Вписанный четырехугольник. Задание 6
При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что
1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:
2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:
Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:
1 .Задание B7 (№ 27871)
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°
Ответ: 122°
2 . Задание B7 (№ 27927)
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Углы 82° и 58° не могут быть противоположными, так как их сумма не равна 180°. Значит, оставшиеся углы являются противоположными к этим. очевидно. что величина большего угла равна 180°-58°=122°
3 . Задание B7 (№ 27928)
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:
А=х, В=2х, С=3х. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны и равны 180°. Сумма углов А и С равна 4х и равна 180°. Отсюда х=45°.
Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°
Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Два угла четырехугольника, вписанного в окружность, стягивают дуги на 140 и 230 градусов соответственно. Найди наименьший из углов четырехугольника
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Ответы на вопрос
равны треугольники akc и adc
по гипотенузе(ac) и острому углу(cad и cak
если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.
по теореме пифагора найдём стороны треугольника адв. ав=корень из(2 квадрат+3 квадрат)=корень из 13=3,61. ад= корень из(1 квадрат+3 квадрат)=3,16. дв= корень из(1 квадрат+2 квадрат)=2,24. площадь треугольника адв находим по формуле герона. найдём полупериметр p=(3,61+3,16+2,24)/2=4,5. тогда s= корень из(4,5*(4,5-3,61)(4,5-3,16)(4,5-2,24))=3,5
с = 2пr / 6 и все. находим сначала для всей длины и делим на 6, т.к. вся окружность 360 град , а 60 это шестая часть.
чертим ромб авсd, его стороны по 10см, угол а=30. диагонали его пересекутся под прямым углом в точке о и этой точкой поделятся пополам. из точки о проведем перпендикуляр он к стороне ав. он и есть радиус вписанной в ромб окружности. найдем диагональ ромба вd по теореме косинусов:
по теореме пифагора ао^2=ав^2-bo^2=100-6,76=93,24
сейчас работаем с треугольником аов. его площадь можно найти двумя способами:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Четырёхугольник вписан в окружность
Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.
Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.
*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:
Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.
То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.
27870. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Треугольник BОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть
Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла
Сумма смежных углов равна 180 0 , значит
27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен
Построим ОВ и OD.
По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна
Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна
360 0 – 116 0 = 244 0
По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .
27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Построим радиусы АО, OD, OC:
Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .
По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём
На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».
Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:
Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно
В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:
Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 0 , значит
27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38 0 . Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 0 , угол ABD равен 70 0 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.
Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких
Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!
🎦 Видео
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать
№657. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкойСкачать
Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать
Свойство четырёхугольника, вписанного в окружность, и не только!😉 Задание В4 #цт2020 способ 2Скачать
2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать
Вписанные углы в окружностиСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать