Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Основное тригонометрическое тождествоСкачать

Основное тригонометрическое тождество

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Итак, нам известны координаты точки A (1; 0).

Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.

  • Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A1.
  • По определениям:
    • Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    • Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Это значит, что точка A1 получает координаты cos α, sin α.

  • Опускаем перпендикулярную прямую A1B на x0 из точки A1.

    Образовался прямоугольный треугольник OA1B.

    |OB| = |x|.

    Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.

    |OA1| = 1.

    Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:

    |A1B| 2 + |OB| 2 = |OA1| 2 .

    Записываем в виде: |y| 2 + |x| 2 = 1 2 .

    Это значит, что y 2 + x 2 = 1.
    sin угла α = y
    cos угла α = x

    Вставляем данные угла вместо координат точек:

    OB = cos α
    A1B = sin α
    A1O = 1

  • Получаем основное тригонометрическое тождество: sin 2 α + cos 2 α = 1.
    Что и требовалось доказать.
  • Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

    • sin α = ±Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
    • cos α = ±Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

    Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

    Видео:Доказательство основного тригонометрического тождества (видео 1)|Тригонометрия | МатематикаСкачать

    Доказательство основного тригонометрического тождества (видео 1)|Тригонометрия | Математика

    Тангенс и котангенс через синус и косинус

    • Синус угла — это ордината y.
    • Косинус угла — это абсцисса x.
    • Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
    • Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

    Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

    • tg α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
    • ctg α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Исходя из определений:

    • tg α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность= Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
    • ctg α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность= Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    задаются sin и cos углов.

    Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

    Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

    • Например, выражение Основное тригонометрическое тождество доказательство окружностьприменимо для любого угла α, не равного Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность+ π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

    Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

    Видео:Основное тригонометрическое тождество. 9 класс.Скачать

    Основное тригонометрическое тождество. 9 класс.

    Связь между тангенсом и котангенсом

    Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

    • Тождество записывается в следующем виде:
      tg α * ctg α = 1.

    Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

    Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

    tg α * ctg α = 1.

    ctg α = x/y

  • Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
  • Преобразовываем выражение, подставляем Основное тригонометрическое тождество доказательство окружностьи Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность,
    получаем: Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
  • Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

    Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

    Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

    Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

    Тангенс и косинус, котангенс и синус

    Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

    Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

    • tg 2 α + 1 = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

    • 1 + ctg 2 α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

    Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
    sin 2 α + cos 2 α = 1.

    1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
    2. В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
    3. Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
      1 + ctg 2 α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность.
    4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружностьприменимо для любого угла α, не равного Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность+ π + z, где z — это любое целое число.
    5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружностьприменимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

    Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

    Основные тригонометрические тождества

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    tg 2 α + 1 = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    1 + ctg 2 α = Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Видео:Основное тригонометрическое тождество. 8 класс.Скачать

    Основное тригонометрическое тождество. 8 класс.

    Примеры решения задач

    Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

    Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

      Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Далее подставляем значения sin α:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Вычисляем:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Задачка 2. Найдите значение cos α,
    если:
    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

      Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Далее подставляем значения sin α:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

  • Вычисляем:
    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
  • То же самое проделываем со вторым значение sin α

    Подставляем значения sin α:

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

  • Вычисляем: Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность
  • Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

    Видео:9 класс, 10 урок, Основное тригонометрическое торжество. Формула приведенияСкачать

    9 класс, 10 урок, Основное тригонометрическое торжество. Формула приведения

    Основные тригонометрические тождества: их формулировки и вывод

    В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах. Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

    Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

    sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

    Видео:Почему основное тригонометрическое тождество таково?Скачать

    Почему основное тригонометрическое тождество таково?

    Связь между sin и cos одного угла

    Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 — это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью .

    Пусть даны координаты точки А ( 1 , 0 ) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты ( cos α , sin α ) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .

    В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

    Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами ( 1 , 0 ) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 ( х , у ) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .

    Основное тригонометрическое тождество доказательство окружность

    На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н . По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .

    Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .

    Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 — cos 2 α и cos α = ± 1 — sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

    Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

    Видео:Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрическая окружность.Скачать

    Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрическая окружность.

    Тангенс и котангенс через синус и косинус

    Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

    t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

    Из определения синус является ординатой у , а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

    t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

    c t g α = x y = cos α sin α .

    Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

    Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.

    Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Связь между тангенсом и котангенсом

    Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.

    Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

    Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

    Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

    Формулы приведения - как их легко выучить!

    Тангенс и косинус, котангенс и синус

    Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

    Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби , где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.

    Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 10 класс тригонометрияСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 10 класс тригонометрия

    Please wait.

    Видео:Основное тригонометрическое тождество. Урок геометрии 9 класс.Скачать

    Основное тригонометрическое тождество. Урок геометрии 9 класс.

    We are checking your browser. mathvox.ru

    Видео:✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис Трушин

    Why do I have to complete a CAPTCHA?

    Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

    Видео:Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать

    Формулы приведения с нуля за 15 минут!

    What can I do to prevent this in the future?

    If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

    If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

    Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

    Cloudflare Ray ID: 6cf6e80bfabb0c3c • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

    💡 Видео

    98. Основное тригонометрическое тождество . Формулы приведенияСкачать

    98. Основное тригонометрическое тождество . Формулы приведения

    Геометрия 9 класс (Урок№13 - Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№13 - Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.)

    Как использовать основное тригонометрическое тождество для решения сложных задач?Скачать

    Как использовать основное тригонометрическое тождество для решения сложных задач?

    [понять нельзя заучивать] Доказательство основного тригонометрического тождестваСкачать

    [понять нельзя заучивать] Доказательство основного тригонометрического тождества

    Тригонометрия 10 класс алгебра. Основное тригонометрическое тождество.Скачать

    Тригонометрия 10 класс алгебра. Основное тригонометрическое тождество.

    Доказательство основного тригонометрического тождестваСкачать

    Доказательство основного тригонометрического тождества
    Поделиться или сохранить к себе: