Вектор мгновенной линейной скорости

Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.

Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью.

Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения » open=» υ = ∆ r ∆ t ; » open=» υ ↑ ↑ ∆ r .

Рисунок 1 . Средняя скорость сонаправлена перемещению

Модуль средней скорости по пути равняется » open=» υ = S ∆ t .

Видео:Урок 24. Мгновенная скорость. Равноускоренное движение. УскорениеСкачать

Мгновенная скорость точки. Формулы

Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.

Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость » open=» υ при стремлении промежутка времени ∆ t к 0 :

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .

Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение d r совпадает с бесконечно малым элементом траектории d s .

Рисунок 2 . Вектор мгновенной скорости υ

Имеющееся выражение υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .

Видео:Мгновенная скорость (видео 6)| Векторы. Прямолинейное движение | ФизикаСкачать

Перемещение и мгновенная скорость

Запись модуля вектора υ примет вид:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r = r q 1 , q 2 , q 3 , тогда значение скорости запишется как:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .

Рисунок 3 . Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат

При сферических координатах предположим, что q 1 = r ; q 2 = φ ; q 3 = θ , то получим υ , представленную в такой форме:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , где υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .

Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением d r = υ ( t ) d t

Дан закон прямолинейного движения точки x ( t ) = 0 , 15 t 2 — 2 t + 8 . Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 0 . 3 t — 2 ; υ ( 10 ) = 0 . 3 × 10 — 2 = 1 м / с .

Ответ: 1 м / с .

Движение материальной точки задается уравнением x = 4 t — 0 , 05 t 2 . Вычислить момент времени t о с т , когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость » open=» υ .

Решение

Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:

υ ( t ) = x ˙ ( t ) = 4 — 0 , 1 t .

4 — 0 , 1 t = 0 ; t о с т = 40 с ; υ 0 = υ ( 0 ) = 4 ; » open=» υ = ∆ υ ∆ t = 0 — 4 40 — 0 = 0 , 1 м / с .

Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0 , 1 м / с .

Видео:Урок 44. Вращение твердого тела. Линейная и угловая скорость. Период и частота вращения.Скачать

Средняя и мгновенная скорость

Физическая величина, которая характеризует быстроту изменения координаты – скорость ( ).

Средняя скорость движения – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к интервалу времени, за который это перемещение произошло.

.

Средняя скорость – это величина, численно равная перемещению в единицу времени..

Направление вектора средней скорость всегда совпадает с направлением вектора перемещения:

Если точка движется прямолинейно в одном направлении , то S = | | = |x – x₀|.

Следовательно, модуль средней скорости по пути равен:

В международной системе единиц (СИ) скорость измеряется в метрах в секунду:

В системе единиц СГС (название по первым буквам трех основных единиц: сантиметр, грамм, секунда) скорость измеряется в сантиметрах в секунду:

Мгновенной скоростью _мгн называется скорость в данный момент времени.

Мгновенная скорость определяется как предел отношения вектора перемещения к интервалу времени, за который это перемещение происходит, при стремлении интервала времени к нулю:

.

С точки зрения математики формула представляет собой определение первой производной по времени от радиус-вектора:

(или ).

Вектор скорости, как и любой вектор, можно задавать тремя компонентами по осям координат:

, (4)

т.е. компоненты вектора скорости выражаются производными по времени от соответствующих координат точки.

Примечание. Если известен вид функций, выражающих зависимость координат от времени, то компоненты скорости получим, дифференцируя эти функции по времени. Наоборот, если известно, как компоненты скорости точки зависят от времени, то при помощи обратной операции – интегрирования – мы найдем вид функций, выражающих зависимость координат от времени (см. примечание в § 7).

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории (рис. 12). Исходя этого, можно дать следующее определение траектории:

Траектория – это линия, касательная к каждой точке которой совпадает с направлением вектора скорости в этих точках.

По характеру изменения скорости механические движения классифицируются на равномерные и неравномерные.

При равномерном движении модуль скорости в любой момент времени – величина постоянная:

| _cp| = | _мгн| = const | | = const

При неравномерном (переменном) движении модуль скорости изменя-ется:

– Переменное движение, при котором модуль скорости увеличивается, (v > v₀) – это ускоренное движение.

– Переменное движение, при котором модуль скорости уменьшается (v

Дата добавления: 2015-01-15 ; просмотров: 10 ; Нарушение авторских прав

Видео:Скорость как вектор: линейная и угловая скорость при движении по окружностиСкачать

Формула линейной скорости

Скорость движения тела ($overline$) называют линейной, если хотят подчеркнуть ее отличие от угловой скорости ($omega $). Чаще величину $overline$, являющуюся векторной величиной, основной характеристикой движения тела, называют просто скоростью.

Видео:угловая и линейная скоростьСкачать

Формула мгновенной скорости

Мгновенная скорость (обычно просто скорость) — это векторная величина, равная первой производной от радиус-вектора ($overline$), определяющего положение движущейся материальной точки, по времени ($t$):

Представим вектор $overline$ в декартовой системе координат в виде:

где $overline$; $overline$; $overline$ — единичные орты соответствующих осей координат, постоянные во времени, при этом формулой скорости можно считать выражение:

Проекциями вектора скорости на оси координат X, Y,Z являются:

Величину (модуль) скорости найдем в соответствии с формулой:

Если движение задается при помощи параметров траектории, что означает: известны траектория и функция пути от времени ($s(t)$); путь отсчитывают от точки траектории, которую считают начальной; каждая точка траектории характеризуется своей величиной $s$; радиус — вектор является функцией от $s,$ и траекторию можно задать при помощи уравнения:

в таком случае в формуле (1) $overlineleft(tright)$ будем рассматривать как сложную функцию: $overlineleft[sleft(tright)right]$, формулой скорости станет:

Величина $Delta s$ — это расстояние между двумя точками по траектории движения тела. Модуль $left|Delta overlineright|$ — расстояние между этими точками по кратчайшему направлению — прямой. При сближении рассматриваемых двух точек разница между $Delta s$ и $left|Delta overlineright|$ уменьшается. Имеем:

где $overline$ — единичный вектор, касательный к траектории движения материальной точки. Кроме этого:

модуль скорости движения точки по траектории. Уравнение (6) представим как:

Формула (9) показывает, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения тела (материальной точки).

Видео:Мгновенная скорость (видео 6) | Векторы. Прямолинейное движение | ФизикаСкачать

Формулы средней скорости

Вектор средней скорости ($leftlangle overlinerightrangle $) при движении между двумя точками определяют как:

где в скобках у вектора средней скорости указан промежуток времени, для которого найдена средняя скорость; $Delta overline$ — вектор перемещения точки; $Delta t$- время движения.

При неравномерном движении средняя скорость для разных промежутков времени не одинакова. Устремляя $Delta t$ к нулю, мы получим, что средняя скорость стремится к величине мгновенной скорости.

Иногда при вычислении средней скорости (ее называют средне путевой) применяют другую формулу:

[leftlangle vrightrangle =fracleft(11right),]

где $s$- весь путь пройденный точкой; $t$ — все время ее движения. В этом случае средняя скорость — это скаляр.

Видео:Физика: Понятие Вектор, Вектор СкоростиСкачать

Формулы линейной скорости при движении разных видов

Если тело движется равномерно, скорость постоянная величина. Ее формулой считают:

где $s$ — путь; $t$ — время движения. При равномерном прямолинейном движении у скорости постоянным является не только величина, но и направление, при этом записывают:

Если тело перемещается с постоянным ускорением (при $overline=const$) скорость равна:

Видео:Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Угловая и линейная скорости

При движении по кривой вместе со скоростью движения по траектории ($v$- линейная скорость) вводят угловую скорость ($omega $), которая характеризует быстроту изменения угла поворота $varphi $:

Связь между линейной и угловой скоростями определена формулой:

где $R$ — радиус кривизны траектории, по которой движется точка.

Видео:Линейная и угловая скорости при равномерном движении по окружностиСкачать

Примеры задач с решением

Задание. Положение материальной точки, задано радиус-вектором $overlineleft(tright),$ который является функцией времени: $overlineleft(tright)=^4overline+t^2overline,$ где $overline$ и $overline$ — единичные векторы осей X и Y (рис.1). Чему равен модуль скорости точки в момент времени $t=1$c?

Решение. В качестве основы для решения задачи воспользуемся формулой скорости:

Подставим в выражение (1.1) $overlineleft(tright)=t^4overline+3t^2overline,$ получим:

Из уравнения (1.2) имеем:

Используя теорему Пифагора, величину скорости вычислим как:

Ответ. $v=sqrtfrac$

Задание. С какой скоростью должен лететь самолет с востока на запад на широте $varphi $, чтобы за окном иллюминатора всегда было светло? Радиус Земли считать равным R.

Решение. Сделаем рисунок.

Самолет летит по окружности (рис.2), радиус которой найдем как:

Для того чтобы не наступала ночь, тело должно двигаться с угловой скоростью, которая равна скорости вращения Земли вокруг своей оси ($omega $). Для вычисления скорости движения самолета воспользуемся формулой:

Угловую скорость вращения Земли найдем, зная, что период вращения Земли составляет 24 ч ($T=24 ч$), следовательно, величину угловой скорости вращения Земли можно считать известной и равной:

Окончательно получим, скорость движения самолёта равна:

🔥 Видео

Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

угловая СКОРОСТЬ формула угловое УСКОРЕНИЕ 9 классСкачать

Урок 88 (осн). Линейная скорость точки на вращающемся телеСкачать

УСКОРЕНИЕ - Что такое равноускоренное движение? Как найти ускорение // Урок Физики 9 классСкачать

Лекция 6.2 | Угловая и линейная скорость | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ - Угловое Перемещение, Угловая Скорость, Центростремительное УскорениеСкачать

Мгновенный центр скоростейСкачать

Рассмотрение темы: "Тангенциальное, нормальное и полное ускорение"Скачать

Соотношение угловой скорости и линейной скоростиСкачать

Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение | Физика 9 класс #5 | ИнфоурокСкачать

Средняя и мгновенная скоростиСкачать