Вписанные и описанные в окружность многогранники

Лекция по теме: «Свойства вписанных и описанных многогранников», 11 класс
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) по теме

Вписанные и описанные в окружность многогранники

В данной лекции рассматриваютсявписанные и описанные конусы. В лекции используется материал сборника И.М. Смирновой, В.А. Смирнова «Готовимся к ЕГЭ (Геометрия)», задачи портала www.rechuege.ru Дмитрия Гущина

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Скачать:

ВложениеРазмер
lektsiya_po_geometrii_svoystva_vpisannykh_i_opisannykh_mnogogrannikov_11_klass.doc251 КБ

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Предварительный просмотр:

Лекция по теме: «Свойства вписанных и описанных многогранников», 11 класс

Вписанные и описанные конусы

Определение . Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды .

Важно. ЕГЭ. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

Определение. Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду.

Важно. ЕГЭ. В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание вписать окружность.

Определение. Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.

Важно. ЕГЭ. В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Напомним, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле , где S — площадь, p — полупериметр треугольника.

Определение. Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы.

Важно. ЕГЭ. В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

Определение. Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу.

Важно. ЕГЭ. Около любого конуса можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.

Радиус R окружности, описанной около треугольника находится по формуле , где S –площадь, a, b, c – стороны треугольника.

Определение. Сфера называется описанной около усеченного конуса, если окружности оснований усеченного конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу.

Важно. ЕГЭ. Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.

Например: Задача № 1 . Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Решение: Т.к. в основании пирамиды, вписанной в конус, правильный треугольник, то сторона а, равная АС основания пирамиды, равна а = R = 1 ∙ = .

Задача № 2. (В10, ЕГЭ). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 28 . Найдите образующую конуса.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем: , откуда

Радиус сферы равен 28 , поэтому образующая .

Задача № 3. Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы.

Решение . Δ SAB — равнобедренный: SA = SB = 10, SH = 8. Найдем HB.

ΔSHB: по т. Пифагора HB = . Площадь Δ SAB:

S = SH∙АВ = 12∙8 = 48. Площадь этого же треугольника можно вычислить через радиус описанной окружности, т.к. он является радиусом сферы S = , , . Отсюда R = .

1. (В 10, ЕГЭ). Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 75 . Найдите образующую конуса.

2. Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.

3. Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок математики в 11 классе «Сечения конуса, цилиндра и шара. Вписанные и описанные многогранники»

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков. Цели урока: дидактическая: совершенствовать навыки решения задач на сечения круглых тел, совершенствовать навыки применения полученных ранее знаний .

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Решение задач на вписанные и описанные многогранники

Решение задач на вписанные и описанные многогранники.

презентация по теме: «Решение задач на вписанные и описанные многогранники (пирамида)

Данная презентация позволяет организавать устную работу на уроке в 11 классе по готовым чертежам.

презентация по теме: «Решение задач на вписанные и описанные многогранники (призма)»

Данная презентация позволяет организовать устную работу по готовым чертежам в 11 классе.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Самостоятельная работа по теме «Вписанные и описанные многогранники. 11 класс»

Самостоятельная работа по теме «Вписанные и описанные многогранники. 11 класс». Работа рассчитана на 25 минут.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

55. Интерактивный тест по теме: «Вписанные и описанные многогранники».

Данный тест с автоматизированной проверкой ответа может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо установ.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Задачи на вписанные и описанные многогранники.

Проверочная работа контролирующего характера. Проводится с целью текущего контроля и коррекции знаний.

Видео:вписанные и описанные многогранникиСкачать

вписанные и описанные многогранники

Вписанные и описанные многогранники

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Описание презентации по отдельным слайдам:

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Реферат
на тему «Вписанные и описанные многогранники»
(Математика)
Выполнили:
ученицы 11 класса Б
гимназии № 12
Злова Виктория и
Обедина Екатерина

Проверила:
Третьякова Н. А.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Цель работы состоит в том, чтобы узнать весь теоретический материал по теме «Вписанные и описанные многогранники» и научиться применять его на практике.
Цель реферата

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Правильные многогранники
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Многогранники, вписанные в шар
Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника. Центр этой сферы является точкой, равноудаленной от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Пирамида, вписанная в шар
Теорема:
Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Формула для нахождения радиуса описанной сферы
Пусть SABC — пирамида с равными боковыми ребрами, h — ее высота, R — радиус окружности, описанной около основания. Найдем радиус описанной сферы.
Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO1 и SAO.
Тогда
SO1/SA = KS/SO;
R1 = KS · SA/SO
Но KS = SA/2.
Тогда
R1 = SA2/(2SO);
R1 = (h2 +R2)/(2h);
R1 = b2/(2h), где b — боковое ребро.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Призма, вписанная в шар
Теорема:
Около призмы можно описать шар только в том случае, если призма является прямой и около ее основания можно описать окружность.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Параллелепипед, вписанный в шар
Теорема:
Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как в данном случае он является прямым и около его основания — параллелограмма — может быть описана окружность (т. к. основание — прямоугольник).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Конус и цилиндр, вписанные в шар
Теорема:
Около всякого конуса можно описать сферу.
Теорема:
Около любого цилиндра можно описать сферу.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Задача 1
Найти радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.
Решение:
SO1 = SA2/(2SO);
SO =
SO =
=
= a
SO1 = a2/(2 a
) = a
/4.
Ответ:
SO1 = a
/4.
Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SABC изображение центра описанного шара. Проведем апофемы SD и AD (SD = AD). В равнобедренном треугольнике ASD каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка O1 есть пересечение высоты SO и отрезка DN.
Используя формулу из R1 = b2/(2h), получим:

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Задача 2
Решение:
По формуле R1=b2/(2h) для нахождения радиуса описанного шара найдем SC и SO.
SC = a/(2sin(α/2));
SO2 = (a/(2sin(α/2))2 – (a
/2)2 =
= a2/(4sin2(α/2)) – 2a2/4 =
= a2/(4sin2(α/2)) · (1 – 2sin2(α/2)) =
= a2/(4sin2(α/2)) · cosα
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найти радиус описанного шара.
R1 = a2/(4sin2(α/2)) · 1/(2a
/(2sin(α/2))) =
a/(4sin(α/2) ·
).
Ответ:
R1 = a/(4sin(α/2) ·
).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Многогранники, описанные около шара
Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Центром вписанной сферы является точка, равноудаленная от всех граней многогранника.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Положение центра вписанной сферы
Понятие биссекторной плоскости двугранного угла.
Биссекторной называется плоскость, делящая двугранный угол на два равных двугранных угла.
Каждая точка этой плоскости равноудалена от граней двугранного угла.
В общем случае центр вписанной в многогранник сферы является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он всегда лежит внутри многогранника.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Пирамида, описанная около шара
Шар, называется вписанным в (произвольную) пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания).
Теорема:
Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Так как двугранные углы при основании равны, то их половинки тоже равны  биссектрисы пересекаются в одной точке на высоте пирамиды. Эта точка принадлежит всем биссекторным плоскостям при основании пирамиды и  равноудалена от всех граней пирамиды – центр вписанного шара.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Формула для нахождения радиуса вписанной сферы
Пусть SABC — пирамида с равными боковыми ребрами, h — ее высота, r — радиус вписанной окружности. Найдем радиус описанной сферы.
Пусть SO = h, OH = r, O1O = r1.
Тогда по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника
O1O/OH = O1S/SH;
r1/r = (h – r1)/ ;
r1 · = rh – rr1;
r1 · ( + r) = rh;
r1 = rh/( + r).
Ответ: r1 = rh/( + r).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Призма, описанная около шара
Теорема:
Сферу можно вписать в призму тогда и только тогда, когда призма прямая и в основание можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Параллелепипед и куб, описанные около шара
Теорема:
В параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда параллелепипед прямой и его основание — ромб, причем высота этого ромба есть диаметр вписанной сферы, который, в свою очередь, равен высоте параллелепипеда. (Из всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность)
Теорема:
В куб всегда можно вписать сферу. Центр этой сферы — точка пересечения диагоналей куба, а радиус равен половине длины ребра куба.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Цилиндр и конус, описанные около шара
Теорема:
Сферу можно вписать лишь в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания.
Теорема:
Во всякий конус можно вписать сферу.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Комбинации фигур
Вписанная и описанная призмы
Призма, описанная около цилиндра – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.
Призма, вписанная в цилиндр – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра.
Касательная плоскость к цилиндру – плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанная и описанная пирамиды
Пирамида, вписанная в конус – пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса.
Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус – образующие конуса.
Пирамида, описанная около конуса – пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Плоскости боковых граней описанной пирамиды – касательные плоскости конуса.
Касательная плоскость к конусу – плоскость, проходящая через образующую и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Другие виды конфигураций
Цилиндр вписан в пирамиду, если окружность одного его основания касается всех боковых граней пирамиды, а другое его основание лежит на основании пирамиды.
Конус вписан в призму, если его вершина лежит на верхнем основании призмы, а его основание – круг, вписанный в многоугольник – нижнее основание призмы.
Призма вписана в конус, если все вершины верхнего основания призмы лежат на боковой поверхности конуса, а нижнее основание призмы лежит на основании конуса.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Задача 1
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
Решение:
Выразим стороны ∆SOK через а и α.
OK = a/2.
SK = KC · ctg(α/2);
SK = (a · ctg(α/2))/2.
SO =
SO =
= (a/2)
Использую формулу r1 = rh/(
+ r), найдем радиус вписанного шара:
r1 = OK · SO/(SK + OK);
r1 = (a/2) · (a/2)
/((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) =
= (a/2)
/(ctg(α/2) + 1) =
(a/2)
=
= (a/2)
Ответ: r1 = (a/2)

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вывод
Тема «Многогранники» изучается учениками в 10 и 11 классах, но в учебной программе очень мало материала на тему «Вписанные и описанные многогранники», хотя она вызывает очень большой интерес у учащихся, так как изучение свойств многогранников способствует развитию абстрактного и логического мышления, что впоследствии пригодится нам в учебе, работе, жизни.
Работая над данным рефератом, мы изучили весь теоретический материал на тему «Вписанные и описанные многогранники», рассмотрели возможные комбинации фигур и научились применять весь изученный материал на практике.
Задачи на комбинацию тел – наиболее трудный вопрос курса стереометрии 11 класса. Но теперь мы с уверенностью можем сказать, что у нас не возникнет проблем при решении подобных задач, так как в ходе нашей исследовательской работы мы установили и доказали свойства вписанных и описанных многогранников. Очень часто у учащихся возникают трудности при построении чертежа к задаче на данную тему. Но, узнав, что для решения задач на комбинацию шара с многогранником изображение шара бывает излишним и достаточно указать его центр и радиус, мы можем быть уверены, что данных трудностей у нас не возникнет.
Благодаря данному реферату мы смогли разобраться в этой трудной, но очень увлекательной теме. Мы надеемся, что теперь у нас не возникнет трудностей при применении изученного материала на практике.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Вписанные и описанные многоугольники — формулы, свойства и примеры с решением

Содержание:

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой и окружности. Ранее уже отмечалось, что возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

  1. прямая имеет только две общие точки с окружностью;
  2. прямая имеет только одну общую точку с окружностью;
  3. прямая не имеет общих точек с окружностью.

Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

Видео:Вписанные и описанные многогранники | Геометрия | 11 класс | Онлайн-школа СинергияСкачать

Вписанные и описанные многогранники | Геометрия | 11 класс | Онлайн-школа Синергия

Понятие о вписанных и описанных многоугольниках

Взаимное расположение окружности со (О, R) с центром в точке О радиуса R и прямой I характеризуется соотношением между расстоянием d(0, I) от центра О окружности до прямой I и радиусом R окружности. Докажем это.

1) Прямая I имеет только две общие точки с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I меньше радиуса окружности, т. е. Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Пусть прямая I не проходит через центр О окружности и расстояние Вписанные и описанные в окружность многогранники. Обозначим OF Вписанные и описанные в окружность многогранники— перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, тогда OF = m. Пусть точки А и В лежат на прямой I

так, что Вписанные и описанные в окружность многогранники. Докажем, что точки А и В принадлежат окружности.

Действительно, так как по теореме Пифагора

Вписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранники

Таким образом, точки А и В — общие точки прямой и окружности. Докажем, что других общих точек прямая I и окружность Вписанные и описанные в окружность многогранникине имеют.

Предположим, что существует еще одна точка X — общая для окружности и прямой. Тогда центр окружности О равноудален от точек А, В, и X, а значит, он лежит на серединных перпендикулярах Вписанные и описанные в окружность многогранникик отрезкам АВ и ВХ, т. е. О — точка перессечения серединных перпендикуляровВписанные и описанные в окружность многогранники. Но так какВписанные и описанные в окружность многогранники,. Получили противоречие. Значит, наше предположение не верно и других общих точек прямой и окружности нет.

Если прямая I проходит через центр О окружности, т. е. d(0, Z) = 0, то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра, лежащего на этой прямой.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

2) Прямая I имеет только одну общую точку с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, т. е. если d(0, I) = R.

Пусть расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, а точка F — основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой I (рис. 2). Тогда OF = R, а значит, точка F лежит на окружности. Других общих точек прямая и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X прямой I, не совпадающей с точкой F, выполняется условие ОХ > OF, OF = R, так; как наклонная ОХ больше перпендикуляра OF.

Следовательно, точка X не лежит на окружности.

3) Прямая I не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса окружности, т. е. если d(0, I) > R.

Пусть расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса R. Обозначим буквой F основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности к прямой I (рис. 3). Тогда OF = d(0, I), d(0, I) > R.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Для любой точки X прямой выполняется условие Вписанные и описанные в окружность многогранники, следовательно, точка X не лежит на окружности. Таким образом, в случае Вписанные и описанные в окружность многогранникипрямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности

Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, имеет специальное название — касательная.

Определение. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Единственная общая точка прямой и окружности называется точкой касания прямой и окружности.

Если прямая I имеет единственную общую точку А с окружностью, то говорят, что прямая I касается окружности в точке А.

Теорема 1 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

1) Пусть прямая I касается окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникиДокажем, что Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанные и описанные в окружность многогранники

2) Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой I. Перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, меньше наклонной ОА, следовательно, расстояние от центра окружности до прямой

меньше радиуса. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию. Таким образом, прямая I перпендикулярна радиусу ОА.

Рассмотрим следствия из данной теоремы.

Пусть через точку А проведены две прямые, касающиеся окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникиТогда отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А (рис. 5).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Следствие 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

1) Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенные из точки А (рис. 5). Для доказательства равенства АВ = АС рассмотрим треугольники АВО и АСО.

2) По свойству касательной Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранники, т. е. треугольники АВО и АСО — прямоугольные.

3)Вписанные и описанные в окружность многогранники, так как АО — общая гипотенуза, а катеты О В и ОС равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что АВ =АС.

Следствие 1 доказано.

Из равенства треугольников АВО и АСО вытекает также, что Вписанные и описанные в окружность многогранники. Таким образом, получим еще одно следствие.

Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно установить, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности.

Теорема 2 (признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности.

1) Пусть прямая I проходит через точку А окружности и перпендикулярна радиусу О А (рис. 6). Для доказательства того, что прямая I касается окружности, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

2) Так как точка А лежит на окружности и прямая I проходит через точку А, то А — общая точка прямой I и окружности.

3) Других общих точек прямая I и окружность не имеют. Действительно, для любой точки Вписанные и описанные в окружность многогранникиотрезок ОХ является наклонной, так как по условию Вписанные и описанные в окружность многогранникиСледовательно, ОХ > ОА, т. е. точка X не принадлежит окружности.

Таким образом, точка А — единственная общая точка прямой I и окружности, а, значит, прямая I — касательная к окружности.

Пример №1

Через точку А, находящуюся от центра О окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные АВ и АС, где Б и С — точки касания. Вычислите площадь Вписанные и описанные в окружность многогранникичетырехугольника АВОС, если АВ + АС = = 16 см ( рис. 7).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Решение:

1) Площадь четырехугольника АВОС равна сумме площадей треугольников АВО и АСО.

2) По свойству касательной Вписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранники. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая, ОВ = ОС). Значит,

Вписанные и описанные в окружность многогранники

3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, АВ=АС = 8 см. Теперь, применив теорему Пифагора, вычислимВписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранники

Таким образом, Вписанные и описанные в окружность многогранники

Ответ: Вписанные и описанные в окружность многогранники

Пример №2

Точка F — середина основания ВС равнобедренного треугольника АБС. Докажите, что прямая ВС является касательной к окружности Вписанные и описанные в окружность многогранники(рис. 8, а, б).

Вписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранники

Доказательство.

1) Прямая ВС проходит через конец F радиуса окружности Вписанные и описанные в окружность многогранники. Для доказательства того, что ВС является касательной, достаточно доказать, что Вписанные и описанные в окружность многогранники

2) В равнобедренном треугольнике AВС отрезок AF — медиана, проведенная к его основанию. Следовательно, Вписанные и описанные в окружность многогранникиТаким образом, по признаку касательной прямая ВС касается окружности Вписанные и описанные в окружность многогранники

Что и требовалось доказать.

Пример №3

Точка А лежит вне окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникиПостройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку А.

1) Пусть прямая I, проходящая через точку А и касающаяся окружности Вписанные и описанные в окружность многогранники, построена. Точка В — точка касания. Тогда по свойству касательной OB LAB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку В на окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникитак, что Вписанные и описанные в окружность многогранники.

2) Рассмотрим окружность coj, диаметром которой является отрезок АО, т. е. Вписанные и описанные в окружность многогранникиПусть В и С — точки пересечения окружностей Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранники(рис. 9, б). Заметим, что Вписанные и описанные в окружность многогранники, как углы при основании равнобедренных треугольников ВО,О и ВО,А соответственно. Так как Вписанные и описанные в окружность многогранники, то Вписанные и описанные в окружность многогранникиЗначит, Вписанные и описанные в окружность многогранники, т. е.Вписанные и описанные в окружность многогранники. Аналогично доказывается, чтоВписанные и описанные в окружность многогранники. Отсюда по признаку

касательной к окружности следует, что прямые АВ и АС являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений.
Вписанные и описанные в окружность многогранники

1) Проводим отрезок О А, соединяющий центр О данной окружности и точку А (рис. 10, а).

2) Строим середину Вписанные и описанные в окружность многогранникиотрезка ОА: Вписанные и описанные в окружность многогранникиТочки F и Е — точки пересечения окружностей Вписанные и описанные в окружность многогранники

гдеВписанные и описанные в окружность многогранники(рис. 10, б).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

3) Строим окружность Вписанные и описанные в окружность многогранники(рис. 10, в) и точки Б, С — точки пересечения данной и построенной окружностей.

4) Прямые АВ и АС — искомые касательные к данной окружности.

Доказательство. По построению Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранники(см. задачу № 251 учебного пособия «Геометрия, 7»), т. е. АВ1ОВ и АС 1ОВ. Следовательно, по признаку касательной АВ и АС — касательные.

Взаимное расположение двух окружностей

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей в плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей:

1) окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11, а ));

Вписанные и описанные в окружность многогранники

2) окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б));

3) окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внутренним образом (рис. 12, а ));

4) окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом, (рис. 12, б)).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Пример №4

Докажите, что если две окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранникикасаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е.Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Доказательство.

1) Пусть окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникикасаются внешним образом в точке А (рис. 13, а).

2) Докажем, что точка А лежит на отрезке Вписанные и описанные в окружность многогранникиДопустим, что точка А не лежит на отрезке Вписанные и описанные в окружность многогранникиЗаметим, что в случае внешнего касания точка А не может лежать на продолжении отрезка Вписанные и описанные в окружность многогранникиПусть точка касания А не лежит на отрезке Вписанные и описанные в окружность многогранники(рис. 13, б). Тогда Вписанные и описанные в окружность многогранники

3) Пусть F — точка, симметричная точке А относительно прямой Вписанные и описанные в окружность многогранники. Тогда Вписанные и описанные в окружность многогранники, а значит, точка F принадлежит каждой окружности. Таким образом, окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникиимеют две общие точки А и F, что противоречит условию их касания. Следовательно, точка касания А лежит на отрезке Вписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранники

4) Докажем, что Вписанные и описанные в окружность многогранникиТочка А лежит на отрезке Вписанные и описанные в окружность многогранникизначит, Вписанные и описанные в окружность многогранники

Справедливо и обратное утверждение.

Пример №5

Докажите, если расстояние между центрами двух окружностей, лежащих в плоскости, равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом.

1) Пусть даны две окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникии известно, что Вписанные и описанные в окружность многогранникиДокажем, что окружности касаются внешним образом.

2) На отрезкеВписанные и описанные в окружность многогранникирассмотрим точку А такую, что Вписанные и описанные в окружность многогранникиТогда Вписанные и описанные в окружность многогранники. Таким образом, точка А принадлежит каждой из данных окружностей.

3) Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой Вписанные и описанные в окружность многогранникитаких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой Вписанные и описанные в окружность многогранникипринадлежащая каждой окружности. Тогда Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранникиВ треугольнике Вписанные и описанные в окружность многогранникидлина стороныВписанные и описанные в окружность многогранникиравна сумме длин сторон Вписанные и описанные в окружность многогранники, что невозможно.

4) Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностям Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранники, приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки А, не существует, т. е. окружности касаются.

5) Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружностиВписанные и описанные в окружность многогранникивыполняется условие Вписанные и описанные в окружность многогранникиТаким образом, либо точка F лежит вне окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникикогда Вписанные и описанные в окружность многогранники, либо эта точка принадлежит обеим окружностям, если Вписанные и описанные в окружность многогранникиНо в этом случае точка F есть точка А касания окружностей. Следовательно, окружность Вписанные и описанные в окружность многогранникирасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Вписанные и описанные в окружность многогранники. Аналогично можно доказать, что окружность Вписанные и описанные в окружность многогранникирасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Вписанные и описанные в окружность многогранники. Теперь доказано, что окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранникикасаются внешним образом.

Пример №6

Докажите, что две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

Другими словами, если окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникикасаются внутренним образом, то Вписанные и описанные в окружность многогранникиИ наоборот, если выполняется равенство Вписанные и описанные в окружность многогранники, то окружности касаются внутренним образом.

Пример №7

Две окружности с центрами в точках О и К, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним образом в точке С. К окружностям проведена общая касательная АВ, где точки А и В — точки касания.

Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает касательную АВ в точке Т (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка СТ.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Решение:

Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то ТС = ТА = ТВ, т. е. Вписанные и описанные в окружность многогранники. Значит, нам необходимо вычислить длину отрезка АВ.

2) Так как окружности касаются внешним образом, то ОК = ОС + СК = 16 + 9 = 25 (см).

3) Рассмотрим четырехугольник ODBK. Пусть Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранники(рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, тоВписанные и описанные в окружность многогранники, т. е. треугольник BAD — прямоугольный. Следовательно,

Вписанные и описанные в окружность многогранники

4) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, значит, DB = ОК = = 25 см. Кроме того, DA = ОА — OD = ОА — КВ =16-9 = 7 (см).

Тогда Вписанные и описанные в окружность многогранникиСледовательно,Вписанные и описанные в окружность многогранники

Ответ: ТС = 12 см.

Центральные и вписанные углы

В данном параграфе изучим понятия центрального и вписанного углов.

Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Например, на рисунке 18, а изображен центральный угол TOF, который меньше развернутого угла, а на рисунке 18, б — центральный угол SOD — больше развернутого угла.

Любые две различные точки А и В окружности служат концами двух дуг. Для различия этих дуг на каждой из них отмечается некоторая промежуточная точка. Например, если на дугах отмечены точки F и Т, то в этом случае дуги обозначаются Вписанные и описанные в окружность многогранникии данная запись читается так: «дуга АТВ и дуга AFB» (рис. 19, а). Если понятно, о какой из двух дуг идет речь, употребляется также обозначение Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Дуга АВ окружности называется полуокружностью, если ее концы служат концами диаметра этой окружности.

Например, на рисунке 19, б изображены полуокружности ALB и АС В.

Пусть точки А и Б не являются концами диаметра окружности с центром в точке О. Тогда лучи ОА и ОБ служат сторонами двух центральных углов, один из которых меньше, а другой больше развернутого угла (рис. 20, а).
Вписанные и описанные в окружность многогранники

Дуга АВ окружности Вписанные и описанные в окружность многогранникии центральный угол АОВ, внутри которого лежит эта дуга, называются соответствующими.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который меньше развернутого угла, то говорят, что эта дуга меньше полуокружности.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который больше развернутого угла, то говорят, что дуга больше полуокружности.

Например, на рисунке 20, а изображены дуга AFB, которая меньше полуокружности, и дуга АТВ — больше полуокружности.

Для сравнения дуг окружности вводится понятие градусной меры дуги окружности.

Дадим определение градусной меры дуги окружности.

Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Градусная мера дуги АВ, как и сама дуга, обозначается Вписанные и описанные в окружность многогранники

Таким образом, если дуга АВ окружности меньше полуокружности, a Вписанные и описанные в окружность многогранники— соответствующий ей центральный угол, то Вписанные и описанные в окружность многогранники(см. рис. 20, а).

Если дуга АВ является полуокружностью, то ее градусная мера равна 180° (рис. 20, б).

Градусная мера дуги АТВ, которая больше полуокружности и дополняет дугу АВ, меньшую полуокружности, до окружности, равна 360° Вписанные и описанные в окружность многогранники, где угол АОВ соответствует дуге АВ (рис. 20, в).

Понятие градусной меры дуги позволяет определить понятие равенства дуг окружности.

Две дуги одной и той же окружности называются равными, если равны их градусные меры.

Если градусная мера дуги АВ равна 33°, то пишут Вписанные и описанные в окружность многогранники= 33°. Читают: «Градусная мера дуги АВ равна 33°», или кратко «Дуга АВ равна 33°».

Рассмотрим примеры. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Окружность Вписанные и описанные в окружность многогранникипересекает стороны ВС и CD квадрата в точках F и L соответственно. Тогда Вписанные и описанные в окружность многогранники, а градусная мера дуги FO, которая меньше полуокружности, равна 45°. Градусная мера дуги FLO, которая больше полуокружности, равна Вписанные и описанные в окружность многогранники Вписанные и описанные в окружность многогранники(рис. 21, а).

Рассмотрим еще один пример. Пусть точка О — центр окружности, отрезок АВ — хорда окружности, равная ее радиусу, а отрезок АС — диаметр окружности (рис. 21, б).
Вписанные и описанные в окружность многогранники

Тогда градусная мера дуги АВ, которая меньше полуокружности, равна 60°, так как треугольник АОВ — равносторонний, а значит, градусная мера соответствующего ей центрального угла АОВ равна 60°. Градусная мера дуги ВС, которая меньше полуокружности, равна 120°, так как градусная мера соответствующего ей центрального угла ВОС равна 120°.

Можем вычислить градусную меру дуги ВАС, которая больше полуокружности: Вписанные и описанные в окружность многогранники= 240°.

Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла

Определение. Угол называется вписанным в окружность, если он меньше развернутого угла, вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Например, на рисунке 22, а изображен вписанный угол TOF. Если точки А, В и С лежат на окружности, то каждый из угол ABC, ВСА, САВ является вписанным (рис. 22, б).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Пусть Вписанные и описанные в окружность многогранники— вписанный угол, при этом Г и В — точки пересечения его сторон с окружностью, a TF — дуга, которая лежит внутри этого вписанного угла. В этом случае говорят, что вписанный угол TOF опирается на дугу TF (см. рис. 22, а).

Например, на рисунке 22, в изображены вписанные углы ВАС, ВОС и BFC, которые опираются на одну и ту же дугу ВС.

Теперь докажем теорему о вписанном угле.

Теорема 1(о вписанном угле). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры, дуги, на которую он опирается.

Пусть вписанный в окружностьВписанные и описанные в окружность многогранникиугол ABC опирается на дугу АС.

Докажем, что Вписанные и описанные в окружность многогранникиРассмотрим три возможных случая. Центр О окружности лежит: 1) на одной из сторон угла; 2) во внутренней области угла; 3) во внешней области угла.

Первый случай. Центр О окружности лежит на одной из сторон угла ABC, например на стороне ВС (рис. 23).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

1) Дуга АС меньше полуокружности, следовательно, Вписанные и описанные в окружность многогранники

2) Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, значит, Вписанные и описанные в окружность многогранники

3) Так как углы при основании равнобедренного треугольника АОВ равны, то Вписанные и описанные в окружность многогранники

4) Так как Вписанные и описанные в окружность многогранники, тоВписанные и описанные в окружность многогранники

Второй случай. Центр О окружности лежит во внутренней области угла.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО и дуги АС (рис. 24). Тогда по доказанному в первом случае

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранники

Таким образом, Вписанные и описанные в окружность многогранники

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Третий случай. Центр О окружности лежит во внешней области угла ABC.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае
Вписанные и описанные в окружность многогранникиВписанные и описанные в окружность многогранники

Таким образом, Вписанные и описанные в окружность многогранники

Из данной теоремы получим следующие следствия.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 26, б).

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Рассмотрим пример. Пусть хорда АВ соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности со (О, R). Тогда градусная мера каждого из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB, равна 30° (рис. 26, в). Действительно, градусная мера центрального угла АОВ равна 60°, значит, Вписанные и описанные в окружность многогранники. Каждый из указанных углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого из них равнаВписанные и описанные в окружность многогранники

Теорема 2 (об угле между хордой и касательной).

Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Доказательство.

Первый случай. Пусть угол FAB — острый (рис. 27, о.).

1) Проведем диаметр АС. Тогда вписанный угол СВ А опирается на полуокружность, значит, по следствию 2 он прямой, т. е. Вписанные и описанные в окружность многогранники

2) Треугольник СВА — прямоугольный, следовательно, Вписанные и описанные в окружность многогранники

3) Так как диаметр АС перпендикулярен касательной FA, то Вписанные и описанные в окружность многогранникиТаким образом, Вписанные и описанные в окружность многогранникиТак как вписанный угол АСВ опирается на дугу Вписанные и описанные в окружность многогранники

Следовательно, Вписанные и описанные в окружность многогранники

Второй случай. Пусть угол FAB — тупой (рис. 27, б). Проведем диаметр СА. Тогда

Вписанные и описанные в окружность многогранники

но дуга ВСА лежит внутри тупого угла FAB.

Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей

Теорема 3 (об отрезках пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
Вписанные и описанные в окружность многогранники

1) Проведем хорды АС и BD (рис. 28, б). Рассмотрим треугольники АОСи DOB.

2) Заметим, что Вписанные и описанные в окружность многогранникитак как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу СВ. Кроме того, Вписанные и описанные в окружность многогранники, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу AD.

3) Треугольник АОС подобен треугольнику DOB по первому признаку подобия треугольников, так как Вписанные и описанные в окружность многогранникии Вписанные и описанные в окружность многогранники

4) Из подобия треугольников АОС и DOB следует, что

Вписанные и описанные в окружность многогранники

Значит, Вписанные и описанные в окружность многогранники

Пусть через точку S, лежащую вне окружности, проведена секущая, которая пересекает окружность в точках С и Б, и SC

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

111. Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

111. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Геометрия 11 класс (Урок№15 - Комбинации многогранников и круглых тел.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№15 - Комбинации многогранников и круглых тел.)

5.2. Многогранник, описанный вокруг сферы.Скачать

5.2. Многогранник, описанный вокруг сферы.

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Комбинации многогранников и круглых телСкачать

Комбинации многогранников и круглых тел
Поделиться или сохранить к себе: