- Вписанная и описанная окружности
- Вписанная окружность
- Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
- Готовые работы на аналогичную тему
- Описанная окружность
- Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
- Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
- Вписанная и описанная окружность презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Подписи к слайдам:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- 🎦 Видео
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Вписанная и описанная окружности
Вы будете перенаправлены на Автор24
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанная окружность
Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK. $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M и L$. Так как $OM,OK и OL$ — перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.
Готовые работы на аналогичную тему
Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
Описанная окружность
Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.
Рисунок 3. Описанная окружность
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $^0$.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $^0$, то около него можно описать окружность.
Видео:Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:
Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора $^2=^2-^2, BM=sqrt<^2-frac<^2>>=sqrt=sqrt=3$. $OM=OH=r$ — искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4 см$. Следовательно, $BH=5-4=1 см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:
Ответ: $frac$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2021
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Вписанная и описанная окружность
презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме
«Вписанная и описанная окружность»-презентация для 8 класса .
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
25._vpisannaya_i_opisannaya_okruzh.ppt | 1.69 МБ |
Предварительный просмотр:
Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Подписи к слайдам:
8 класс Л.С. Атанасян Геометрия 7-9 Вписанная и описанная окружности
О D В С Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник. А E А многоугольник называется описанным около этой окружности.
D В С Какой из двух четырехугольников АВС D или АЕК D является описанным? А E К О
D В С В прямоугольник нельзя вписать окружность. А О
D В С Какие известные свойства нам пригодятся при изучении вписанной окружности? А E О К Свойство касательной Свойство отрезков касательных F P
D В С В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. А E О a a R N F b b c c d d
D В С Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника. А О № 695 В C+AD=15 AB+DC=15 P ABCD = 30 см
D F Найти FD А О N ? 4 7 6 5
D В С Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус вписанной окружности. А В C+AD=1 0 AB+DC=1 0 2 8 5 5 2 N F 3 3 4 S L О
D В С Верно и обратное утверждение. А О Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. ВС + А D = АВ + DC
D В С Можно ли в данный четырехугольник вписать окружность? А О 5 + 7 = 4 + 8 5 7 4 8
В С А В любой треугольник можно вписать окружность. Теорема Доказать, что в треугольник можно вписать окружность Дано: АВС
K В С А L M О 1) ДП: биссектрисы углов треугольника 2) С OL = CO М, по гипотенузе и ост. углу О L = M О Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника 3) МОА = КОА, по гипотенузе и ост. углу МО = КО 4) L О= M О= K О точка О равноудалена от сторон треугольника. Значит, окружность с центром в т.О проходит через точки K, L и M . Стороны треугольника АВС касаются этой окружности. Значит, окружность является вписанной АВС.
K В С А В любой треугольник можно вписать окружность. L M О Теорема
D В С Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. А № 69 7 F r a 1 a 2 a 3 r О r … + К
О D В С Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника. А E А многоугольник называется вписанным в эту окружность.
О D В С Какой из многоугольников, изображенных на рисунке является вписанным в окружность? А E L P X E О D В С А E
О А В D С Какие известные свойства нам пригодятся при изучении описанной окружности? Теорема о вписанном угле
О А В D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . С + 360 0
? 59 0 ? 90 0 ? 65 0 ? 100 0 D А В С О 80 0 115 0 D А В С О 121 0 Найти неизвестные углы четырехугольников.
D Верно и обратное утверждение. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно вписать окружность. А В С О 80 0 100 0 113 0 67 0 О D А В С 79 0 99 0 123 0 77 0
В С А Около любого треугольника можно описать окружность. Теорема Доказать, что можно описать окружность Дано: АВС
K В С А L M О 1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам ВО = СО 2) В OL = CO L , по катетам 3) СОМ = А O М, по катетам СО = АО 4) ВО=СО=АО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника. Значит, окружность с центром в т.О и радиусом ОА пройдет через все три вершины треугольника, т.е. является описанной окружностью.
K В С А Около любого треугольника можно описать окружность. L M Теорема О
О В С А О В С А № 702 В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС = 134 0 134 0 67 0 23 0 б) АС = 70 0 70 0 55 0 35 0
О В С А № 703 В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС = 102 0 . 102 0 51 0 (180 0 – 51 0 ) : 2 = 129 0 : 2 = 128 0 60 / : 2 = 64 0 30 /
О В С А № 704 ( a ) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О – середина гипотенузы. 180 0 д и а м е т р
О В С А № 704 (б) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d , а один из острых углов треугольника равен . d
О С В А № 705 (а) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см. 8 6 10 5 5
О С А В № 705(б) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=18 см, 18 30 0 36 18 18
О В С А Боковые стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см. Найти радиус описанной около него окружности. 180 0 3 3
О В С А Радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на чертеже, равен 2 см. Найти сторону АВ. 180 0 2 2 45 0 ?
Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок геометрии в 8 классе по теме «Вписанная и описанная окружность»
Презентация к уроку включает определения основных понятий, создание проблемной ситуации, а также развитие творческих способностей учащихся.
Рабочая программа по элективному курсу по геометрии «Решение планиметрических задач на вписанные и описанные окружности» 9 класс
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в.
Тест «Вписанная и описанная окружности» 8 класс.
Тест «Вписанная и описанная окружности» 8 класс.
Лабораторная работа «Вписанная и описанная окружность» (8класс)
Два варианта практической работы на построение вписанной и описанной окружностей треугольника. К сожалению, на просмотре в этом окне не высвечиваются готовые чертежи — просмотрите загруженные документ.
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 классов
Древние греки считали окружность совершеннейшейи «самой круглой» фигурой, И в наше время в некоторыхситуациях, когда хотят дать особую оценку, используют слово «кругл.
Методическая разработка элективного курса «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 класса
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в.
Лабораторная работа по теме «Вписанные и описанные окружности»
Исследуем вопрос об окружностях для треугольников, четырехугольников и правильных многоугольников.
🎦 Видео
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать
ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать
Геометрия 8 класс. Тема: "Вписанная и описанная окружности. Решение задач"Скачать
Вписанная окружность. Видеоурок по геометрии 8 классСкачать
Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать
8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать
8 класс - Геометрия - Вписанная и описанная окружностиСкачать
МЕРЗЛЯК-8 ГЕОМЕТРИЯ. ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10. ТЕОРИЯСкачать
Вписанная окружность. Видеоурок 21. Геометрия 8 классСкачать