В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВписанные четырехугольники и их свойства
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаТеорема Птолемея

Видео:Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна
Окружность, описанная около параллелограмма
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Докажем, что справедливо равенство:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

откуда вытекает равенство:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС.

Доказать: около В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Точка О равноудалена от вершин В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАDС, В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС, откуда следует В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАDС + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна(В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАDС + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАDС + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаАВС = 360 0 , тогда В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBАD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВСDвнешний угол В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаСFD, следовательно, В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBСD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВFD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВFD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD и В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаFDE = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBСD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаЕF = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна(В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаЕF), следовательно, В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВСDВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBАD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВЕD, тогда В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBАD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBСDВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна(В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВЕD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВЕD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD = 360 0 , тогда В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBАD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBСDВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBАD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBСDВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна180 0 . Но это противоречит условию В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBАD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

По теореме о сумме углов треугольника в В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВСF: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаС + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаF = 180 0 , откуда В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаС = 180 0 — ( В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаF). (2)

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаЕF. (3)

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаF и В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВFD смежные, поэтому В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаF + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВFD = 180 0 , откуда В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаF = 180 0 — В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВFD = 180 0 — В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаС = 180 0 — (В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаЕF + 180 0 — В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD) = 180 0 — В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаЕF — 180 0 + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна(В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАDВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаЕF), следовательно, В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаСВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаА = В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВЕD, тогда В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаА + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаСВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВ любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна(В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВЕD + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаВАD). Но это противоречит условию В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаА + В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 /2 В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 /2 В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равнаBAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360° : 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство. Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

Из этих двух равенств следует:

но этого быть не может, так как / D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D» вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3 : 5,
а другие два относятся как 4 : 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2 : 0,3. Найти длину этих сторон.

📹 Видео

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать

16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольники

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Математика ОГЭ Задание 25 Первый признак подобияСкачать

Математика ОГЭ  Задание 25 Первый признак подобия

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

Задание 25 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 25 Вписанный четырёхугольник

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

ОГЭ 2020 Задание по геометрииСкачать

ОГЭ 2020 Задание по геометрии

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Гармония четырехугольников (feat. МО из Школково)Скачать

Гармония четырехугольников (feat. МО из Школково)
Поделиться или сохранить к себе: