В основание пирамиды можно вписать окружность

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

В основание пирамиды можно вписать окружность

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

В основание пирамиды можно вписать окружность

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

10 класс, 33 урок, Правильная пирамида

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

В основание пирамиды можно вписать окружность

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

В основание пирамиды можно вписать окружность

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

В основание пирамиды можно вписать окружность

Верно и обратное.

Видео:№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. БоковыеСкачать

№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Видео:Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основанияСкачать

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания

В основание пирамиды можно вписать окружность

Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Видео:№253. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4√6 смСкачать

№253. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4√6 см

Пирамида около основания которой описана окружность

Видео:10 класс, 32 урок, ПирамидаСкачать

10 класс, 32 урок, Пирамида

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

В основание пирамиды можно вписать окружность

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

В основание пирамиды можно вписать окружность

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Видео:Условия проецирования вершины пирамиды в центр вписанной окружности в треугольник, ромб, трапецию.Скачать

Условия проецирования вершины пирамиды в центр вписанной окружности в треугольник, ромб, трапецию.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

В основание пирамиды можно вписать окружность

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

В основание пирамиды можно вписать окружность

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

В основание пирамиды можно вписать окружность

Верно и обратное.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№15 - Пирамида.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№15 - Пирамида.)

В основание пирамиды можно вписать окружность

Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Видео:№266. Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, являетсяСкачать

№266. Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является

Пирамида, вписанная в сферу

В основание пирамиды можно вписать окружностьПирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
В основание пирамиды можно вписать окружностьРадиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
В основание пирамиды можно вписать окружностьОтношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

В основание пирамиды можно вписать окружность

Видео:Пирамида. 11 класс.Скачать

Пирамида. 11 класс.

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

На рисунке 2 изображена пирамида SA1A2 . An , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A1A2 . An – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A1A2 . An пирамиды SA1A2 . An можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA1A2 . An можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A1A2 . An , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A1A2 . An (рис. 3).

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SAn и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA1A2 . An . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA1A2 . An .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A1A2 . An , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Видео:11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA1A2 . An и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’An (рис. 5).

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OAn получаем

В основание пирамиды можно вписать окружность(1)

В основание пирамиды можно вписать окружность

из формулы (1) получаем соотношение

В основание пирамиды можно вписать окружность(2)

Ответ. В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

В основание пирамиды можно вписать окружность

Видео:№246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведеннаяСкачать

№246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Ответ. В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Видео:Объём пирамидыСкачать

Объём пирамиды

Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Призма и пирамида. Площадь и объем.  Вебинар | Математика 10 класс

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Видео:ТЕМА 5. ПОСТРОЕНИЕ ШЕСТИГРАННОЙ ПРИЗМЫ, КОНУСА И ЧЕТЫРЕХГРАННОЙ ПИРАМИДЫ.Скачать

ТЕМА 5.  ПОСТРОЕНИЕ ШЕСТИГРАННОЙ ПРИЗМЫ, КОНУСА И ЧЕТЫРЕХГРАННОЙ ПИРАМИДЫ.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Видео:Тема 5. Пирамида. Правильная пирамида. Свойства правильной пирамиды. Площадь боковой и полнойСкачать

Тема 5. Пирамида. Правильная пирамида. Свойства правильной пирамиды. Площадь боковой и полной

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр .

Видео:Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. РЕШЕНИЕ!Скачать

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. РЕШЕНИЕ!

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

  • все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
  • длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

  • в основании должен находиться правильный многоугольник;
  • боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПИРАМИДЫ // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПИРАМИДЫ // СТЕРЕОМЕТРИЯ

Объем пирамиды

В основание пирамиды можно вписать окружность

Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту:

S h> , где S — площадь основания, h — высота пирамиды.

Видео:Математика, 12-й класс, Пирамида. Элементы. КлассификацияСкачать

Математика, 12-й класс, Пирамида. Элементы. Классификация

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

В основание пирамиды можно вписать окружность

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

В основание пирамиды можно вписать окружность

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

В основание пирамиды можно вписать окружность

Верно и обратное.

Правильная пирамида с треугольным основанием

Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

  • ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
  • боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.

Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

  • сторона основания;
  • боковое ребро;
  • апофема боковой грани;
  • высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

В основание пирамиды можно вписать окружность

14.1. Определение пирамиды и её элементов

Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания, называются боковыми рёбрами пирамиды .

Пирамиду с основанием АВСDЕ и вершиной Р обозначают PABCDE .

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды . Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник .

На рисунке 96 изображена четырёхугольная пирамида PABCD, у которой: четырёхугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РA, РВ, PC, PD — боковые рёбра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (рёбра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

У n- угольной пирамиды имеется ( n + 1) вершин, 2 n рёбер и ( n + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде различают плоские углы при её вершине и двугранные углы при её рёбрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром ( « тетраэдр» по-гречески означает «четырёхгранник» ) . Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.

Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить её отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объёмов многогранников.

14.2. Некоторые виды пирамид

Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то : а ) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды ; б ) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Доказательств о. а) Пусть отрезок РО — высота пирамиды PABCDEF, все рёбра которой составляют с плоскостью основания угол ϕ (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, POB, POC, POD, РОЕ и POF, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ϕ ) . Из равенства этих треугольников следует: ОА = OВ = ОС = OD = OE = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О её высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.

б) Из ОА = OВ = ОС = OD = ОЕ = OF следует, что боковые рёбра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = PC = PD = РЕ = PF. Что и требовалось доказать. ▼

Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.

1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около её основания, то: а) все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

2. Если все боковые рёбра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью её основания равные между собой углы.

Также имеет место следующее утверждение.

Если высота пирамиды пересекает её основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в её основание.

Доказательств о. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ϕ (рис. 99).

В основание пирамиды можно вписать окружность

Проведём высоты РН 1 , РH 2 , РН 3 , PH 4 , РH 5 боковых граней.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем OH 1 ⟂ AB, OH 2 ⟂ BC, OH 3 ⟂ CD, OH 4 ⟂ DE, OH 5 ⟂ EA, следовательно, ∠ OH 1 P = ∠ OH 2 P = ∠ OH 3 P = ∠ OH 4 P = ∠ OH 5 P = ϕ . Поэтому △ OH 1 P = △ OH 2 P = △ OH 3 P = △ OH 4 P = △ OH 5 P (как прямоугольные с общим катетом OP и острым углом ϕ ) . Из равенства этих треугольников следует ОН 1 = OH 2 = OH 3 = ОН 4 = ОН 5 , т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка O является центром окружности, вписанной в основание ABCDE данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Самостоятельно докажите обратное утверждение.

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

Перечислим ещё несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

• Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).

• Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).

• Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).

14.3. Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого основания.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.

Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.

На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной.

Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Доказательств о. Рассмотрим правильную n- угольную пирамиду РА 1 А 2 . A n . Пусть точка O — центр n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n ; отрезок РО — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).

Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то ОА 1 = OA 2 = OA 3 = . = OA n (как радиусы описанной окружности). Тогда равны боковые рёбра пирамиды, как наклонные к плоскости её основания, имеющие равные проекции, т. е. PA 1 = PA 2 = PA 3 = . = PA n .

Таким образом, имеем:

РА 1 = РA 2 = . = PA n (как боковые рёбра);

A 1 A 2 = A 2 A 3 = . = A n A 1 (как стороны правильного n- угольника).

Следовательно, треугольники PA 1 A 2 , РA 2 A 3 , . PA n A 1 являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.

Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей её высоту.

Так как точка О — центр правильного n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n , лежащего в основании правильной пирамиды PA 1 A 2 . A n , РО — перпендикуляр к плоскости её основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол, равный В основание пирамиды можно вписать окружность(где k = 1, 2, 3, . n ), происходит самосовмещение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые рёбра пирамиды отображаются на боковые рёбра, а боковые грани пирамиды — на её боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано. ▼

Следствием доказанного выше является утверждение.

Все боковые рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.

Докажите это предложение самостоятельно.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к ребру её основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок РН — одна из апофем пирамиды.

Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех её боковых граней.

Имеют место признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все её боковые рёбра равны; б) все её боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Докажите это самостоятельно.

 ЗАДАЧА (2.245). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол α . Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая её. Найти площадь сечения.

Дан о: PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = h ; ∠ OPF = α .

Решени е. Первый спосо б . Пусть отрезок EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD ⟂ EF, AD ⟂ PF ⇒ АD ⟂ ( РEF ) ⇒ ( PEF ) ⟂ ( ADP ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогональной проекцией прямой РO на плоскость ADP. Значит, ∠ OPF — угол между высотой PO и боковой гранью ADP пирамиды: ∠ OPF = α .

В основание пирамиды можно вписать окружность

Далее имеем: AD ⟂ ( PEF ), ВС || AD ⇒ ВC ⟂ ( PEF ) ⇒ прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL ⟂ РЕ (в плоскости PEF ) , то BС ⟂ FL. Тогда FL ⟂ ВС, FL ⟂ PE ⇒ FL ⟂ ( BCP ) ⇒ ( ADL ) ⟂ ( ВCР ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом ( ADL ) ∩ ( ВСР ) = МK , МK || AD, так как плоскости ВСР и АDL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда

S сеч = В основание пирамиды можно вписать окружность• FL.

Найдём AD, МK и FL.

В △ OPF ( ∠ POF = 90 ° ):

OF = OP • tg α = h • tg α ; PF = В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность= PE.

EF = 2 FO = 2 h • tg α = ВС.

В плоскости PEF получаем:

FL ⟂ РЕ, РО ⟂ EF ⇒ ∠ EFL = ∠ OPE = α .

Тогда в △ ЕFL : FL = ЕF • cos α = 2 h • tg α • cos α = 2 h sin α ;

в △ PLF ( ∠ PLF = 90 ° , ∠ PFL = 90 ° – 2 α ):

PL = PF • sin (90 ° – 2 α ) = PF • cos 2 α = В основание пирамиды можно вписать окружность.

Так как MK | | BC, то △ МKР ∾ △ ВСР, откуда

В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность⇒ MK = В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность=
= 2 h tg α • cos 2 α .

AD = EF = 2 h • tg α , FL = 2 h • sin α , MK = 2 h • tg α • cos 2 α .

S сеч = В основание пирамиды можно вписать окружность• FL = В основание пирамиды можно вписать окружность• 2 h • sin α =
= В основание пирамиды можно вписать окружность= 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

В основание пирамиды можно вписать окружность

Замечание. Отрезок MK можно найти следующим образом. Сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MK параллельно основанию пирамиды, является квадрат MKD 1 A 1 (см. рис. 105). F 1 = A 1 D 1 ∩ PF. У этого квадрата LF 1 = MK. Найдём F 1 L .

В треугольнике LFF 1 имеем ∠ FLF 1 = α ( LF 1 || EF ) ,

∠ F 1 FL = ∠ OFP – ∠ OFL = (90 ° – α ) – α = 90 ° – 2 α ;

∠ FF 1 L = 180 ° – ∠ OFF 1 = 90 ° + α . Тогда по теореме синусов

В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность
⇒ LF 1 = В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Значит, MK = LF 1 = 2 h • tg α • cos 2 α .

Второй спосо б . Пусть точки M 1 , K 1 , L 1 — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, K, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, M 1 ∈ BD, K 1 ∈ AC, L 1 ∈ EF, причём четырёхугольник ADK 1 M 1 — равнобедренная трапеция.

Таким образом, трапеция ADK 1 M 1 — ортогональная проекция сечения ADKM. Это означает, что S ADKM = В основание пирамиды можно вписать окружность. Найдём В основание пирамиды можно вписать окружность. Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и M 1 K 1 || AD, то OL 1 = L 1 K 1 , OF = FD. Значит,

В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность• L 1 F = В основание пирамиды можно вписать окружность• FL 1 = В основание пирамиды можно вписать окружность.

S ADKM = В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность= 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

Ответ: 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

1 4.4. Площади боковой и полной поверхностей пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.

Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают S бок ) называется сумма площадей всех её боковых граней: S бок = S 1 + S 2 + . + S n , где S 1 , S 2 , . S n — площади боковых граней пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают S полн ) называется сумма площадей всех её граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности.

Из определения следует: S полн = S бок + S осн .

О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место следующая теорема.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Доказательств о. PA 1 A 2 . A n — правильная пирамида, a — длина её апофемы (рис. 107).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного n- угольника A 1 A 2 . A n , а высоты равны апофеме пирамиды, т. е.

РE 1 = РE 2 = PE 3 = . = PE n = a.

S бок = S △ PA 1 A 2 + S △ PA 2 A 3 + . + S △ PA n A 1 =
= В основание пирамиды можно вписать окружностьA 1 A 2 • PE 1 + В основание пирамиды можно вписать окружностьA 2 A 3 • PE 2 + . + В основание пирамиды можно вписать окружностьA n A 1 • PE n =
= В основание пирамиды можно вписать окружностьa • ( A 1 A 2 + A 2 A 3 + . + A n A 1 ) = В основание пирамиды можно вписать окружностьP • a,

где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. ▼

В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то S бок = В основание пирамиды можно вписать окружность.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Доказательств о. Пусть отрезок PO — высота пирамиды РA 1 A 2 A 3 . A n , все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ϕ (рис. 108); отрезки PH 1 , PH 2 , . PH n — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) OH 1 ⟂ A 1 A 2 , OH 2 ⟂ A 2 A 3 , . OH n ⟂ A n A 1 . Значит,

∠ OH 1 P = ∠ OH 2 P = ∠ OH 3 P = .
. = ∠ OH n P = ϕ .

Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n . Поэтому n- угольник A 1 A 2 . A n является объединением непересекающихся треугольников A 1 OA 2 , A 2 OA 3 , . A n OA 1 . Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды её соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:

S △ A 1 OA 2 = S △ A 1 PA 2 • cos ϕ ,
S △ A 2 OA 3 = S △ A 2 PA 3 • cos ϕ ,
.
S △ A n OA 1 = S △ A n PA 1 • cos ϕ .

Сложив почленно эти равенства, получим S осн = S бок • cos ϕ , откуда S бок = В основание пирамиды можно вписать окружность. Теорема доказана. ▼

Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ϕ , см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула

S бок = В основание пирамиды можно вписать окружность.

14 . 5 . Свойства параллельных сечений пирамиды

Если плоскость α параллельна основанию пирамиды и пересекает её, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).

В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательств о. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью α , параллельной плоскости β её основания, является четырёхугольник A 1 B 1 C 1 D 1 (см. рис. 109).

В основание пирамиды можно вписать окружность

Проведём высоту РО данной пирамиды и обозначим O 1 = РО ∩ α .

Рассмотрим гомотетию В основание пирамиды можно вписать окружностьс центром Р , при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия В основание пирамиды можно вписать окружностьотображает основание ABCD пирамиды на её параллельное сечение — многоугольник А 1 В 1 С 1 D 1 , при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , а точку O — на точку O 1 (почему?).

Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность= k, (*)

где k — коэффициент гомотетии В основание пирамиды можно вписать окружность. Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит её рёбра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник A 1 B 1 C 1 D 1 , являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен её основанию ABCD .

Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а k = РO 1 : РО , где РO 1 и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S A 1 B 1 C 1 D 1 : S ABCD = k 2 = В основание пирамиды можно вписать окружность: PO 2 .

В основание пирамиды можно вписать окружность В основание пирамиды можно вписать окружность

Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая её, отсекает пирамиду, подобную данной.

14.6. Усечённая пирамида

Плоскость α , параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая её, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду РA 1 B 1 C 1 D 1 и многогранник ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (см. рис. 109).

В основание пирамиды можно вписать окружность

Многогранник ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 110) называют усечённой пирамидой. Грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённой пирамиды , остальные грани — её боковыми гранями . Так как нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды гомотетичны (т. 20), то все её боковые грани — трапеции.

Таким образом, усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и параллельным ему сечением.

У n- угольной усечённой пирамиды 2 n вершин, 3 n рёбер, ( n + 2) грани и n ( n – 3) диагоналей.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённой пирамиды. На рисунке 110 отрезки О 1 О, B 1 K — высоты усечённой пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).

Из теоремы 20 следует, что основания правильной усечённой пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усечённой пирамиды . Все её апофемы равны между собой.

Отрезок OO 1 , соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, является её высотой .

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её боковых граней.

Для правильной усечённой пирамиды имеет место

В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему .

Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результате получим формулу S бок = В основание пирамиды можно вписать окружность• h , где Р 1 , P 2 — периметры нижнего и верхнего оснований усечённой пирамиды, h — её апофема.

Проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Полная поверхность усечённой пирамиды — это объединение её оснований и боковой поверхности, поэтому для усечённой пирамиды

S полн = S бок + S 1 + S 2 ,

где S 1 и S 2 — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.

Для усечённой пирамиды, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны ϕ , справедливо: S бок = В основание пирамиды можно вписать окружность. (Для вывода этой формулы достаточно учесть следующий факт: если R и r — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пирамиды, то S 1 = 0,5 • P 1 • R , S 2 = 0,5 • P 2 • r, cos ϕ = В основание пирамиды можно вписать окружность, где h — высота боковой грани этой пирамиды.)

14 . 7 . Объём пирамиды

В основание пирамиды можно вписать окружность

Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики .

Доказательств о. Пусть пирамиды РАВС и P 1 A 1 B 1 C 1 имеют высоты, равные H , и равновеликие основания с площадью S ; их объёмы — соответственно V 1 и V 2 . Докажем, что V 1 = V 2 .

Расположим пирамиды РАВС и P 1 A 1 B 1 C 1 так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причём по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих пирамид. Лемма доказана. ▼

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Доказательств о. Пусть А 1 AВC — данная треугольная пирамида с вершиной A 1 и основанием ABC (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 с тем же основанием, одним из боковых рёбер которой является боковое ребро АA 1 данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.

Призма АВCA 1 B 1 C 1 является объединением трёх треугольных пирамид с общей вершиной A 1 : A 1 ABC, A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 . Основания BB 1 C 1 и BCC 1 пирамид A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 равны, а высота у них общая. Значит, по лемме эти пирамиды имеют равные объёмы.

Будем считать точку В вершиной пирамиды A 1 BB 1 C 1 , a △ A 1 B 1 C 1 — её основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде А 1 AВС, так как у них общая высота, а основания АВС и A 1 B 1 C 1 равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCA 1 B 1 C 1 является объединением трёх равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида A 1 ABC. Это означает, что объём V пирамиды A 1 АВС составляет одну треть объёма призмы ABCA 1 B 1 C 1 , т. е. V = В основание пирамиды можно вписать окружностьS ocн • Н, где Н — длина высоты призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту, длина которой равна Н, следовательно, объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле

V = В основание пирамиды можно вписать окружностьS осн • H ,

где Н — длина высоты данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

В основание пирамиды можно вписать окружность

На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDEF и составляющие её три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF .

В основание пирамиды можно вписать окружность

Для вычисления объёма n- угольной пирамиды PA 1 A 2 . A n (рис. 115) разобьём её основание A 1 A 2 . A n диагоналями A 1 A 3 , A 1 A 4 , . A 1 A n – 1 на треугольники с общей вершиной A 1 . Тогда данная пирамида разбивается в объединение пирамид PA 1 A 2 A 3 , PA 1 A 3 A 4 , . PA 1 A n – 1 A n с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объёмов), что объём V пирамиды PA 1 A 2 . A n равен сумме объёмов V 1 , V 2 , . V n – 2 треугольных пирамид соответственно PA 1 A 2 A 3 , PA 1 A 3 A 4 , . PA 1 A n – 1 A n .

Пусть длина высоты пирамиды равна Н, площадь её основания — S, а площади треугольников разбиения этого основания равны S 1 , S 2 , . S n – 2 . Это означает, что S 1 + S 2 + . + S n – 2 = S. Тогда получаем:

V = V 1 + V 2 + . + V n – 2 = В основание пирамиды можно вписать окружностьH ( S 1 + S 2 + . + S n – 2 ) = В основание пирамиды можно вписать окружностьS • H.

Таким образом, объём любой пирамиды вычисляется по формуле

V = В основание пирамиды можно вписать окружностьS осн • H ,

где S осн — площадь основания, Н — длина высоты пирамиды.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Итак, доказана теорема.

В основание пирамиды можно вписать окружность В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼

14.8. Об объёме тетраэдра

У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из вершины, противоположной этой грани. Поэтому для объёма V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения

V = В основание пирамиды можно вписать окружностьS 1 • h 1 = В основание пирамиды можно вписать окружностьS 2 • h 2 = В основание пирамиды можно вписать окружностьS 3 • h 3 = В основание пирамиды можно вписать окружностьS 4 • h 4 ,

где S k и h k ( k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на неё высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.

Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.

Интересен также тетраэдр (рис. 116, а ), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его развёрткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б ).

Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:

— скрещивающиеся рёбра попарно равны;

— все высоты равны;

— сумма плоских углов трёхгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180 ° ;

— двугранные углы при скрещивающихся рёбрах тетраэдра равны.

В основание пирамиды можно вписать окружность

В основание пирамиды можно вписать окружность

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр A 1 C 1 BD . Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведённые шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDA 1 В 1 C 1 D 1 (рис. 117), параллельные грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 которого содержат скрещивающиеся рёбра А 1 C 1 и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 полученного параллелепипеда равно длине его высоты и равно расстоянию между скрещивающимися рёбрами А 1 C 1 и BD данного тетраэдра.

Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A 1 С 1 ВD и ещё четыре тетраэдра: A 1 ABD ; ВВ 1 A 1 C 1 ; C 1 CBD ; DD 1 A 1 C 1 . Объём каждого из четырёх последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD , т. е. шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

V A 1 C 1 BD = V – 4 • В основание пирамиды можно вписать окружностьV = В основание пирамиды можно вписать окружностьV = В основание пирамиды можно вписать окружностьh • S ABCD = В основание пирамиды можно вписать окружностьh • В основание пирамиды можно вписать окружностьAC • BD • sin ϕ =
= В основание пирамиды можно вписать окружностьh • A 1 C 1 • BD • sin ϕ ,

где ϕ — угол между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD . А так как AC || A 1 C 1 , то величина угла между скрещивающимися диагоналями A 1 С 1 и BD тетраэдра А 1 С 1 BD также равна ϕ .

Мы получили: объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся рёбер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра.

Отметим ещё несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объёмами.

1. Объёмы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.

В основание пирамиды можно вписать окружность

2. Объёмы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равные трёхгранные углы, относятся, как произведения длин рёбер, образующих эти углы.

В основание пирамиды можно вписать окружность

Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать третье утверждение.

14.9. Объём усечённой пирамиды

В основание пирамиды можно вписать окружность

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S 1 и S 2 , а высота — Н , вычисляется по формуле

V = В основание пирамиды можно вписать окружностьH ( S 1 + В основание пирамиды можно вписать окружность+ S 2 ) .

В основание пирамиды можно вписать окружность

Доказательств о. Пусть дана усечённая пирамида (рис. 119), у которой S 1 > S 2 , а высота OO 1 = H. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объём V данной усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и дополнительной пирамид.

Если длина высоты PO 1 дополнительной пирамиды равна x , то высота PO полной пирамиды равна H + x .

Выразим х через S 1 , S 2 и Н. По теореме 20 (o площадях параллельных сечений пирамиды) имеем

S 1 : S 2 = ( H + x ) 2 : x 2 ⇒ В основание пирамиды можно вписать окружность: В основание пирамиды можно вписать окружность= ( H + x ) : x ⇒
⇒ x = В основание пирамиды можно вписать окружность.

Поэтому для объёма V усечённой пирамиды находим

V = В основание пирамиды можно вписать окружностьS 1 ( H + x ) – В основание пирамиды можно вписать окружностьS 2 • x = В основание пирамиды можно вписать окружность( S 1 • H + ( S 1 – S 2 ) • x ) =
= В основание пирамиды можно вписать окружность В основание пирамиды можно вписать окружность= В основание пирамиды можно вписать окружность( S 1 H + ( В основание пирамиды можно вписать окружность+ В основание пирамиды можно вписать окружность) H В основание пирамиды можно вписать окружность) =
= В основание пирамиды можно вписать окружностьH ( S 1 + В основание пирамиды можно вписать окружность+ S 2 ) ,

Поделиться или сохранить к себе: