Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Если точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, и точки B и C видны из отрезка AD под одним углом (то есть ∠ABD=∠ACD), то точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Дано: точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,

Доказать: точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоОбозначим ∠ABD=∠ACD=α.

Опишем около треугольника ABD окружность.

Отметим на этой окружности произвольную точку F, лежащую относительно прямой AD в другой полуплоскости, чем точки B и C.

Четырёхугольник ABDF — вписанный в окружность. Следовательно, сумма его противолежащих углов равна 180°:

Рассмотрим четырехугольник ACDF.

Отсюда следует, что четырёхугольник ABDF — вписанный.

Поскольку около треугольника ABD можно описать только одну окружность, то точка C лежит на той же окружности, что и точки A, B и D.

Видео:ЕГЭ Задание 16 Условие принадлежности четырех точек окружностиСкачать

ЕГЭ Задание 16 Условие принадлежности четырех точек окружности

Презентация на тему «Признак принадлежности четырёх точек одной окружности»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Условие принадлежности четырёх точек одной окружностиСкачать

Условие принадлежности четырёх точек одной окружности

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Описание презентации по отдельным слайдам:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Описанная и вписанная окружности четырёхугольника Автор: учитель математики Румянцева Р.Г.

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Признак принадлежности четырёх точек окружности

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Признак принадлежности четырёх точек окружности Если точки А, М, N, В таковы что угол АМВ равен углу АNВ, причём точки M и N лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ, то точки А, М, N, В лежат на одной окружности.

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 942 человека из 80 регионов

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 694 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 479 939 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

«Геометрия», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

§ 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника

Видео:Первое условие принадлежности четырех точек одной окружностиСкачать

Первое условие принадлежности четырех точек одной окружности

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • 25.11.2020
  • 54

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • 24.11.2020
  • 138
  • 24.11.2020
  • 160

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • 24.11.2020
  • 158

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • 24.11.2020
  • 142

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • 24.11.2020
  • 270

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • 24.11.2020
  • 156

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • 24.11.2020
  • 88

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 25.11.2020 1024 —> —> —> —>
  • PPTX 79.6 кбайт —> —>
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Румянцева Рита Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

  • На проекте: 5 лет и 1 месяц
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 2930
  • Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Принадлежность четырех точек одной окружности. Попытка 2.Скачать

Принадлежность четырех точек одной окружности. Попытка 2.

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

В Якутске все классы, кроме девятых и одиннадцатых, перейдут на удаленку

Время чтения: 1 минута

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

В местах сдачи ЕГЭ будут применены антиковидные меры

Время чтения: 1 минута

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Первые результаты по сокращению отчетности у учителей ожидаются осенью

Время чтения: 1 минута

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Первое условие принадлежности четырех точек окружностиСкачать

Первое условие принадлежности четырех точек окружности

Применение комплексных чисел в элементарной геометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра прикладной математики

«Применение комплексных чисел в элементарной геометрии»

Выполнила: студентка 2 курса

«Прикладная математика и

Научный руководитель: старший

§ 1. Параллельный перенос 4

§ 3. Подобие и движение 5

§ 4. Принадлежность трех точек прямой 7

§ 5. Принадлежность четырех точек окружности 8

§ 6. Ортоцентр треугольника 9

§ 7. Окружность и прямая Эйлера 10

§ 8. Прямая Симсона треугольника 12

Библиографический список 19

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит простота данного метода, по сравнению с другими методами, ведь готовое решение может быть очень коротким.

В данной работе рассматривается применение комплексных чисел в планиметрии: описание преобразований плоскости, вывод некоторых формул для решения задач и доказательство некоторых свойств.

1. Описать параллельный перенос, вращение, движение первого и второго рода, подобие первого и второго рода с помощью операций над комплексными числами. Вывести условие принадлежности трех точек одной прямой и четырех точек одной окружности.

2. Доказать с помощью комплексных чисел свойства ортоцентра треугольника, существование окружности и прямой Эйлера.

3. Используя комплексные числа, доказать свойства прямой Симсона треугольника.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и библиографического списка. Во введении кратко описывается значение выбранной темы, цель работы и структура работы. В основной части рассмотрены преобразования плоскости с помощью комплексных чисел, условия принадлежности точек прямой и окружности, свойства ортоцентра треугольника и прямой Симсона треугольника, а также доказательство существования окружности и прямой Эйлера и примеры решения задач с помощью комплексных чисел. В заключении представлены выводы о применении комплексных чисел в планиметрии.

Любое комплексное число можно единственным образом отобразить на плоскости как точку Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоили радиус-вектор Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоточки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Поэтому число Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоназывают точкой или вектором.

Зафиксируем два комплексных числа Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Найдем их сумму Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, которая означает, что Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, т.е. что вектор Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствосовпадает с вектором Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство(геометрический смысл сложения комплексных чисел). Поэтому данное равенство определяет параллельный перенос плоскости на вектор Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Пусть даны точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, где Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, а Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоarg Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство; Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, где Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Произведение двух комплексных чисел производится следующим образом:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

где Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, а Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Геометрически это обозначает, что точка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, характеризующаяся модулем Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, является образом точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствос модулем Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопри композиции поворота с центром Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствона угол Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство=arg Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои гомотетии с центром Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои коэффициентом Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Поскольку Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, точка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствобудет также образом точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопри композиции поворота с центром Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствона угол Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои гомотетии с центром Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои коэффициентом Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Для построения точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоудобно привлечь точку Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, которая равна единице. Имеем:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство
и ориентированные углы Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстворавны Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство; следовательно, треугольники Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоподобны, что позволяет построить точку Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопо точкам Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Таким образом умножение комплексных чисел определяет центрально-подобное вращение плоскости, составляющееся из вращения вокруг т. O на угол Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствов положительном направлении (в направлении против часовой стрелки) и центрально-подобного преобразования с коэффициентом подобия t. Если модуль комплексного числа t=1, то данное преобразование представляет собой вращение на угол Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Любое движение плоскости можно представить или как вращение вокруг фиксированной точки O, сопровождаемое параллельным переносом, или как симметрию относительно фиксированной прямой o, сопровождаемую вращением вокруг выбранной точки O и параллельным переносом. Таким образом каждое движение плоскости можно представить в виде:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Подобие и движение

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, при котором каждые две точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоотображены в такие две точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, что Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, где Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. В частности, при Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстворасстояния Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстворавны, т. е. подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоявляется подобием с коэффициентом Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Фигура Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоназывается подобной фигуре Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, если существует подобие, отображающее Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии. Преобразование, обратное подобию с коэффициентом Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, есть также подобие с коэффициентом Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.

Преобразование подобия плоскости задаётся тремя парами соответственных точек Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, заданных так, что треугольник Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоподобен треугольнику Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Однако если род подобия известен, то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.

По определению, треугольники называются подобными и одинаково ориентированными (подобие 1 рода) тогда и только тогда, когда Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство(углы ориентированные). С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

где Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— комплексное число, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство– коэффициент подобия.

Составим формулы подобия первого и второго рода. При одинаковой ориентации треугольников Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоимеем:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство
При противоположных ориентациях этих треугольников получим:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство
откуда

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Итак, получены формулы для подобия первого и второго рода.

Проведем обратное рассуждение: пусть преобразование плоскости определено одной из формул

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство
где Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство– постоянные комплексные числа, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоне может быть равна нулю. Тогда это преобразование первого или второго рода соответственно. Если точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопереходят в точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, то при первом преобразовании
Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, а при втором Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоСледовательно, в обоих случаях Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Очевидно, если Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, то вышеприведенными формулами задаются движения плоскости первого и второго рода соответственно.

Принадлежность трех точек прямой

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

есть отношение трех точек Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Угол Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствомежду прямыми, пересекающимися в точке Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои проходящими через точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстворавен аргументу отношения Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоесть ориентированный угол между ориентированными прямыми Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Условием того, что три точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстволежат на одной прямой, является вещественность отношения Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоэтих трех точек или то, что угол Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоили Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Т.к. три точки лежат на одной прямой, то они коллинеарны. Следовательно, по условию коллинеарности, отношение Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство– действительное число.∎

Принадлежность четырех точек окружности

Условием того, что четыре точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстволежат на одной окружности является то, что разность углов Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоили Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, или вещественность их двойного отношения Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, т.е., аналогично условию принадлежности трех точек прямой, отношение

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

является двойным отношением четырех точек Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Если точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоколлинеарны, то отношения Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство– действительные числа (по критерию коллинеарности точек). Следовательно, в этом случае будет действительно и двойное отношение.

Если точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстволежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:

1) точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствонаходятся в одной полуплоскости относительно прямой Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство,

2) точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстволежат в различных полуплоскостях относительно прямой Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

В первом случае ориентированные углы Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстворавны, во втором случае Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, т.е. Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоВ обоих случаях разность Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоили Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Но т.к. эта разность равна

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

то w действительное число.∎

Рассмотрим треугольник Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Условимся, что Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, т.е. все вершины треугольника принадлежат единичной окружности (центр описанной окружности O — начало координат, а радиус — единица длины). Таким образом очевидно, что точка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, которая равна Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоесть вершина ромба Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, из чего следует, что прямые взаимно перпендикулярны как диагонали ромба; точка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

является серединой стороны Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствотреугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Точка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство– вершина параллелограмма Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, т.е. Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, т.е. Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— высота треугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, а Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство– точка пересечения высоты со стороной Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Аналогично можно доказать, что прямые Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— высоты треугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Поэтому Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— точка пересечения высот треугольника, т.е. является ортоцентром.

Рассмотрим теперь некоторые свойства ортоцентра треугольника.
Из рисунка видно, что расстояние от ортоцентра треугольника до точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, симметричной центру описанной окружности относительно стороны Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, равно радиусу окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, описанной вокруг треугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Аналогично для Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, симметричных центру описанной окружности относительно сторон треугольника. Поэтому окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, с центром в точках Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствосоответственно, равны окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, и ортоцентр Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствотреугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоявляется точкой пересечения этих окружностей.

Также мы можем увидеть, что расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника. Возьмем отрезки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Они равны, как противоположные стороны параллелограмма, а прямая Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоявляется половиной отрезка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство(по свойствам ромба).

Окружность и прямая Эйлера

Рассмотрим точку Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство
Очевидно, что это точка пересечения диагоналей параллелограмма Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, и через неё проходит средняя линия Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопараллелограмма, причем

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство
Таким образом, окружность Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствос центром Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои радиусом Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопроходит через точку Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— середину стороны Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— и через точку Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— середину отрезка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Аналогично можно доказать, что эта окружность проходит и через точки

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

двух других сторон и середины отрезков двух других высот. Окружность Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствовпервые была рассмотрена Леонардом Эйлером и называется окружностью Эйлера. Также её называют окружностью девяти точек треугольника, т.к. она проходит через девять замечательных точек: Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство– середины сторон, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— основания высот, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с ортоцентром.

Прямая Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоназывается прямой Эйлера треугольника. Ей принадлежат центр O описанной окружности треугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, точка

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

пересечения медиан, точка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопересечения высот и центр

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

окружности Эйлера, причем

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Прямая Симсона треугольника

Дана единичная окружность S плоскости комплексных чисел, описанная вокруг треугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Найдем основания перпендикуляров Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, опущенных из некоторой точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоэтой окружности на стороны Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Основание перпендикуляра, опущенного из точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоокружности на хорду Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствовыражается числом

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

т.к. Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоявляется точкой пересечения перпендикулярных секущих к окружности.

Отсюда следует, что

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Поскольку точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопринадлежат одной окружности S, то полученное двойное отношение Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствовещественно, из этого следует, что вещественно и исходное отношение Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои следовательно, три точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопринадлежат одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона (точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоотносительно треугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство).

Выведем теперь уравнение прямой Симсона Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Будем исходить из формы уравнения прямой, проходящей через точки :

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствонормируем это уравнение, поделив все его члены на коэффициент при Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоПоложив здесь , получим следующее выражение для коэффициента при Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство(т.к. Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои аналогично для Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство). Чтобы определить свободный член C уравнения, достаточно подставить это уравнение

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствотогда

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство
а т.к. Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоПолучаем окончательное уравнение:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Очевидно, что точка

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

лежит на прямой Симсона. Если составить четырехугольник Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, где Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, то получим, что прямая Симсона вершины Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствовписанного в окружность четырехугольника проходит через центр Z окружностиЭйлера этого четырехугольника.

Решим некоторые задачи методом комплексных чисел.

В результате поворота на Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствовокруг точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоотрезок Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоперешёл в отрезок Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Доказать, что медиана Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствотреугольника Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоперпендикулярна прямой Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Пусть координаты Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстворавны соответственно Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Тогда точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствобудут иметь координаты Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, а середина Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоотрезка Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— координату Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоНаходим:

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

число – чисто мнимое. На основании критерия перпендикулярности (отрезки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоперпендикулярны тогда и только тогда, когда число Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоявляется чисто мнимым), прямые Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоперпендикулярны.

Из основания высоты треугольника опущены перпендикуляры на две стороны, не соответственные этой высоте. Доказать, что расстояние между основаниями этих перпендикуляров не зависит от выбора высоты треугольника.

Пусть дан треугольник Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, причём описанная около него окружность имеет уравнение Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Если Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— высота треугольника, то

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Комплексные координаты оснований Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоперпендикуляров, опущенных из точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствона Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствосоответственно, равны

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Так как Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Это выражение симметрично относительно Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, т.е. расстояние Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствоне зависит от выбора высоты треугольника.

На плоскости даны четыре окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствотакие, что окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопересекаются в точках Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствопересекаются в точках Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство, окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— в точках Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствои окружности Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство— в точках Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство. Доказать, что если точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстволежат на одной окружности или прямой, то и точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствотакже лежат на одной окружности или прямой.

Так как точки Условия принадлежности 4 точек окружности доказательстволежат на одно окружности, то вещественным будет выражение

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Аналогично для остальных точек составим вещественные выражения

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Поэтому, вещественным будет и выражение

Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство

Следовательно, из вещественности двойного отношения Условия принадлежности 4 точек окружности доказательствовытекает и вещественность двойного отношения Условия принадлежности 4 точек окружности доказательство.

Известно, сколь широко используются комплексные числа в математике и её приложениях. Особенно часто применяется функции комплексного переменного, в частности, аналитические функции.

Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать и в более простых разделах математики – элементарной геометрии, тригонометрии, теории движений и подобий, аффинных и круговых преобразований, а также в электротехнике и в различных механических и физических задачах.

Названные выше разделы элементарной математики хорошо описываются с использованием комплексных чисел, однако в литературе

это отражено мало. На русском языке фактически отсутствуют руководства по элементарной геометрии и примыкающей к ней теории преобразований, в которых использовался бы алгебраический аппарат комплексных чисел.

В работе большое место занимает вывод формул для решения планиметрических задач с помощью комплексных чисел, а также рассмотрены основные свойства некоторых фигур планиметрии. Также приведенные в ней вычисления сопровождаются иллюстрациями, с помощью которых можно легко разобраться с рассмотренными формулами и полученными результатами. В конце работы разобраны решения трех задач с помощью комплексных чисел.

Данная работа может быть использована, как пособие для решения задач планиметрии с помощью приведенных здесь формул.

1. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. – 52 с.

2. Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов – М.: МЦНМО, 2004. — 160 с.

3. Швецов Д. От прямой Симсона до теоремы Дроз-Фарни, Квант. — №6, 2009. – с. 44-48

4. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 612 с.

5. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии – М.: Физматгиз, 1963. – 192 с.

📽️ Видео

Второе условие принадлежности четырех точек окружностиСкачать

Второе условие принадлежности четырех точек окружности

ОКРУЖНОСТЬ (признак принадлежности четырех точек одной окружности) ЧАСТЬ 4Скачать

ОКРУЖНОСТЬ (признак принадлежности четырех точек одной окружности) ЧАСТЬ 4

ОГЭ Задание 25 Условие принадлежности четырёх точек одной окружностиСкачать

ОГЭ Задание 25 Условие принадлежности четырёх точек одной окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Определение принадлежности точки окружностиСкачать

Определение принадлежности точки окружности

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Доказать, что точки лежат на одной окружностиСкачать

Доказать, что точки лежат на одной окружности

ОГЭ Задание 25 Две окружностиСкачать

ОГЭ Задание 25 Две окружности

Геометрия Точки A, M, N, B таковы, что угол AMB = углу ANB, причем точки M и N лежат в однойСкачать

Геометрия Точки A, M, N, B таковы, что угол AMB = углу ANB, причем точки M и N лежат в одной

Принадлежность точки прямой, лучу, отрезкуСкачать

Принадлежность точки прямой, лучу, отрезку

Доказать, что точки лежат в одной плоскости - bezbotvyСкачать

Доказать, что точки лежат в одной плоскости - bezbotvy

Доказать, что точки лежат на одной окружности Д301Скачать

Доказать, что точки лежат на одной окружности Д301

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.
Поделиться или сохранить к себе: