В четырехугольник авсд вписана окружность известно что точка касания делит стороны

Впишите правильный ответ.

В четырёхугольник ABCD вписана окружность. Точки касания этой окружности со сторонами
делят стороны на отрезки как показано на рисунке. Найдите периметр четырёхугольника, если LC = 6, BK = 2, AN = 4, ND = 5.

Впишите правильный ответ.

Точки A, B и D делят окружность на три части так, что градусная мера дуги AB равна 160°, а градусные меры дуг AD и DB относятся как 3 к 2. Найдите градусную меру дуги DB.

Впишите правильный ответ.

Найдите площадь равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 17 см и высотой, проведённой к основанию, равной 25 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Выберите правильный ответ.

Известно, что ∠ABD = 50°, ∠BDC = 20°. Найдите угол BPC. Ответ дайте в градусах.

В четырехугольник авсд вписана окружность известно что точка касания делит стороны

Задание 6. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 8 , ВС = 4 и CD = 25. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Так как в четырехугольник вписана окружность, то он обладает свойством, что сумма его противоположных сторон равна, т.е.

Найдем сторону AD из этого равенства, получим

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. )

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C₁D₁ к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC₁D₁. Следовательно, по теореме 1, имеем:

Но по условию данной теоремы:

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

Получили, что в четырехугольнике CC₁D₁D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.