В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε1(2;1;3), ε2(3;-2;1), ε3(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =
213
3-21
1-3-4

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1α2α3, что имеет место равенство:
X = &#9451ε1 + &#9452ε2 + &#9453ε3
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α1;1α1;3α1😉 + (3α2;-2α2;1α2😉 + (1α3;-3α3;-4α3😉
(7;0;7) = (2α1 + 3α2 + 1α3;1α1 -2α2 -3α3;3α1 + 1α2 -4α3)
По свойству равенства векторов имеем:
1 + 3α2 + 1α3 = 7
1 -2α2 -3α3 = 0
1 + 1α2 -4α3 = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X =
2
1
0

X = 2ε1 + ε2

В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

  • Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
  • выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
  • введите значения базисных векторов;
  • введите значения вектора который нужно разложить по базису;
  • Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1 , . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a1 , . an равна вектору b .

Коэффициенты x 1, . xn будут координатами вектора b в базисе a1 , . an .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»

Пусть Е1, Е2, Е3, Е4 – базис в векторном пространстве. Разложить вектор

Выпишите матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Координаты вектора Х в старом базисе: Х = (1; 2; -1; 3). Пусть в новом базисе он имеет координаты: X = (X, Y, Z, T). Тогда, используя матрицу Т, найдем связь между старыми и новыми координатами:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Следовательно, в новом базисе Х = (-1; 3; -4; 3).

Найти матрицу А’ оператора А:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому.

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому. Составим матрицу Т :

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Ответ: В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Для определения собственных чисел составьте характеристическое уравнение:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Координаты собственных векторов RI = (Xi, Yi) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке LI.

Составим характеристическое уравнение:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Найдем собственные векторы:

1) для L = -2 координаты собственного вектора R1 = (X1, Y1) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке L = -2:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Если Х1 = 1, то У1 = -1, и R1= (1; -1). Остальные собственные векторы коллинеарны вектору (1; -1), и общий вид собственного вектора, соответствующего L = -2: R1 = С1(1; -1), где С1 – произвольная постоянная.

2) для L = 6 координаты собственного вектора R2 (X2; Y2) удовлетворяют системе:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Пусть Х2 = 3, тогда У2 = 5, и R2 = (3; 5). Соответственно общий вид второго собственного вектора: R2 = С2(3; 5).

Ответ: собственные числа L1 = -2, L2 = 6; собственные векторы R1 = С1(1; -1),

В пространстве 3-мерных векторов задан оператор

Где I – базисный вектор декартовой системы координат.

Выяснить геометрический смысл этого оператора.

Множитель Xi – скалярное произведение, то есть число, поэтому вектор (Xi)I коллинеарен оси Ох.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Оператор А переводит произвольно направленный вектор Х в вектор

KI, коллинеарный оси Ох, поскольку первый множитель – скалярное произведение, то есть число. Из определения скалярного произведения следует, что

Следовательно, А – оператор проектирования на ось Ох.

Оператор осуществляет проектирование вектора Х на ось Ох;

Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы линейного оператора, задайте базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид, и составьте матрицу перехода к новому базису.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным числам.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Подставим в строки определителя L = 2 и найдем связь между координатами собственного вектора R2 = (X2, Y2, Z2):

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Та же зависимость получается для координат третьего собственного вектора R3 = (X3, Y3, Z3). Выберем значения двух координат каждого из этих векторов так, чтобы R2 и R3 были линейно независимы.

Пусть Х2 = 1, У2 = 0, тогда Z2 = -3, и R2 = (1; 0; -3).

Получен базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид.

Составим матрицу перехода к новому базису:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Найдем матрицу, обратную к Т:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Тогда в базисе из собственных векторов матрица оператора

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Ответ: в базисе (1; 1; 1), (1; 0; -3), (0; 1; 3) матрица оператора

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Линейный оператор А задан в некотором базисе матрицей

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Найти собственные числа и собственные векторы оператора А-1 – оператора, обратного к А.

Собственные числа обратного оператора являются обратными к собственным числам данного оператора, а их собственные векторы одинаковы.

Характеристическое уравнение для А:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Найдем матрицу обратного оператора:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Соответствующее характеристическое уравнение:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.

Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является

Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные числа:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Ответ: матрица квадратичной формы В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2,

Собственные числа В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.

Канонический вид квадратичной формы:

1) во-первых, не содержит произведения Ху;

2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, состоит из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.

Для L1 = 1 координаты вектора R1 = <X1, Y1> определяются уравнением

Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Итак, базис имеет вид:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

И в этом базисе квадратичная форма примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.

Ответ: в базисе В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2квадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.

Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму

8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.

Матрица преобразования координат имеет вид:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.

Найдем базис из нормированных собственных векторов.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.

Таким образом, найдено искомое преобразование.

Ответ: В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2.

Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.

Матрица преобразования координат имеет вид:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Матрица перехода к базису из собственных векторов:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Подставим найденные выражения в квадратичную форму:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Как и следовало ожидать, в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму

X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Матрица преобразования координат:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Для заданной квадратичной формы

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Составим и решим характеристическое уравнение:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

(Мы не останавливаемся подробно на способах решения уравнений высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)

Найдем нормированные собственные векторы:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Матрица перехода к новому базису:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Задает преобразование координат:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Заметим, что в новых координатах квадратичная форма примет вид:

В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные векторы в матрице Т.

Ответ: В базисе e1 e2 даны векторы a1 2e1 e2 а2 е1 2е2

🔍 Видео

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

№928. Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}.Скачать

№928. Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}.

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2

Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10Скачать

Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10

1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

1. Векторы и параллелограмм задачи №1

№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координатыСкачать

№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координаты

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9Скачать

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: