Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б) Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

в) Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Содержание
  1. Виды уравнений прямой
  2. Основные задачи о прямой на плоскости
  3. Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости
  4. Основная теорема о прямой линии на плоскости
  5. Различные виды уравнений прямой на плоскости
  6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
  7. Прямая линия в пространстве
  8. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
  9. Вычисление уравнения прямой
  10. Методика введения понятия «Параллельные прямые в пространстве»
  11. «Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
  12. «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
  13. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  14. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  15. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  16. Оставьте свой комментарий
  17. Подарочные сертификаты
  18. Аксиома параллельных прямых
  19. 🌟 Видео

Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Построение прямой, параллельной данной

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв котором коэффициент Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойРазрешим общее уравнение прямой относительно переменной Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойОбозначим через Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойтогда уравнение примет вид Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойкоторое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойПри х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойт.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(Рис. 23, для определенности принято, что Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой):

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойт.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойВыполним следующие преобразования Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Обозначим через Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойтогда последнее равенство перепишется в виде Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойТак как точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойлежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойВычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пусть Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойтогда полученные равенства можно преобразовать к виду Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойОтсюда находим, что Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойили Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойПолученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельно заданному вектору Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельно вектору Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Определение: Вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойназывается направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи создадим вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(Рис. 25):

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойколлинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойТребуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойВычислимТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойИз полученной формулы видно:

  • а) если прямые Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельны или совпадаютТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойто Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойОтсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой
  • б) если прямые Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойперпендикулярныТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойто Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойне существует.

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пример:

Определить угол между прямыми Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Решение:

В силу того, что Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойчто прямые параллельны, следовательно, Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Решение:

Так как угловые коэффициенты Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи связаны между собой соотношением Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойто прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойна прямую Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойЕсли прямая Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойзадана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Если прямая Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойзадана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Координатами точки М в заданной системе называются числа Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, обозначающие величину отрезка Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойоси абсцисс и величину отрезка Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойоси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у). Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3). Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

  • первая координатная четверть: х>0, у>0;
  • вторая координатная четверть: хТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой0, у>0;
  • третья координатная четверть: хТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой0, уТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой0;
  • четвертая координатная четверть: х>0, уТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой0.

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3). Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамиТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Числа Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямоймогут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойгоризонтальную прямую, а через точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойили Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Например, если точка Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойрасположена ниже точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойможно считать равныму Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Заметим, что, так как величина Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв этом случае отрицательна, то разность Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойбольше, чемТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Если обозначить через Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойугол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то формулы

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, а Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— угол наклона отрезка Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойк этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Определение 7.1.1. Число Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойопределяемое равенством Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойгде Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— величины направленных отрезков Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойоси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Число Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойне зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Кроме того, Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойбудет положительно, если Мнаходится между точками Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойесли же М вне отрезка Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой-отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи отношение Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв отношении Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойто координаты этой точки выражаются формулами:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Доказательство:

Спроектируем точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойна ось Ох и обозначим их проекции соответственно через Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Подставив в (7.1.4) величины отрезков Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, получимТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Разрешая это уравнение относительно х, находим: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Если Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезка Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Эти формулы

получаются из (7.1.3) при Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойодной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, .

Для всех направляющих векторов Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойданной прямой, не параллельной оси ординат, отношение Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойих координаты пропорциональны: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойа значит Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b>- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойили после упрощения

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(не вертикальная прямая) Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Если Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

или Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойявляется направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойперпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойили у =b, где Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойили х = а, где Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

где Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой-длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Тогда вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойявляется направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойгде Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

где Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой— координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойкоторое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Если абсциссы точек Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойодинаковы, т. е. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойто прямая Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойодинаковы, т. е. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то прямая Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, получим искомое уравнение прямой:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

II способ. Зная координаты точек Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпо формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойэтих прямых:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Если прямые параллельныТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то их нормальные векторы Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойколлинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельны,

т. к.Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Если прямые перпендикулярны Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то их нормальные векторы Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойтоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, или в координатной форме

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойперпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Например, прямые Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойперпендикулярны, так как

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Если прямые заданы уравнениями вида Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, то угол между ними находится по формуле:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой,то из равенства Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойнаходим угловой коэффициент перпендикуляра Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Подставляя найденное значение углового коэффициента Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойто фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пусть задано пространствоТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельного этой прямой.

Вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, лежащую на прямой, параллельно вектору Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельный (коллинеарный) вектору Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Поскольку векторы Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойколлинеарны, то найдётся такое число t, что Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Уравнение Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой(см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой,то вектор

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

где Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой• Подставив значения координат точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Пример:

Записать уравнения прямой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв параметрическом виде.

ОбозначимТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Тогда Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой,

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, откуда следует, что Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойопределяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельно вектору Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Решение:

Подставив координаты точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, и вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи параметрические уравнения:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой;

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойявляется направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв (7.5.3) получим уравнение искомой прямой: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

б) Поскольку единичный вектор оси О х: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойбудет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, получаем:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

в) В качестве направляющего вектора Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойили Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

г) Единичный вектор оси Oz : Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойбудет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Решение:

Подставив координаты точек Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойв уравнение

(7.5.4), получим:Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Очевидно, что за угол Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямоймежду прямыми можно принять угол между их направляющими векторами Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, косинус которого находится по формуле:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторовТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

т.е. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллельна Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойтогда и только тогда, когда Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойпараллелен

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю: Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Пример:

Найти угол между прямыми Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойи

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Тогда Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, откуда Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойилиТеорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой, образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой. Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение параллельной прямой

Методика введения понятия «Параллельные прямые в пространстве»

Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Построение прямой, параллельной данной

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Параллельные прямые в пространстве

Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: .

На рисунке a и b параллельны,
а прямые a и c , a и d не параллельны.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойДокажем теорему о параллельности прямых.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство.
Рассмотрим прямую а и точку M , не лежащую на этой прямой.
Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (Следствие 1).
Обозначим эту плоскость буквой .

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой и прямой , т.е. должна лежать в плоскости . Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а , и притом только одна.
На рисунке эта прямая обозначена буквой b .
Итак, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а .
Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей.
Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.

На рисунке отрезки CD и EF параллельны , а отрезки AB и CD не параллельны, отрезок AB параллелен прямой а .

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямойПараллельность трех прямых

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Из курса планиметрии известно, что если 3 прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве. Сформулируем и докажем это утверждение.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство.
Пусть и . Докажем, что .
Для этого нужно доказать, что прямые а и b :
1) лежат в одной плоскости;
2) не пересекаются.
1. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой плоскость, проходящую через прямую а и точку К .

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.
Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость , то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая c также пересекает плоскость .
Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости .
2. Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые ( а и b ), параллельные прямой с , что невозможно.
Теорема доказана.

Методика введения темы «Параллельны прямые в пространстве»

Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: .

Какие прямые на рисунке параллельны, а какие не параллельны?

На рисунке прямые a и b параллельны,
а прямые a и c , a и d не параллельны.

Докажем теорему о параллельности прямых.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Что нужно доказать?

1) Каким следствием из аксиомы мы воспользуемся, чтобы доказать, что существует единственная плоскость, которая проходит через прямую и точку, не лежащую на прямой?

2) Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой и прямой , т.е. должна лежать в плоскости .

Что из этого следует?

3) Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а , и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой b .

Итак, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а .
Теорема доказана.

2) b – единственная

1) Аксиома 1: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей.
Какие два отрезка называются параллельными?

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.

Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Какие отрезки на рисунке параллельны, а какие не параллельны?

На рисунке отрезки CD и EF параллельны , а отрезки AB и CD не параллельны, отрезок AB параллелен прямой а .

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Из курса планиметрии известно, что если 3 прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Попробуйте сформулировать это утверждение.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Что требуется доказать?

1) Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой плоскость, проходящую через прямую а и точку К .

2) Пусть прямая b пересекает плоскость . Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая c также пересекает плоскость .
Запишем:

Что следует из этих утверждений?

3) Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости .

Получаем противоречие, т.к. .

4) Докажем теперь, что прямые а и b не пересекаются.

Предположим, что они пересекаются.

Из этого следует, что через точку их пересечения проходят две прямые ( а и b ), параллельные прямой с:

Следовательно (по лемме)

Следовательно (по лемме).

Упражнение 1.
Какие две прямые на плоскости называются параллельными?

Какие две прямые в пространстве называются параллельными?

Упражнение 2.
Что означают слова: «Прямые лежат в одной плоскости»?

Упражнение 3.
Покажите рукой в аудитории прямые, через которые нельзя провести плоскость.

Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?

Упражнение 5.
Прямая . Верно ли, что ?

В параллелепипеде A … перечислите все пары параллельных ребер.

Даны две параллельные прямые. Будут ли все прямые, пересекающие обе данные прямые, лежать в одной плоскости? Почему?

Верно ли для пространства утверждение, справедливое на плоскости:
«Две прямые, перпендикулярные двум параллельным прямым, параллельны»?

Сколько пар параллельных ребер имеет:

б) треугольная призма;

Даны две параллельные прямые и точка, не принадлежащая им. Установите, принадлежит ли точка плоскости этих прямых.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 966 человек из 79 регионов

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 339 человек из 71 региона

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

  • Лашичева Полина СергеевнаНаписать 721 30.11.2020

Номер материала: ДБ-1534458

    30.11.2020 0
    30.11.2020 0
    30.11.2020 0
    30.11.2020 0
    30.11.2020 0
    30.11.2020 0
    30.11.2020 0
    30.11.2020 0

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Глава СПЧ предложил ввести подготовительные курсы перед обучением в школе для детей мигрантов

Время чтения: 1 минута

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

Аксиома параллельных прямых

Рассмотрим прямую a и точку M, не лежащую на этой прямой (Рис.1). Докажем, что через точку M можно провести прямую, параллельную прямой a.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Проведем через точку M прямую c, перпендикулярно прямой a, и прямую b, перпендикулярно прямой c (Рис.2).

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Поскольку a и b перпендикулярны прямой с, то они параллельны (статья Перпендикулярные прямые Теорема 1 и статья Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых Определение 1). Таким образом через точку M проходит прямая, параллельная прямой a.

Возникает вопрос, существует ли другая прямая, проходящая через точку M параллельно прямой a. Интуитивно ясно, что если немного повернуть прямую b вокруг оси M, то прямые b и a пересекутся. Но доказать это утверждение до сих пор не удалось. основываясь на стальных аксиомах геометрии.

Таким образом имеем это утверждение в виде аксиомы:

Аксиома 1. Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Доказательство. Пусть заданы параллельные прямые a и b и пусть прямая c пересекает a в точке M (Рис.3). Докажем, что прямая c пересекает и прямую b.

Предположим обратное, т.е. c не пересекает b. Тогда получается, что через точку M проходят две прямые a и c параллельно прямой b, что невозможно (Аксиома 1). Следовательно прямая с пересекает и прямую b.Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

Действительно. Предположим, что прямые a и b параллельны прямой c. Докажем, что прямая a параллельна прямой b. Предположим обратное, т.е. прямые a и b пересекаются в точке M (Рис.4). Тогда получается, что через точку M проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно (Аксиома 1). Значит прямые a и b параллельны. Теорема о прямой проходящей через заданную точку параллельно данной прямой

🌟 Видео

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направленииСкачать

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Построение плоскости, проходящей через данную точку перп. прямой | Стереометрия #30 | ИнфоурокСкачать

Построение плоскости, проходящей через данную точку перп. прямой | Стереометрия #30 | Инфоурок

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.

Теорема о существовании параллельной прямойСкачать

Теорема о существовании параллельной прямой

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДАННОЙ И ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ. ЗАДАЧИ. ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДАННОЙ И ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ. ЗАДАЧИ. ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Часть 8 Уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярную к заданной прямойСкачать

Часть 8 Уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярную к заданной прямой

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.
Поделиться или сохранить к себе: