Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Содержание
  1. Узнать ещё
  2. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  3. Как найти катеты через вписанную окружность
  4. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн
  5. 1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника
  6. 2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол
  7. 3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол
  8. Треугольник вписанный в окружность
  9. Определение
  10. Формулы
  11. Радиус вписанной окружности в треугольник
  12. Радиус описанной окружности около треугольника
  13. Площадь треугольника
  14. Периметр треугольника
  15. Сторона треугольника
  16. Средняя линия треугольника
  17. Высота треугольника
  18. Свойства
  19. Доказательство
  20. Узнать ещё
  21. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  22. 📹 Видео
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

3. Теорема Пифагора:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности, где Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности– катеты, Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности– гипотенуза. Видеодоказательство

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

4. Площадь Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностипрямоугольного треугольника с катетами Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

5. Высота Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностипрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностии гипотенузу Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиследующим образом:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

7. Радиус Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиописанной окружности есть половина гипотенузы Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностивписанной окружности выражается через катеты Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностии гипотенузу Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиследующим образом:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиAK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиДано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

1) Проведем отрезки OK и OF.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Как найти катеты через вписанную окружность

Видео:Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Задание 24  Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):

( small r= frac , )(1)
( small p= frac . )(2)

Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:

( small S= large frac small cdot a cdot b. )(3)

Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

( small r= large frac ab> (a+b+c)> ) ( small = large frac, )(4)
( small c= sqrt . )(5)

Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на ( small a+b-c ):

( small r= frac ) ( small = frac ) ( small = frac )(6)

Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:

( small r= frac ) ( small = frac .)

Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:

( small r= frac ,)(7)

где c вычисляется из (5).

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Подставим значения ( small a=17, ; b=5; c=17.720045 ) в (7):

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности
( small frac =frac .)

Учитывая, что ( small alpha=90°-beta ) и ( small sin (90°-beta)=cos beta ), получим:

( small frac =frac ) ( small =frac =frac .)(8)

Тогда из (8) получим:

( small b=frac . )(9)

Далее, из теоремы синусов:

( small frac =frac ) ( small =frac =frac .)
( small c=frac .)(10)

Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения ( small b ) и ( small c ) из (9) и (10) в (7):

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиКак найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности
Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности(11)

Пример 2. Известны катет ( small a=21 ) и прилежащий к нему угол ( small beta=30° ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения ( small a=21 ) ( small beta=30° ) в (11):

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Видео:Важная формула для ЕГЭ! Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольникаСкачать

Важная формула для ЕГЭ! Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника

3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha; ) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:

( small alpha+beta=90°) ( small beta=90°-alpha )

Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиКак найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности
Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности(12)

Пример 3. Известны катет ( small a=6 ) прямоугольного треугольника и противолежащий угол ( small alpha=53°. ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение ( small a=6, ; alpha=53° ) в (12):

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Ответ: Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Видео:Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружности

Треугольник вписанный в окружность

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Видео:ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решенияСкачать

ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решения

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147Скачать

Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классы

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиAK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружностиДано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

1) Проведем отрезки OK и OF.

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

📹 Видео

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Нахождение радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольникеСкачать

Нахождение радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике

🔴 Радиус вписанной в прямоугольный треугольник ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Радиус вписанной в прямоугольный треугольник ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

Найдите гипотенузуСкачать

Найдите гипотенузу
Поделиться или сохранить к себе: