уравнений eqref к уравнениям eqref задается формулами
$$
u = a cos varphi cos psi,quad v = a sin varphi cos psi,quad (varphi, psi) in Omega’.label
$$

Якобиан отображения eqref равен (a^ sin varphi cos psi) и обращается в нуль при (psi = 0), то есть на части границы области (Omega’). Это приводит к тому, что при переходе к параметризации eqref частные производные функции (z = sqrt<a^-u^-v^>) стремятся к бесконечности при приближении точки (u, v) к окружности (u^ + v^ = a^). (blacktriangle)

Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рассматриваться только такие параметризации, которые задаются непрерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном множестве функциями.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Криволинейные координаты на поверхности.

Пусть простая поверхность (Sigma) задана векторным уравнением eqref. Предположим, что область (Omega) выпукла, ([a, b]) есть проекция области (Omega) на ось (u). Если (u_ = in (a, b)), то прямая (u = u_) будет пересекаться с областью (Omega) по отрезку (u = u_), (alpha leq v leq beta) (рис. 52.3). Образ этого отрезка при отображении eqref есть кривая
$$
boldsymbol = boldsymbol (u_, v), alpha leq v leq beta,label
$$
лежащая на поверхности (Sigma). Будем называть ее координатной кривой (u = u_). Придавая (u_) все значения из отрезка ([a, b]), получим семейство координатных кривых (u = operatorname). Аналогично строится и семейство координатных кривых (v = operatorname).

Рис. 52.3

В силу взаимной однозначности отображения eqref каждая точка (A) поверхности (S) однозначно определяется как пересечение двух координатных кривых, (u = u_) и (v = v_). Пара чисел ((u_, v_)) называется криволинейными координатами точки (A) поверхности. Запись (A(u_, v_)) означает, что точка (A) поверхности (Sigma) задана криволинейными координатами ((u_, v_)).

Например, в сферических координатах часть сферы (x^ + y^ + z^ = a^), ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, задается в криволинейных координатах (varphi), (psi) следующим образом:
$$
varphi_ leq varphi leq varphi_,quad psi_ leq psi leq psi_.nonumber
$$

На сфере координатные кривые (varphi = operatorname) — меридианы, а координатные кривые (psi = operatorname) — параллели.

На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении цилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.

Вектор-функция (boldsymbol (u_, v)) есть непрерывно дифференцируемая функция параметра (v), и, следовательно, координатная кривая (u = u_), определяемая равенством eqref, является непрерывно дифференцируемой. Вектор (boldsymbol_ (u_, v_)) является касательным к этой кривой в точке (A(u_, v_)). Аналогично, вектор (boldsymbol_ (u_, v_)) касателен к координатной кривой (v = v_) в точке (A(u_, v_)). Заметим, что векторы (boldsymbol_ (u_, v_)) и (boldsymbol_ (u_, v_)) не могут обратиться в нуль, так как в этом случае ранг матрицы eqref будет меньше двух. Следовательно, для простой поверхности координатные кривые являются гладкими.

Если область (Omega) не является выпуклой, а точка ((u_, v_)) лежит внутри (Omega), то нужно взять выпуклую окрестность точки ((u_, v_)), лежащую внутри (Omega). Тогда образ этой выпуклой окрестности будет куском поверхности (Sigma) и координатные кривые можно строить на этом куске поверхности (локально).

Видео:Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть (Sigma) есть простая поверхность, заданная уравнениями eqref или векторным уравнением eqref. Рассмотрим точку (A(u, v)) на поверхности (Sigma), где ((u, v)) — внутренняя точка области (Omega). Построим координатные линии (u = operatorname) и (v = operatorname), проходящие через точку (A(u, v)). Векторы (boldsymbol_ (u, v)) и (boldsymbol_ (u, v)) будут касательными к соответствующим координатным линиям.

В любой точке (A(u, v)) простой поверхности (Sigma) векторы (boldsymbol_ (u, v)) и (boldsymbol_(u, v)) неколлинеарны. Направление вектора (N = [boldsymbol_, boldsymbol_]) при изменении способа параметризации или не меняется, или изменяется на противоположное.

(circ) Рассмотрим вектор (N = [boldsymbol_, boldsymbol_]) во всех точках поверхности (Sigma). Тогда
$$
boldsymbol=beginy_&z_\y_&z_endboldsymbol + beginz_&x_\z_&x_endboldsymbol + beginx_&y_\x_&y_endboldsymbol.nonumber
$$
Если (boldsymbol = boldsymbol), то все компоненты вектора (boldsymbol) равны нулю, и ранг матрицы eqref будет меньше двух, что невозможно для простой поверхности. Пусть поверхность (Sigma) параметризована двумя способами, eqref и eqref. Тогда, воспользовавшись правилом нахождения частных производных сложной функции и аддитивностью и кососимметричностью векторного произведения, получаем
$$
boldsymbol’ = [boldsymbol_, boldsymbol_] = [boldsymbol_ frac + boldsymbol_ frac, boldsymbol_ frac + boldsymbol_ frac] =\= [boldsymbol_, boldsymbol_] left(fracfrac-fracfracright) = [boldsymbol_, boldsymbol_] frac,nonumber
$$
то есть
$$
boldsymbol’ = boldsymbol frac.label
$$
Так как якобиан (J = displaystylefrac) не обращается в нуль в области (Omega’), то векторы (boldsymbol’) и (boldsymbol) коллинеарны. Эти векторы сонаправлены, если (J > 0), и противоположно направлены, если (J Лемма 2.

Вектор нормали к простой поверхности (Sigma) в точке (A(u_, v_)) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку (A(u_, v_)).

(circ) В самом деле, такая кривая есть образ при отображении eqref некоторой гладкой кривой, лежащей в области (Omega) и задаваемой уравнениями (u = u(t)), (v = v(t)), (alpha leq t leq beta).

Уравнение кривой на поверхности тогда имеет вид
$$
boldsymbol = boldsymbol(u(t), v(t)), alpha leq t leq beta, u(t_) = u_, v(t_) = v_.
$$

Касательный вектор (boldsymbol) к этой кривой в точке (A) есть
$$
boldsymbol = frac

.nonumber
$$

Итак, (boldsymbol) есть линейная комбинация векторов (boldsymbol_ (u_, v_)) и (boldsymbol_(u_, v_)). Так как вектор (boldsymbol) ортогонален (boldsymbol_ (u_, v_)) и (boldsymbol_(u_, v_)), то он ортогонален и вектору (boldsymbol), то есть вектор нормали к поверхности в точке (A) ортогонален к любой гладкой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку (A). (bullet)

Плоскость, проходящая через точку (A(u, v)) поверхности и ортогональная вектору (boldsymbol), называется касательной плоскостью к поверхности в точке (A). Пусть ((X, Y, Z)) — декартовы координаты точки касательной плоскости и пусть (boldsymbol = Xboldsymbol + Yboldsymbol + Zboldsymbol). Тогда векторы (boldsymbol-boldsymbol(u, v), boldsymbol_(u, v), boldsymbol_(u, v)) параллельны касательной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Поэтому векторное уравнение касательной плоскости имеет вид
$$
(boldsymbol-boldsymbol(u, v), boldsymbol_(u, v), boldsymbol_(u, v)) = 0.nonumber
$$

В силу равенства eqref форма этого уравнения не зависит от выбора параметризации поверхности. Уравнение касательной плоскости в координатах имеет следующий вид:
$$
beginX-x(u, v)&Y-y(u, v)&Z-z(u, v)\x_(u, v)&y_(u, v)&z_(u, v)\x_(u, v)&y_(u, v)&z_(u, v)end = 0.nonumber
$$

Нормалью к поверхности в точке (A(u, v)) называется прямая, проходящая через точку (A) и параллельная вектору нормали в точке (A). Так как при изменении параметризации вектор нормали не меняет своего направления или изменяет его на противоположное в каждой точке поверхности, то нормаль не зависит от параметризации. Ее векторное уравнение имеет вид
$$
boldsymbol-boldsymbol(u, v) = k[boldsymbol_, boldsymbol_], -infty

Видео:Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Кусочно гладкие поверхности.

Из определения простой поверхности, данного в п. 1, следует, что она есть гладкий и взаимно однозначный образ некоторой плоской области, то есть получается из этой области при помощи гладких (без изломов) деформаций (отображений). Ясно, что многие объекты, которые мы привыкли называть поверхностями, не будут простыми поверхностями. Так, сфера не может быть непрерывным образом деформирована в плоскую область. Коническая поверхность не может быть получена гладкой деформацией плоской области.

Попытки дать общую классификацию поверхностей увели бы нас далеко в область высшей геометрии. Замечательным классом поверхностей в (boldsymbol^) являются гладкие многообразия размерности 2, то есть связные множества, которые локально (в окрестности каждой своей точки) устроены, как простая гладкая поверхность. Например, сфера будет гладким многообразием. Если (A) есть точка сферы радиуса (a), то шар (S_(A)) при (varepsilon Рис. 52.4

Из гладких кусков можно склеивать не только гладкие многообразия, но и связные поверхности, имеющие ребра и вершины (например, поверхности многогранников) (рис. 52.5).

Рис. 52.5

Мы не станем тут заниматься математической формализацией таких понятий, как разрезание и склеивание поверхностей, и тем более основанной на этом классификации поверхностей. Заметим только, что трудности возникают при построении общих теорий. В любом разумном частном случае нет проблем с разрезанием поверхности на простые куски. Поверхность, которую можно разрезать на конечное число простых кусков, будем называть кусочно гладкой.

Видео:Что такое нормаль?Скачать

Ориентируемые поверхности.

Будем говорить, что гладкая поверхность ориентируема, если можно построить на этой поверхности непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят, что это поле единичных нормалей определяет ориентацию (или сторону) поверхности. Меняя направление всех единичных нормалей на противоположное, получим опять непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят, что оно определяет противоположную ориентацию (другую сторону) поверхности. На простой гладкой поверхности всегда определено непрерывное поле единичных нормальных векторов
$$
boldsymbol = frac<[boldsymbol_, boldsymbol_]><|[boldsymbol_, boldsymbol_]|>.label
$$

Произвольные гладкие поверхности могут быть как ориентируемыми (двусторонними), так и неориентируемыми (односторонними).

Торы, изображенные на рис. 52.4, ориентируемы; бутылка Клейна — неориентируемая (односторонняя) поверхность. Легко построить лежащий на этой поверхности замкнутый гладкий контур такой, что, выбирая в какой-то точке контура вектор единичной нормали к поверхности и непрерывно изменяя его при движении по контуру, мы придем к начальной точке с противоположным направлением нормали. Следовательно, на бутылке Клейна построить непререрывное поле единичных нормальных векторов невозможно.

Заметим еще, что сфера, тор, тор с двумя дырами (рис. 52.4) делят пространство на ограниченную и неограниченную области, общей границей которых они являются. Бутылка Клейна таким свойством не обладает.

Можно доказать, что гладкая поверхность, являющаяся границей области в (boldsymbol^), ориентируема. Ее внутренняя сторона задается нормальными векторами, направленными внутрь области (внутренними нормалями), внешняя сторона определяется внешними нормалями. Очевидно, что для построения поля внутренних нормалей к границе области достаточно построить внутреннюю нормаль к какой-то одной точке границы.

Рис. 52.6

Каждая плоскость делит пространство (boldsymbol^) на два полупространства. Если плоскость рассматривать как границу полупространства, то внутренняя нормаль определяется естественным образом как направленная внутрь полупространства (рис. 52.6). Если (partial G) есть гладкая граница области (G), то касательная плоскость в точке (x in partial G) называется опорной, если область лежит по одну сторону от касательной плоскости, то есть в одном из полупространств, определяемых этой плоскостью. В точке (x in partial G) определена внутренняя нормаль (рис. 52.7).

Рис. 52.7

Границу области (G), ориентированную внешними нормалями, будем обозначать через (partial G), а внутренними — через (partial G^).

Несколько более сложно определяется ориентация кусочно гладких поверхностей.

Рис. 52.8

Пусть (Sigma) — простая поверхность (рис. 52.8), то есть гладкий и взаимно однозначный образ замыкания плоской области (Omega). В декартовых координатах отображение задается равенствами eqref. Прообразом гладкого простого контура (Gamma subset Sigma) будет простой гладкий контур (gamma subset Omega). Будем говорить, что контур (Gamma) ориентирован положительно, если его прообраз (gamma) ориентирован в плоскости ((u, v)) положительно (рис. 52.9), то есть при обходе контура (gamma) область, им ограничиваемая, остается слева (вектор касательной и вектор внутренней нормали образуют правую пару векторов в ориентированной плоскости ((u, v))). Будем говорить, что ориентация простой поверхности (Sigma), задаваемая полем единичных нормалей
$$
boldsymbol = frac<[boldsymbol_, boldsymbol_]><|[boldsymbol_, boldsymbol_]|>,nonumber
$$
согласована с положительной ориентацией простых контуров, лежащих на поверхности (Sigma).

Рис. 52.9

Покажем, что предложенное правило согласования ориентации поверхности с ориентациями простых контуров, лежащих на поверхности, совпадает с известным правилом правого винта. Пусть (A(u_, v_) in Sigma), то есть ((u_, v_) in Omega). Без ограничения общности можно считать, что (u_ = 0), (v_ = 0). Построим в точке (A)(0,0) касательную плоскость и ориентируем ее вектором нормали (boldsymbol) или, что то же самое, парой векторов ((boldsymbol_)(0, 0), (boldsymbol_)(0,0)). Возьмем в плоскости переменных (u), (v) окружность радиуса (varepsilon) с центром в точке (0,0):
$$
u = varepsilon cos t, v = varepsilon sin t, 0 leq t leq 2pi.nonumber
$$

Ее образ на поверхности есть простой замкнутый контур (Gamma):
$$
boldsymbol = boldsymbol (varepsilon cos t, varepsilon sin t), 0 leq t leq 2pi.nonumber
$$

С точностью до (boldsymbol(varepsilon)) при (varepsilon rightarrow 0) получаем, что
$$
boldsymbol = boldsymbol(0,0) + varepsilon boldsymbol_(0,0)cos t + varepsilon boldsymbol_(0,0)sin t + boldsymbol(varepsilon).nonumber
$$

С точностью до (boldsymbol(varepsilon)) кривая (Gamma) есть эллипс в касательной плоскости, ориентированной парой векторов ((boldsymbol_)(0, 0), (boldsymbol_)(0,0)).

Ориентация эллипса положительна (рис. 52.10). Если смотреть на касательную плоскость со стороны вектора нормали (boldsymbol), то движение по эллипсу происходит против часовой стрелки, от вектора (boldsymbol_)(0, 0) к вектору (boldsymbol_)(0, 0) (область, ограничиваемая эллипсом, остается слева).

Рис. 52.10

Пусть кусочно гладкая поверхность (Sigma) склеена из гладких простых кусков (Sigma_, Sigma_, ldots, Sigma_). Если склеивание происходит вдоль кривой (gamma), то после удаления концов кривой (gamma) она входит в края двух и только двух поверхностей (Sigma_). Кусочно гладкая поверхность (Sigma) называется ориентируемой, если можно так ориентировать гладкие куски (Sigma_), (i = overline) что после согласования ориентации (Sigma_) с ориентациями (partial Sigma_) любая кривая склейки будет входить в состав краев соответствующих двух поверхностей с противоположными ориентациями (рис. 52.11).

Рис. 52.11

Можно показать, что кусочно гладкая поверхность, являющаяся границей ограниченной области, ориентируема, при этом каждый ее гладкий кусок можно ориентировать внутренними нормалями. В дальнейшем мы будем рассматривать только ориентируемые гладкие и кусочно гладкие поверхности.

💡 Видео

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

7. ФНП. Касательная плоскость и нормальная прямая к поверхностиСкачать

Касательная плоскость и нормаль к поверхности | ФНП 2.4Скачать

Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Репетитор по математике ищет нормаль к плоскостиСкачать

Начертательная геометрия Лекция 9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать

11 класс, 25 урок, Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхностьСкачать

§3.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Дифференциальная геометрия | вторая квадратичная форма | нормальные сеченияСкачать