Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Видео:ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Чему равна дуга если в окружности провести диаметрОсновные определения и свойства. Число π
Чему равна дуга если в окружности провести диаметрФормулы для площади круга и его частей
Чему равна дуга если в окружности провести диаметрФормулы для длины окружности и ее дуг
Чему равна дуга если в окружности провести диаметрПлощадь круга
Чему равна дуга если в окружности провести диаметрДлина окружности
Чему равна дуга если в окружности провести диаметрДлина дуги
Чему равна дуга если в окружности провести диаметрПлощадь сектора
Чему равна дуга если в окружности провести диаметрПлощадь сегмента

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
ДугаЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
КругЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
СекторЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
СегментЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
Правильный многоугольникЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
Чему равна дуга если в окружности провести диаметр
Окружность
Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Формулы для площади круга и его частей

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в радианах

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в градусах

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в радианах

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
Площадь сектораЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
Площадь сегментаЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
Площадь круга
Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в радианах

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в радианах

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
Длина дугиЧему равна дуга если в окружности провести диаметр
Длина окружности
Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиЧему равна дуга если в окружности провести диаметр

если величина угла α выражена в радианах

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Длина окружности

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

из которой вытекает равенство:

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

из которой вытекает равенство:

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Видео:Как найти центр круга в мастерской (4 способа)Скачать

Как найти центр круга в мастерской (4 способа)

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

из которой вытекает равенство:

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

из которой вытекает равенство:

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

Чему равна дуга если в окружности провести диаметр

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

🔥 Видео

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)
Поделиться или сохранить к себе: