Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.
В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.
Формула расстояния между двумя точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
,
Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r.
Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.
.
Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.
Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х0 ) 2 +(у – у0 ) 2 = r 2 .
Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х0; у0) и радиусом r имеет вид:
В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):
Видео:№970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1; 3), если известноСкачать
Написать уравнение окружности
Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.
1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:
2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).
Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.
Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.
Следовательно, уравнение данной окружности
3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).
Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка
Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.
Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,
Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —
4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).
Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение
получаем систему уравнений:
Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим
Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:
на -1 и сложив результат почленно с уравнением
получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:
Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —
5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).
Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение
Видео:№972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2)Скачать
Уравнение окружности проходящей через две точки
Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0, 1); (2, 0); (3, -1).
Искомое уравнение имеет вид (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 . Поскольку окружность проходит через заданные точки, координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя поочередно в искомое уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения a, b и r. Вот эти уравнения:
Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем
Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь
Отсюда . Подставляя эти значения a и b в первое из уравнений системы, получим . Искомое уравнение имеет вид
или после упрощений x 2 + y 2 + 3x + 9y — 10 = 0.
🌟 Видео
№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).Скачать
№971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и B (0; 9), если известноСкачать
Уравнение окружности (1)Скачать
Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Метод координат. Геометрия 9 классСкачать
Уравнение прямой, проходящей через две точкиСкачать
Уравнение прямой проходящей через две точки. Урок геометрии 9 класс.Скачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Уравнение окружности (2)Скачать
§51 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точкиСкачать
ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение ОкружностиСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать
Вывод формулы уравнения окружности. Уравнение окружности. Урок 1. Геометрия 8 класс.Скачать