Геометрия | 10 — 11 классы
В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M .
Как доказать, что AC ^ 2 + BD ^ 2 = 4R ^ 2.
Если провести диаметр OY (это я его так обозначил, чтобы как — то потом называть), параллельно CD и перпендикулярно (само собой) AB, то он пройдет через середину AB, то есть точки A и B симметричны относительно OY ;
Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY ; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD ; и вообще — CDD1C1 это прямоугольник.
Что означает, что CD1 — диаметр.
Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D — в точку D1, то BD = AD1 ; (по определению равенства фигур, между прочим).
Остается заметить, что, раз CD1 — диаметр, то треугольник ACD1 — прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.
- В окружности проведены Две взаимно перпендикулярные хорды?
- Задана окружность с центром О и с хордой CD?
- Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды которые удалены от центра на 6 см и 10 см?
- В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды?
- Две окружности с равными радиусами пересекаются в двух точках?
- В окружности с центром в точке О и радиусом ОС = 25 проведена хорда CD = 40?
- Из внешней точки проведены к окружности две взаимноперпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см?
- В окружности с центром в точке О и радиусом ОС = 25 проведена хорда CD = 40?
- Две равные окружности пересекаются в точках А и В?
- Две равные окружности пересекаются в точках A и B ?
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
- Свойства хорд
- свойства хорды в окружности
- 📽️ Видео
Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рисСкачать
В окружности проведены Две взаимно перпендикулярные хорды?
В окружности проведены Две взаимно перпендикулярные хорды.
них делится другой хордой на отрезки, равные 3 и 7.
Найдите расстояние от
центра окружности до каждой из хорд.
Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать
Задана окружность с центром О и с хордой CD?
Задана окружность с центром О и с хордой CD.
Радиус OE проведен перпендикулярно хорде CD.
Докажите, что хорды CE и DE равны.
Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать
Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды которые удалены от центра на 6 см и 10 см?
Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды которые удалены от центра на 6 см и 10 см.
Найдите длину хорды.
Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать
В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды?
В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды.
Каждая из них делится другой хордой на отрезки, равные 4 и 6.
Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.
Видео:Радиус и диаметрСкачать
Две окружности с равными радиусами пересекаются в двух точках?
Две окружности с равными радиусами пересекаются в двух точках.
Докажите, что их общая хорда перпендикулярна к отрезку, соединяющему центры окружностей.
Видео:Геометрия В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Дано: AM/МВ =5/7Скачать
В окружности с центром в точке О и радиусом ОС = 25 проведена хорда CD = 40?
В окружности с центром в точке О и радиусом ОС = 25 проведена хорда CD = 40.
Найдите расстояние от центра О до хорды CD.
Видео:Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать
Из внешней точки проведены к окружности две взаимноперпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см?
Из внешней точки проведены к окружности две взаимно
перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см.
Найдите расстояние от
данной точки до точки касания.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
В окружности с центром в точке О и радиусом ОС = 25 проведена хорда CD = 40?
В окружности с центром в точке О и радиусом ОС = 25 проведена хорда CD = 40.
Найдите расстояние от центра О до хорды CD.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Две равные окружности пересекаются в точках А и В?
Две равные окружности пересекаются в точках А и В.
Через точку А проведена хорда АМ одной окружности, а через точку В — хорда ВN другой окружности, причем АМ и BN параллельны.
Доказать, что эти хорды равны.
Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать
Две равные окружности пересекаются в точках A и B ?
Две равные окружности пересекаются в точках A и B .
Через точки А проведена хорда АМ одной окружности , а череш точку B — хорда BN другой окружности , причем AM и Bb паралелны .
Доказать что эти хорды равны.
На этой странице находится вопрос В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M ?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Геометрия, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.
Если не сложно дайте лучший ответ, пожалуйста.
Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
Свойства хорд и дуг окружности |
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
Теорема о бабочке |
Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||||
Радиус | ||||||||||||||||||||||||||||
Хорда | ||||||||||||||||||||||||||||
Диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||
Касательная | ||||||||||||||||||||||||||||
Секущая |
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать
Свойства хорд и дуг окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Видео:ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!Скачать
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||
Пересекающиеся хорды | ||||||||||||||||||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Пересекающиеся хорды | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2Скачать
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать
Свойства хорд
Видео:Геометрия Хорда AB постоянной длины скользит своими концами по окружности радиуса R. Точка C этойСкачать
свойства хорды в окружности
Свойство 1
1. Диаметр окружности CD, перпендикулярный хорде AB, делит хорду пополам, и наоборот: CD ? AB AF = FB .
Свойство 2
2. Равные хорды хорды находятся на равном расстоянии от центра окружности: AB = CD ? OE = OF .
Свойство 3
3. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны между собой: AB || CD ? ? AC = ? BD .
Свойство 4
4. Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то AS • SB = CS • SD .
Свойство 5
5. Если хорда AB проходит через внутреннюю точку M круга радиуса R и расстояние до M от центра OM = d , то AM • MB = R 2 — d 2 .
📽️ Видео
Диаметр АВ окружности радиуса R. Окружность, диаметр, хорда и прямоугольный треугольник в задаче...Скачать
ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать