Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:
Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой апх, + + aj2х2 = bn i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х <= 0, х2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.
Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.
Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.
Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х <+ Зх2 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.
Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:
Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c[xl + с2х2 = f(x0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.
Рис. 2.2.2. Вектор-градиент и линии уровня
Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону — только убывает.
Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:
- 1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
- 2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х0 (0; 0): V = (с,, с2).
- 3. Линия уровня CjXj + с2х2 = а (а — постоянная величина) — прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, — передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(xv х2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*,, х2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(xpjc2).
Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(xр х2) не существует.
Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.
4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x<, х2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.
Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.
Видео:ГрадиентСкачать
Нахождение градиента вектор-функции
Дата публикации Oct 20, 2018
ВЧасть 1Нам поставили задачу: вычислить градиент этой функции потерь:
Чтобы найти градиент, мы должны найти производную функцию. ВЧасть 2мы научились вычислять частную производную функции по каждой переменной. Однако большинство переменных в этой функции потерь являются векторами. Возможность найти частную производную векторных переменных особенно важна, поскольку нейронная сеть работает с большими объемами данных. Векторные и матричные операции — это простой способ представления операций с таким большим количеством данных. Как именно вы можете найти градиент вектор-функции?
Видео:Вектор-градиент (теория)Скачать
Градиент скалярной функции
Скажи, что у нас есть функция,f (x, y) = 3x²y, Наши частные производные:
Если мы организуем эти части в горизонтальный вектор, мы получимградиентизР (х, у), или∇ f (x, y):
6yxэто изменение вР (х, у)в отношении изменения вИкс, в то время как3x²это изменение вР (х, у)в отношении изменения вY,
Что происходит, когда у нас есть две функции? Давайте добавим еще одну функцию,g (x, y) = 2x + y⁸, Частные производные:
Таким образом, градиент g (x, y):
Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать
Представляющие функции
Когда у нас есть несколько функций с несколькими параметрами, часто полезно представлять их более простым способом. Мы можем объединить несколько параметров функций в один векторный аргумент,Иксэто выглядит следующим образом:
Следовательно,Р (х, у, г)станетF (x₁, x₂, x₃)который становитсяе (Икс).
Мы также можем объединить несколько функций в вектор, например так:
В настоящее время,у = F (X)гдеF (X)является вектором из [f₁ (Икс), f₂ (Икс), f₃ (Икс) . п (Икс)]
Для нашего предыдущего примера с двумя функциями,f (x, y) ⇒ f (Икс)а такжеg (x, y) ⇒ g (Икс).Здесь векторИкс= [x₁, x₂], гдеx₁ = х, а такжеx₂ = у, Чтобы упростить его еще больше, мы можем объединить наши функции: [f (Икс),г(Икс)] = [f₁ (Икс), f₂ (Иксзнак равноf (x) = y.
Зачастую количество функций и количество переменных будет одинаковым, поэтому для каждой переменной существует решение.
Видео:Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать
Градиент вектор-функции
Теперь, когда у нас есть две функции, как мы можем найти градиент обеих функций? Если мы организуем оба их градиента в одну матрицу, мы переместимся из векторного исчисления в матричное исчисление. Эта матрица и организация градиентов нескольких функций с несколькими переменными, известна какМатрица Якобиана,
Есть несколько способов представления якобиана. Этот макет, где мы укладываем градиенты по вертикали, известен какмакет числителя, но другие документы будут использоватьрасположение знаменателя, который просто переворачивает его по диагонали:
Видео:ГрадиентСкачать
Градиент функции идентичности
Давайте возьмем функцию идентичности,у = ф (х) = х, гдеFi (Икс) = xiи найдите его градиент:
Так же, как мы создали наш предыдущий якобиан, мы можем найти градиенты каждой скалярной функции и сложить их вертикально, чтобы создать якобиан тождественной функции:
Поскольку это функция идентичности, f₁ (Икс) = x₁, f₂ (Икс) = х₂ и тд. Следовательно,
Частичная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю. Например, частная производная 2x² по y равна 0. Другими словами,
Поэтому все, что не на диагонали якобиана, становится равным нулю. Между тем, частная производная любой переменной по отношению к себе равна 1. Например, частная производнаяИксв отношенииИксравен 1. Следовательно, якобиан становится:
Видео:Линейная зависимость векторовСкачать
Градиент комбинаций вектор-векторных функций
Элементарные бинарные операторыявляются операциями (такими как сложениевес+Иксиливес>Икскоторый возвращает вектор единиц и нулей), который применяет оператор последовательно, начиная с первого элемента обоих векторов, чтобы получить первый элемент вывода, затем второго элемента обоих векторов, чтобы получить второй элемент вывода… и так далее.
Эта статья представляет поэлементные бинарные операции с такими обозначениями:
Здесь ◯ означает любой поэлементный оператор (например, +), а не композицию функций.
Итак, как вы находите градиент поэлементной операции двух векторов?
Поскольку у нас есть два набора функций, нам нужны два якобиана, один из которых представляет градиент относительноИкси один по отношению квес:
Большинство арифметических операций нам понадобятся простые, поэтомуе (ш)часто просто векторвес, Другими словами,Fi (Wi) = Wi, Например, операцияW + хподходит к этой категории, так как она может быть представлена каке (ж) + д (х)гдеfi (wi) + gi (xi) = wi + xi.
При этом условии каждый элемент в двух якобианах упрощается до:
На диагонали i = j, поэтому существует значение для частной производной. Вне диагонали, однако, i ≠ j, поэтому частные производные становятся равными нулю:
Мы можем представить это более кратко как:
Попробуем найти градиент функцииW + х, Мы знаем, что все вне диагонали равно 0. Значения частичных по диагонали относительновеса такжеИксявляются:
Итак, оба якобиана имеют диагональ 1. Это выглядит знакомо . это матрица тождеств!
Давайте попробуем это с умножением:ш * х, Значения частностей по диагонали относительновеса такжеИксявляются:
Следовательно, градиент по отношению квесизш * хявляетсяDiag (Икс)в то время как градиент по отношению кИксизш * хявляетсяDiag (вес).
Применяя те же шаги для вычитания и деления, мы можем суммировать все это:
Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать
Градиент векторных сумм
Одной из наиболее распространенных операций в глубоком обучении является операция суммирования. Как мы можем найти градиент функцииу = сумма (Икс)?
у = сумма (Икс)также может быть представлен как:
Следовательно, градиент может быть представлен как:
А так как частная производная функции по переменной, которой нет в функции, равна нулю, ее можно дополнительно упростить следующим образом:
Обратите внимание, что результатом является горизонтальный вектор.
Как насчет градиентау = сумма (Иксг)? Единственное отличие состоит в том, что мы умножаем каждый частный с константой, z:
Хотя это является производной по отношению кИкс, производная по скаляруZэто просто число:
Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать
Градиент комбинаций векторных функций правила цепочки
ВЧасть 2мы узнали о правилах цепей с несколькими переменными. Однако это работает только для скаляров. Давайте посмотрим, как мы можем интегрировать это в векторные вычисления!
Давайте возьмем векторную функцию,Yзнак равное(Икс)и найти градиент. Давайте определим функцию как:
И то и другоеf₁ (х)а такжеf₂ (х)являются составными функциями. Введем промежуточные переменные дляf₁ (х)а такжеf₂ (х)и переписать нашу функцию:
Теперь мы можем использовать наше правило цепочки переменных, чтобы вычислить производную вектораY, Просто вычислите производнуюf₁ (х)а такжеf₂ (х)и поместите их один над другим:
Вуаля! У нас есть наш градиент. Однако мы пришли к нашему решению со скалярными правилами, просто сгруппировав числа в вектор. Есть ли способ представить правило цепи с несколькими переменными для векторов?
Прямо сейчас наш градиент вычисляется с помощью:
Обратите внимание, что первый член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₁надИкси второй член градиентов обоихf₁ (х)а такжеf₂ (х)включает частичноеg₂надИкс Это как умножение матриц! Поэтому мы можем представить это как:
Давайте проверим наше новое представление правила цепочки векторов:
Мы получаем тот же ответ, что и скалярный подход! Если вместо одного параметраИксу нас есть векторный параметрИкснам просто нужно немного изменить наше правило, чтобы получить полное правило цепочки векторов:
В нашем примере выше,еэто чисто функцияг; то есть,фиявляется функциейсолдатно нетGJ(каждая функцияесоответствует ровно 1 функцииг),В этом случае все вне диагонали становится равным нулю, и:
Теперь у нас есть все части, которые мы находим в градиенте нейронной сети, с которой мы начали нашу серию:
Проверять, выписыватьсяЧасть 4чтобы узнать, как вычислить его производную!
Если вы еще этого не сделали, прочитайте части 1 и 2:
ЧитатьЧасть 4для грандиозного финала!
Скачать оригинал статьиВот,
Если вам понравилась эта статья, не забудьте оставить несколько хлопков! Оставьте комментарий ниже, если у вас есть какие-либо вопросы или предложения 🙂
Видео:Нахождение градиента функции в точкеСкачать
Градиент функции онлайн
Градиент функции — это вектор координатами которого являются частные производные этой функции по всем её переменным.
Градиент обозначается символом набла . Выражение градиента некоторой функции записывается следующим образом:
где , , — частные производные функции по переменным , , соответственно.
Вектор градиента указывает направление наискорейшего роста функции. Рассмотрим график функции .
Эта функция достигает своего единственного максимума в точке . График градиентного поля данной функции имеет вид:
Из данного градика видно, что в каждой точке вектор градиента направлен в сторону наискорейшего роста функции, т.е. в точку . При этом модуль вектора отражает скорость роста (крутизну подъёма) функции в этом направлении.
Задача вычисления градиента функции очень часто возникает при поиске эстремумов функции с использованием различных численных методов.
Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить градиент практически любой функции как общем виде, так и в конкретной точке с описанием подробного хода решения на русском языке.
📸 Видео
Линейная зависимость векторов на примерахСкачать
Линейная Функция — как БЫСТРО построить график и получить 5-куСкачать
Градиент. ТемаСкачать
Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать
Лекция. Вычисление производной. ГрадиентСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать
Математика это не ИсламСкачать
Градиент | ФНП 2.2Скачать
ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХСкачать
Градиент в точке.Скачать
