Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Даны векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису. Показать, что векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисув этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисувполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисулинейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, значит, векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисулинейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуобязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуобразуют базис, то любой вектор Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуможно единственным способом разложить по данному базису: Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, где Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису– координаты вектора в базисе Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.

Поскольку наши векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуобразуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуможно единственным образом разложить по данному базису:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, где Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису– координаты вектора Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисув базисе Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.

По условию и требуется найти координаты Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.

Для удобства объяснения поменяю части местами: Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису. В целях нахождения Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуследует расписать данное равенство покоординатно:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, в правую часть записаны координаты вектора Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

Таким образом:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису– разложение вектора Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисупо базису Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.

Ответ: Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Даны векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису. Показать, что векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуобразуют базис и найти координаты вектора Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисув этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Ответ: при Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуи Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.
Найдём векторы:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Вычислим определитель, составленный из координат векторов Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуне параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуи Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.
Найдём векторы:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Вычислим определитель, составленный из координат векторов Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, значит, данные векторы коллинеарны, и Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису.
Вывод: Две стороны четырёхугольника Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисупараллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Система не имеет решения, значит, векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуне коллинеарны.
Более простое оформление:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуне коллинеарны.
Ответ: векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуне коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису. Составим систему:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ: Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису(определитель раскрыт по первой строке):
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, значит, векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисулинейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса

Пример 9:Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Таким образом, векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисулинейно независимы и образуют базис.
Представим вектор Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисув виде линейной комбинации базисных векторов:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Покоординатно:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису
Систему решим по формулам Крамера:
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису, значит, система имеет единственное решение.
Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

Ответ: Векторы Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базисуобразуют базис, Установить что векторы p q r образуют базис разложить вектор x по базису

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урокаВекторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

  • Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
  • выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
  • введите значения базисных векторов;
  • введите значения вектора который нужно разложить по базису;
  • Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1 , . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a1 , . an равна вектору b .

Коэффициенты x 1, . xn будут координатами вектора b в базисе a1 , . an .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Разложить вектор по базису Онлайн

Данный онлайн-калькулятор показывает подробное доказательство, что векторы , , образуют базис, и делает разложение вектора по базису векторов с указанием на все необходимые теоремы, также производится чертеж векторов на трёхмерном графике.

Запишите координаты своих векторов и нажмите кнопку.

Решить Очистить

Примечание: дробные координаты
записывайте через точку, а не запятую.

🔥 Видео

Написать разложение вектора x по векторам p, q, r. Разложение вектора по базису из трёх векторов.Скачать

Написать разложение вектора x по векторам p, q, r. Разложение вектора по базису из трёх векторов.

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Видеоурок "Разложение вектора по базису"Скачать

Видеоурок "Разложение вектора по базису"

Базис линейного пространства (02)Скачать

Базис линейного пространства (02)

10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Разложить вектор m по векторам a,b,cСкачать

Разложить вектор m по векторам a,b,c

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)

#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам.  Направляющие косинусы

Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Разложение вектора по векторамСкачать

Разложение вектора по векторам

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.
Поделиться или сохранить к себе: