Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .
- Признаки компланарности векторов
- Свойства смешанного произведения
- Онлайн калькулятор. Смешанное произведение векторов
- Калькулятор для вычисления смешанного произведения векторов
- Инструкция использования калькулятора для вычисления смешанного произведения векторов
- Ввод даных в калькулятор для вычисления смешанного произведения векторов
- Дополнительные возможности калькулятора для вычисления смешанного произведения векторов
- Теория. Смешанное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор
- Предупреждение
- Смешанное произведение векторов (теория)
- Смешанное произведение векторов в декартовых координатах
- Смешанное произведение векторов на примерах
Признаки компланарности векторов
Признак компланарности. Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abc . Если же векторы a, b, c компланарны, то abc=0 . Иными словами обращение в нуль смешанного произведения abc есть признак компланарности векторов a,b,c .
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.
Свойства смешанного произведения
- При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Вытекает из геометрического смысла. - (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения. - (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения. - Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .
Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Онлайн калькулятор. Смешанное произведение векторов
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти смешанное произведение трех векторов.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление смешанного произведения векторов и закрепить пройденный материал.
Калькулятор для вычисления смешанного произведения векторов
Введите значения векторов.
Инструкция использования калькулятора для вычисления смешанного произведения векторов
Ввод даных в калькулятор для вычисления смешанного произведения векторов
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления смешанного произведения векторов
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Теория. Смешанное произведение векторов
Смешанное произведение трех векторов a = < ax ; ay ; az >, b = < bx ; by ; bz > и с = < сx ; сy ; сz > в декартовой системе координат — это скаляр, значение которого можно вычислить следующим образом:
| a · ( b × с ) = | ax | ay | az |
| bx | by | bz | |
| сx | сy | сz |
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор
Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Смешанное произведение векторов (теория)
Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.
Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:
Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).
Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.
Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab],c) равно нулю.
Следствие 1. Имеет место следующее равенство:
Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:
Следовательно нам достаточно доказать, что
Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.
Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).
Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Смешанное произведение векторов в декартовых координатах
Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами
| a=<x1, y1, z1>, b=<x2, y2, z2>, c=<x3, y3, z3>. |
Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:
 . | (4) |
Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и c. Векторное произведение векторов [ab] в декартовых координатах вычисляется формулой (подробнее смотрите на странице векторное произведение векторов онлайн):
| [ab]=<y1z2—y2z1, z1x2−z2x1, x1y2−x2y1>. |
Тогда скалярное произведение векторов [ab] и c можно записать так:
| abc=([ab],c)=x3(y1z2—y2z1)+ y3(z1x2−z2x1)+ z3(x1y2−x2y1). | (5) |
Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:
  . | (6) |
Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.
Следствие 3. Для компланарности трех векторов
| a=<x1, y1, z1>, b=<x2, y2, z2>, c=<x3, y3, z3>. |
необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:
 . | (7) |
Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.
Смешанное произведение векторов на примерах
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где
 ,  ,  . |
Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:
 . |
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:
   . |
Смешанное произведение векторов a, b, c равен :
Пример 2. Найти смешанное произведение векторов abс, где
Начальная точка вектора a:
 . |
Конечная точка вектора a:
 . |
 . |
Начальная точка вектора c:
 . |
Конечная точка вектора c:
 . |
Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:
 . |
Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:
 . |
Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:
 . |
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:
    . |
Смешанное произведение векторов a, b, c равен :