Вектор и угол в 90 градусов

Угол между векторами.
Вектор и угол в 90 градусов

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =a · b
| a |·| b |

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=24=24= 0.96
| a | · | b |5 · 525

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=40=40=4= 0.8
| a | · | b |5√ 2 · 5√ 2505

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =a · b=28=14
| a | · | b |5 · 615

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Вектор и угол в 90 градусов

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

11 класс, 5 урок, Угол между векторами

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусовназывается вектор Вектор и угол в 90 градусов, начало которого совпадает с началом вектора Вектор и угол в 90 градусов, а конец — с концом вектора Вектор и угол в 90 градусов, при условии, что начало вектора Вектор и угол в 90 градусовприложено к концу вектора Вектор и угол в 90 градусов) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Вектор и угол в 90 градусов

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусов— векторы, Вектор и угол в 90 градусов— угол между ними, а Вектор и угол в 90 градусов— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Вектор и угол в 90 градусов,

где Вектор и угол в 90 градусов— угол, смежный с углом Вектор и угол в 90 градусов. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Вектор и угол в 90 градусов.

В случае вычитания векторов (Вектор и угол в 90 градусов) происходит сложение вектора Вектор и угол в 90 градусовс вектором Вектор и угол в 90 градусов, противоположным вектору Вектор и угол в 90 градусов, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусови между Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусовявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусовобразуют угол Вектор и угол в 90 градусов. Их длины: Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Вектор и угол в 90 градусов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Вектор и угол в 90 градусов.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Вектор и угол в 90 градусов.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Вектор и угол в 90 градусов

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Вектор и угол в 90 градусов

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусовобразуют угол Вектор и угол в 90 градусов. Их длины: Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Вектор и угол в 90 градусов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Вектор и угол в 90 градусов.

Пример 3. Даны длины векторов Вектор и угол в 90 градусови длина их суммы Вектор и угол в 90 градусов. Найти длину их разности Вектор и угол в 90 градусов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Вектор и угол в 90 градусов

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Вектор и угол в 90 градусов

Пример 4. Даны длины векторов Вектор и угол в 90 градусови длина их разности Вектор и угол в 90 градусов. Найти длину их суммы Вектор и угол в 90 градусов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Вектор и угол в 90 градусов

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусов:

Вектор и угол в 90 градусов

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Вектор и угол в 90 градусов

Пример 5. Векторы Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусоввзаимно перпендикулярны, а их длины Вектор и угол в 90 градусов. Найти длину их суммы Вектор и угол в 90 градусови и длину их разности Вектор и угол в 90 градусов.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Вектор и угол в 90 градусов

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Вектор и угол в 90 градусови Вектор и угол в 90 градусов, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Вектор и угол в 90 градусов,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Вектор и угол в 90 градусов,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Вектор и угол в 90 градусов?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Вектор и угол в 90 градусов

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Вектор и угол в 90 градусов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Вектор и угол в 90 градусов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

🎬 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)

№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать

№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

9 класс, 17 урок, Угол между векторами

Угол между векторамиСкачать

Угол между векторами

Угол между векторами. Уроки 11. Геометрия 9 классСкачать

Угол между векторами. Уроки 11. Геометрия 9 класс

100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

105. Угол между векторамиСкачать

105. Угол между векторами

Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

9 класс, 18 урок, Скалярное произведение векторовСкачать

9 класс, 18 урок, Скалярное произведение векторов

ЛОВИ ПРОДОЛЖЕНИЕ 😉 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

ЛОВИ ПРОДОЛЖЕНИЕ 😉 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ
Поделиться или сохранить к себе: