В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 /2 В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусовBCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 /2 В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусовBAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360° : 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство. Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

Из этих двух равенств следует:

но этого быть не может, так как / D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D» вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.

В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3 : 5,
а другие два относятся как 4 : 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2 : 0,3. Найти длину этих сторон.

Видео:16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать

16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольники

Сумма углов четырехугольника

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 градусов #репетиторСкачать

Суммы противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равны 180 градусов #репетитор

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов

В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

Вписанные углы А и С четырехугольника АВСD на рисунке опираются на дуги ВСD и BAD, сумма которых равна 360 градусов. Значит, сумма углов А и С равна .

Докажем обратное утверждение.

Пусть сумма углов А и С четырехугольника АВСD равна 180°. Докажем, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Опишем окружность вокруг треугольника АВD. Мы не знаем пока, лежит ли точка С на этой окружности. Значит, С может лежать на этой окружности, или внутри нее, или вне окружности.

Предположим, что точка С лежит внутри окружности, описанной вокруг треугольника АВD. Продолжим отрезок ВС до пересечения с окружностью в точке .

В любом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов

Так как четырехугольник вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180°. Это мы доказали. Значит, .

По условию, . Значит

Угол – смежный с углом ВСD, Тогда в треугольнике сумма углов и равна 180°. Такой треугольник не может существовать, поскольку угол D в нем равен нулю. Значит, точка С не может лежать внутри окружности, описанной вокруг треугольника ABD.

Аналогично доказывается, что С не может лежать и вне этой окружности. Остается случай, когда точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

И это значит, что ABCD вписан в окружность.

Задачи ЕГЭ по теме «Вписанный четырехугольник»

1. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна . Величина угла С равна

2. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна . Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии, и он равен .

📽️ Видео

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описатьСкачать

Геометрия Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180, то около него можно описать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать

8 класс.  Четырехугольник  и окружность

Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрияСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

Математика ОГЭ Задание 25 Первый признак подобияСкачать

Математика ОГЭ  Задание 25 Первый признак подобия

Задание 25 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 25 Вписанный четырёхугольник

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Описанный четырехугольник, сумма противоположных сторонСкачать

Описанный четырехугольник, сумма противоположных сторон
Поделиться или сохранить к себе: