Перпендикулярные прямые могут выбрать а пересекаться б быть скрещивающимися в быть параллельными (3 видео)

5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых

Видеоурок: Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Лекция: Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых

Пересекающиеся прямые

Если на плоскости имеются несколько прямых, то они либо рано или поздно пересекутся произвольно, либо под прямым углом, или же будут параллельными. Давайте же разберемся с каждым случаем.

Пересекающимися можно назвать те прямые, у которых будет хотя бы одна точка пересечения.

Вы спросите, почему хотя бы одна, не может же прямая пересечь другую прямую две или три раза. Вы правы! Но прямые могут полностью совпасть друг с другом. В таком случае общих точек будет бесконечное множество.

Параллельность

Параллельными можно назвать те прямые, которые никогда не пересекутся, даже на бесконечности.

Иными словами, параллельные – это те, у которых нет ни одной общей точки. Обратите внимание на то, что данное определение справедливо только в том случае, если прямые находятся в одной плоскости, если же они не имеют общих точек, находясь в разных плоскостях, то они считаются скрещивающимися.

Примеры параллельных прямых в жизни: два противоположных края экрана монитора, линии в тетрадях, а также многие другие части вещей, имеющих квадратную, прямоугольную и другие формы.

Когда хотят показать на письме, что одна прямая параллельная второй, то используют следующее обозначение a||b. Данная запись говорит, что прямая а параллельна прямой b.

При изучении данной темы важно понять еще одно утверждение: через некоторую точку на плоскости, которая не принадлежит данной прямой, можно провести единственную параллельную прямую. Но обратите внимание, снова поправка – на плоскости. Если рассматривать трехмерное пространство, то можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут пересекаться, но будут скрещивающимися.

Утверждение, которое было описано выше, называется аксиомой о параллельности прямых.

Перпендикулярность

Прямые можно назвать только в том случае перпендикулярными, если они пересекаются под углом, равным 90 градусов.

В пространстве через некоторую точку на прямой можно провести бесконечное множество перпендикулярных прямых. Однако, если речь идет о плоскости, то через одну точку на прямой можно провести единственную перпендикулярную прямую.

Скрещенные прямые. Секущая

У любых скрещивающихся прямых есть вертикальные углы и смежные.

Если у углов, которые образованы двумя скрещивающимися прямыми, одна сторона общая, то они называются смежными:

Смежные углы в сумме дают 180 градусов.

Если же углы, образованные двумя скрещивающимися прямыми, не имеют общей стороны, то они называются вертикальными:

Вертикальные углы всегда равны.

Если же некоторая прямая пересекает две других прямых, то она называется секущей.

Частным случаем является секущая двух параллельных прямых:

Содержание

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рис. 1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые. — презентация
Похожие презентации
Презентация на тему: » Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рис. 1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые.» — Транскрипт:
Перпендикулярные прямые в пространстве
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Оставьте свой комментарий
Подарочные сертификаты
🔍 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рис. 1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемshmelolga.ru

Презентация на тему: » Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рис. 1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые.» — Транскрипт:

2 Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рис. 1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся. Рис. 1 с а b ß Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90 °. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b.

3 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. А С с b a М Рис. 2 α

4 Док-во: Пусть а b и а с. Докажем, что b c. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 2). Так как а с, то

5 Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой а и плоскости ß обозначается так: а ß. Говорят также, что плоскость ß перпендикулярна к прямой а. На рис. 3 изображена прямая а, перпендикулярная плоскости ß. ß а Рис. 3

6 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. аа 1 х α Дано: Прямые а, а 1, пл. α а α Доказать: а 1 α Рис. 4

7 Док-во: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рис. 4). Так как а α, то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а 1 α. Теорема доказана

8 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. а b α α a ß

9 Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: Пл. α, пр. а р, а q, рq=O Доказать: а α А В О Р L Q q pm a a α l

=>APQ= B» title=»Док-во: 1) Проведем через точку О прямую l. l m 2) Отметим на прямой а точки А, В так как ОА=ОВ 3) Проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, g, l в точках P, Q, L 4) Прямые p и g – сред. перпенд. к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=BQ => =>APQ= B» > 10 Док-во: 1) Проведем через точку О прямую l. l m 2) Отметим на прямой а точки А, В так как ОА=ОВ 3) Проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, g, l в точках P, Q, L 4) Прямые p и g – сред. перпенд. к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=BQ => =>APQ= BPQ (по трем сторонам) => l а, т.к. l m и l a, то m a (по лемме) Прямая а к любой прямой в плоск., т.е. а α. =>APQ= B»> =>APQ= BPQ (по трем сторонам) => l а, т.к. l m и l a, то m a (по лемме) Прямая а к любой прямой в плоск., т.е. а α.»> =>APQ= B» title=»Док-во: 1) Проведем через точку О прямую l. l m 2) Отметим на прямой а точки А, В так как ОА=ОВ 3) Проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, g, l в точках P, Q, L 4) Прямые p и g – сред. перпенд. к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=BQ => =>APQ= B»>

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые в пространстве

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Перпендикулярные прямые в пространстве» «Перпендикулярность прямой и плоскости» Тема урока:

Вопрос. Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? Пересекаются Прямые, которые имеют общую точку и лежат в одной плоскости, называются пересекающимися. Вопрос. Какие прямые называются пересекающимися? A C α D O Вопрос. Пересекающиеся прямые образуют углы. Какие? Смежные и вертикальные. Вопрос. Какой угол называют углом между прямыми? Углом между прямыми является меньший из двух смежных. Углом между прямыми АВ и СD является ∠ ВОD. B Наибольшим углом между прямыми может быть угол 90⁰. Такие прямые называются перпендикулярными. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Модель куба. D1 В А1 А D С1 С В1 Как называются прямые АВ и ВС? Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и АD. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут скрещиваться. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 90 0 .

Вопрос. Какие прямые в пространстве называют параллельными? Ответ: прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости. Вопрос. Найдите различия этого определения с определением перпендикулярных прямых. Ответ: а )пересекаются, б )не сказано, что лежат в одной плоскости. Вывод. Перпендикулярные прямые могут лежать в разных плоскостях. Вопрос. Как называются прямые, лежащие в разных плоскостях? Ответ :скрещивающиеся. Вывод. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC. D1 В А1 А D С1 С В1 АА1 II СС1 ; DC СС1 АА1 DC Лемма Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, АD, АС, ВD, МN. D1 В А1 А D С1 С В1 N М 900 900 900 900 900 Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

α Теорема 1. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны. Доказательство. Пусть а  b. а ∩ b = O. Тогда согласно аксиоме они лежат в одной плоскости α. a1||a, b1||b, также а1 ∩ b1 = O1. Тогда согласно аксиоме они лежат в одной плоскости β. α||β по признаку параллельности плоскостей. Соединим точки О и О1. Выберем на прямой а1 точку А1, а на прямой b1 – точку В1. Проведём АА1||OO1 и ВВ1 ||OO1=> АА1|| ВВ1 A Через АА1|| ВВ1 проведём плоскость γ. β b1 O1 В1 В а1 А1 γ а b O

β α а b O а1 b1 O1 А1 В1 A В Так как α||β, а γ ∩ α = АВ, γ ∩ β = А1В1, то по свойству параллельных плоскостей АВ ||А1В1. А также АА1 = ВВ1. γ Четырёхугольники О1А1АО, О1В1ВО и АА1В1В – параллелограммы, отсюда О1А1 = ОА, О1В1 = ОВ и А1В1 = АВ. Следовательно ∆ А1О1В1 = ∆ АОВ по трём сторонам. Из равенства треугольников следует: ∠ О1 = ∠ О. Так как по условию а b, то ∠ О = 90⁰, значит и ∠ О1 = 90⁰

П. 15 Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости а

П.17 Свойства перпендикулярных прямой и плоскости Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. а а1 х

а b b1 Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M c

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. а р q O m l А B Q Р L

Верно ли? 1. Если прямая а перпендикулярна плоскости β , то она перпендикулярна прямой АВ, лежащей в плоскости β. 2. Прямая не перпендикулярная к плоскости не перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. 3. Прямая в лежит в плоскости β и не перпендикулярна к прямой а. Перпендикулярны ли прямая а и плоскость β ? 4. Прямая а перпендикулярна плоскости β, прямая в не пересекает плоскость β. Верно ли, что а// в? 5. Прямые а и m взаимно перпендикулярны, в//а. Чему равен угол между в и m? Диктант

Дано : прямая а перпендикулярна плоскости β, прямая в 6. Если в//а, т о в и β … 7. Если в β , то в и а … 8. Если в лежит в плоскости β, то в и а …

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 966 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 342 человека из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 688 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Маслова Анна ЮрьевнаНаписать 402 29.11.2020

Номер материала: ДБ-1530407

03.06.2020 0

22.05.2019 116

18.04.2019 326

23.11.2018 128

13.06.2018 931

09.06.2018 372

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.