Укажите параметры синусоидальной функции времени отражаемые вектором на плоскости комплексных чисел (4 видео)

Представление синусоидальных функций в виде комплексных чисел

От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций <комплексных чисел),изображая векторы в комплексной плоскости с осями координат: Re — ось действительных чисел и величин и 1ш — ось мнимых чисел и величин.

Отложим, например, вектор амплитуды напряжения U_m, отображающий синусоидальное напряжение и = U_msin <(Ot +*Р_М) (рис. 2.8, а), в плоскости Re—Im длиной U_m под углом х ?_и к действительной оси (см. рис. 2.8, б).

Примечание. Комплексные величины будем обозначать соответствующей буквой с чертой под ней, например А, С, U, Е, I. Согласно ГОСТ 2.710-81 для синусоидально изменяющихся величин, таких как напряжение, ток и т.д., разрешается обозначать их комплексы соответствующей буквой с точкой над ней, т.е. А, С, Ё ,Ё,1.

При этом вектор Ц_т при t = 0 выражают экспоненциальной функцией с мнимым аргументом и называют комплексной амплитудой, т.е.

При повороте вектора Ц_т на угол Ш его умножают на оператор вращения е* ш , т.е. при 0

Модуль и аргумент комплексной амплитуды. Запишем соответствие синусоидального напряжения и его комплекса:

где U__m = U_me J4>u — комплексная амплитуда напряжения, не зависящая

от времени (t = 0); j = уГ- = e jn ‘ 2 — мнимая единица; U_m и X V_U — модуль и аргумент комплексной амплитуды напряжения U_m при t = 0; со/ + — аргумент комплекса амплитуды напряжения при t Ф 0. Отметим, что модулем комплексной амплитуды напряжения является амплитуда U_m, а аргументом — начальная фаза х ?_и синусоидального напряжения u<t).

Итак, вектор амплитуды напряжения, вращающийся с частотой со против хода часовой стрелки в комплексной плоскости Re—Im (см.

рис. 2.8, б), состоит из комплексной амплитуды U_m = U_me J ^ u , не зависящей от времени, и множителя e JK>l — оператора вращения, имеющего модуль, равный единице, и аргумент со Г, линейно нарастающий во времени с угловой частотой со.

Умножение вектора U_m на множитель e J(01 означает его поворот на угол со/ в положительном направлении (см. рис. 2.8, б), в то время как при его умножении на множитель е

т вектор Ц_т нужно повернуть на угол со/ по ходу часовой стрелки.

Соотношение между комплексной и временной функциями. Любая точка в комплексной плоскости или вектор, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом А = а + jb, где а — координата точки по оси действительных чисел; b — координата точки по оси мнимых чисел (рис. 2.9, а).

Воспользовавшись формулой Эйлера

запишем координаты комплекса амплитуды напряжения на осях Re и Im комплексной плоскости (см. рис. 2.9, б):

Соотношение (2.10) показывает, что синусоидальная функция напряжения u(t) = f/,„sin(co/ + *Р_М) есть проекция вращающегося вектора на мнимую ось или есть мнимая часть (без J) комплексной амплитуды напряжения, так как

а косинусоидальная функция напряжения u(t) = U_mcos(wt + *Р_И) есть проекция вращающегося вектора на действительную ось или действительная часть комплексной амплитуды напряжения, так как

Например, и = 10sin(otf + 45°) j—»Im[10e y45 °e- /№/ ] = lm[U_me J ], где u_m = 10И 5 — комплексная амплитуда напряжения.

Поделив комплексную амплитуду напряжения U_m на V2, получим комлекс действующего значения напряжения, или комплекс напряжения:

По аналогии записываются комплексы ЭДС Е = Ее^ е и тока / = 1е*‘ ,например

Переход от комплексов к временным функциям. Обратный переход от комплексов к синусоидальным функциям осуществляют следующим образом:

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Изображение синусоидальных функций в комплексной форме

Для анализа и расчета электрических цепей синусоидального тока применяют комплексный метод, базирующийся на теории комплексных чисел.

Любой вектор А на плоскости, проведенный из начала координат и изображающий действующее значение ЭДС, напряжения или тока однозначно определяется точкой, соответствующей концу этого вектора (точка А на рис. 2.6). При этом модуль вектора равен действующему значению (А), а угол между вектором и осью вещественных чисел Яе равен начальной фазе (у/). На плоскости комплексных чисел точке А соответствует одно комплексное число А. Таким образом, любой вектор, проведенный из начала координат, однозначно изображается комплексным числом, соответствующим координатам конца этого вектора. Комплексный метод расчета применим только к цепям с синусоидальными ЭДС, напряжениями и токами, так как только синусоидальные величины можно изображать векторами.

Вектор А имеет вещественную (а) и мнимую (Ь) составляющие:

Координаты точки А могут быть выражены через длину вектора |ОЛ| = А и угол у/ : а = Асозу/, Ь = Аь’ту/. Тогда вектор в комплексном виде

Рис. 2.6. Составляющие ком плексного числа на ком’ плексной плоскости

где — модуль комплексного числа, равный длине вектора

ОА; — угол, на который вектор О А повернут по отношению к

положительному направлению вещественной оси ( Яе ).

Угол у/ положителен, если он отсчитывается в направлении, противоположном вращению часовой стрелки, и отрицателен, если отсчитывается в направлении вращения часовой стрелки.

Используя формулу Эйлера из (2.15) получим

где — поворотный множитель, указывающий, на какой угол по отношению к вещественной оси должен быть повернут вектор, длина которого равна модулю |И|.

Таким образом, поворот вектора ОА на угол ±у/г/2 соответствует умножению его на ± у ; поворот на ± у/г — умножению его на -1 и т.д.

Над комплексными числами, изображающими векторы ЭДС, напряжений и токов, можно производить все алгебраические действия:

• Сложение и вычитание чисел:

а)

Таким образом, сложение и вычитание чисел лучше производить в алгебраической форме, а умножение и деление — показательной форме.

Представим синусоидальный ток в комплексной форме. Мгновенное значение синусоидального тока

можно представить вектор тока / в комплексной форме (рис. 2.7):

где l_a -1 cosy/j — вещественная часть комплекса тока (активная составляющая тока); I_b — I ‘siruj/i — мнимая часть комплекса тока (реактивная

составляющая тока); — модуль комплекса

Пример 2.1. Дано мгновенное значение тока:

Требуется записать вектор тока в комплексной форме. Решение:

В показательной форме:

Рис. 2.7. Вектор синусоидального тока на комплексной плоскости Рис. 2.8. Расположение вектора тока /

В алгебраической форме:

Пример 2.2. Дан вектор тока:

Требуется записать мгновенное значение тока, определить угол у/₍ между вектором / и вещественной осью и изобразить вектор / графически.

где

Таким образом мгновенные значения тока и у/₁:

Табл. 2.1. Синусоидальные функции времени в комплексной форме

На рис. 2.8. приведено расположение вектора / на комплексной плоскости в примере 2.

В табл. 2.1. представлены синусоидальные функции времени в комплексной показательной и алгебраической формах для различных аргументов. Использование этих выражений поможет при решении задач в комплексной форме и проведении различных преобразований комплексных чисел.

Видео:ТОЭ 26. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.Скачать

Представление синусоидальных величин вращающимися векторами и комплексными числами

· Представление синусоидальных функций вращающимися векторами

Расчет переменных токов и напряжений с помощью алгебраических операций их мгновенных значений по исходным выражениям (1.1а) − (1.1в) весьма неудобен из-за громоздких вычислений. Графическое представление синусоидальных величин (см. рис.1.3) достаточно наглядно для одной, двух синусоид, но для сложных цепей практически не используется, ввиду трудности построения и анализа нескольких синусоидальных величин.

Представления синусоидальных функций при помощи вращающихся векторов (векторных диаграмм), как показано на рис 1.4, позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между разными напряжениями, токами и широко используется при объяснении процессов в цепях переменного тока.

Мгновенное значение синусоидальной функции времени t или угла поворота wtможно представить в виде изменяющейся проекции на вертикальную ось вращающегося с угловой скоростью wвектора, как показано на рис 1.4. Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, обозначаются, как и комплексные величины, точками вверху. Сравнивая рисунки 1.4,а и 1.4,б, можно видеть что длины векторов и равны амплитудам напряжения U_m и тока I_m синусоидальных функций напряжения uи тока i.

Рис.1.4. Соответствие синусоидальных функций u, i
и вращающихся векторов и

а) – графики мгновенных значений синусоидальных величин напряжения и тока; б)–вращающиеся с угловой скоростью ω векторы и

Проекции вращающихся с угловой скоростью ω векторов и на ось ординат У (рис. 1.4,б) равны мгновенным значениям синусоидальных функций напряжения uи тока i (рис. 1.4,а)

Углы наклона к оси абсцисс Х векторов и изменяются с угловой скоростью wи для момента времени t = t₁ соответствуют фазам y_u1 и y_i1, поскольку для этого момента:

Начальные фазы y_u и y_i будут соответствовать углам наклона векторов и к оси Хв начальный момент времени t = 0 (рис. 1.4,б). Легко убедится, что векторы и , вращающиеся с одной угловой скоростью w, будут взаимно неподвижнымии для любого момента времени сохраняют неизменным сдвиг фаз между напряжением и током:

Так как фазовые сдвиги между напряжениями, токами и ЭДС одной частоты w остаются неизменными в течение времени, то от системы вращающихся векторов можно перейти к эквивалентной системе неподвижных векторов для момента времени t = 0.

В электротехнике принято оперировать действующими значениями величин напряжений U , ЭДС Е и токов I. Поэтому длины векторов на векторных диаграммах соответствуют не амплитудным, а действующим значениям, которые, как было выше сказано в раз меньше амплитудных значений.

Углы наклона векторов напряжения и тока к оси абсцисс (рис. 1.4,б) равны начальным фазам y_u и y_i (см. рис. 1.4,а). Таким образом, неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальной величины: действующее значение и начальную фазу. Третий параметр – угловая частота w должен быть заранее известен.

За положительное направление вращения векторов с угловой скоростьюw принято направление вращения против часовой стрелки (см. рис 1.4,б). Первый по вращению вектор считается опережающим следующий за ним вектор нафазовый угол j, который, в свою очередь, считается отстающим на тот же угол j относительно первого вектора. Например, на рис. 1.4,а вектор напряжения опережает вектор тока на фазовый угол j или наоборот, можно считать, что вектор тока отстает относительно вектора на тот же угол j.

Если для синусоидальных величин одной частоты начальные фазы одинаковы, то векторы этих величин направлены в одну сторону, фазовый угол между ними равен нулю (j=0) и говорят, что эти величины совпадают по фазе (синфазны). Когда для синусоидальных величин разность фаз j = ±p, то векторы этих величин направлены в противоположные стороны и говорят, что эти величины противоположны по фазеили находятся в противофазе.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, относящиеся к одной цепи, называют векторной диаграммой.

Применение векторных диаграмм делает наглядным анализ электрический цепи. В этом методе сложение и вычитание мгновенных значений синусоидальных величин можно заменить геометрическим сложением и вычитанием их векторов, по правилам, представленным в Приложении 4.

· Представление синусоидальных функций комплексными числами

Применение векторных диаграмм для анализа цепей переменного тока, несмотря на простоту и наглядность, не всегда дает достаточную точность при расчетах. Метод представления синусоидальных функций комплексными величинами и оперирование с ними как с комплексными числами, называемый комплексным методом [1], объединяет в себе простоту векторных диаграмм с возможностью производить расчеты с любой заданной степенью точности.

Комплексный метод основан на представлении векторов из декартовой системы координат (рис. 1.5,а) в комплексной плоскости (см. рис. 1.5,б) и на записи их комплексными числами. Это позволяет для цепей синусоидального тока применять законы Ома и Кирхгофа и методы расчета этих цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока, конечно с учетом специфики оперирования с комплексными величинами.

Рис. 1.5. Соответствие векторов и комплексных чисел

а) – векторы действующих значений тока I и напряжения U на векторной диаграмме;

б) – представление векторов тока и напряжения на комплексной плоскости

Синусоидальную функцию тока или напряжения можно однозначно изобразить соответствующим вектором в декартовых координатах (см. рис. 1.5,а) или на комплексной плоскости (рис. 1.5,б). В свою очередь, каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое можно записать в алгебраической, тригонометрической или показательной форме. Например, комплексы тока инапряжения на рис. 1.5,б, соответствующие векторам тока и напряжения на векторной диаграмме рис. 1.5,а, можно представить в алгебраической форме:

в тригонометрической форме:

и показательной форме:

где и – модули комплексов тока и напряжения, равные длинам векторов этих величин, которые определяют действующие значения соответствующего тока и напряжения;
y_i = arctgI_р/I_а и y_u = arctgU_р/U_а – аргументы комплексовтока и напряжения, равные их начальным фазам; – формула Эйлера, связывающая алгебраическую и показательную формы записи комплексных чисел; е – основание натурального логорифма; – мнимая единица.

Примечание В электротехнике мнимая единица обозначается буквой j, в отличие от математики, где мнимая единица – i(а в электротехнике i– это принятое обозначение тока).

Таким образом, комплексное число или просто комплекс тока или напряжения в любой из выше перечисленных форм записи является отображением соответствующей синусоидальной функции тока или напряжения.

· Правила операций с векторами и комплексными величинами

Если исходный вектор повернуть на комплексной плоскости из положения 1 в положение 2 против часовой стрелки на угол β (см. рис. 1.6), то в комплексной форме это запишется как .

Рис. 1.6. Операция поворота вектора на комплексной плоскости

Следовательно, умножение комплексного числа на множитель типа соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±b, причем угол +b откладывается против часовой стрелки, а (-b) – по ходу часовой стрелки.

Если угол b = p/2= 90°, то из формулы Эйлера следует:

То есть умножение комплексного числа на мнимую единицу ±j соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±p/2.

Если взять, например, комплекс в алгебраической форме , изображенный вектором в положении 1 (см. рис. 1.6), то, умножив его +j, получим , что при его графическом построении на комплексной плоскости соответствует повороту исходного вектора на угол p/2 в положительном направлении (против часовой стрелки) из положения 1 в положение 3.

Считая угол поворотного множителя функцией времени, когда b = wt, получаем множитель или оператор вращения . В этом случае вектор станет радиусом-вектором, вращающимся относительно начала координат на комплексной плоскости с угловой скоростью w против часовой стрелки, что записывается в виде: . Это выражение называют комплексной функцией времени или комплексным мгновенным значением.

Комплексное число будетдействительным числом А, когда сомножитель b при мнимой единице будет равен нулю, при этом аргумент комплексного числа – угол α будет равен нулю или π, а на комплексной плоскости этому действительному числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль оси действительных чисел вправо от нуля (при угле α = 0)или влево от нуля (отрицательные числа при угле α = π).Комплексное число называется мнимым, когда действительное число а = 0, а аргумент комплексного числа – угол α будет равен ±π/2. На комплексной плоскости этому мнимому числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль вертикальной оси мнимых чисел ±j.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления синусоидальных функций времени производят путем тех же алгебраических действий с соответствующими комплексными числами или векторами на комплексной плоскости. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме, и наоборот, соответствует переходу от декартовых координат к полярным и от полярных координат – к декартовым. При этом операции алгебраического сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, заменяются эквивалентными операциями геометрического сложения и вычитания соответствующих комплекс-векторов, записанных в показательной форме. Выбор той или иной формы записи комплексных чисел определяется простотой и удобством оперирования для определенной математической операции. Так, при сложении и вычитании комплексных чисел более удобна алгебраическая форма записи, а при умножении и делении – показательная.

Дата добавления: 2016-04-11 ; просмотров: 8433 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ