С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
- Предупреждение
- 1. Угол между прямыми на плоскости
- Прямые заданы каноническими уравнениями
- 1.1. Определение угла между прямыми
- 1.2. Условие параллельности прямых
- 1.3. Условие перпендикулярности прямых
- Прямые заданы общими уравнениями
- 1.4. Определение угла между прямыми
- 1.5. Условие параллельности прямых
- 1.6. Условие перпендикулярности прямых
- 2. Угол между прямыми в пространстве
- 2.1. Определение угла между прямыми
- 2.2. Условие параллельности прямых
- 2.3. Условие перпендикулярности прямых
- Угол между прямыми
- Определение угла между прямыми
- Угол между прямыми на плоскости
- Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
- Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
- Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
- Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
- Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
- Угол между прямыми в пространстве
- Параллельность прямых
- Определение параллельности прямых
- Свойства и признаки параллельных прямых
- Задача 1
- Задача 2
- 📸 Видео
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать
1. Угол между прямыми на плоскости
Прямые заданы каноническими уравнениями
1.1. Определение угла между прямыми
Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
 , | (1.1) |
 , | (1.2) |
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
 , |
 , | (1.3) |
Из выражения (1.3) получим:
  . | (1.4) |
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
 . | (1.5) |
 . | (1.6) |
 . |
Упростим и решим:
 . |
 |
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
 |
Угол между прямыми равен:
|
1.2. Условие параллельности прямых
Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
 . | (1.7) |
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
 , |
 , |
  , |
 , |
 , |
 . | (1.8) |
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
 . | (1.9) |
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
 . | (1.10) |
 . | (1.11) |
 ,  . |
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
1.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
 . | (1.12) |
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
 . | (1.13) |
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
 | (1.14) |
 . | (1.15) |
 . | (16) |
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Прямые заданы общими уравнениями
1.4. Определение угла между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
 | (1.17) |
 . | (1.18) |
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
 . |
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
 . | (1.19) |
Из уравнения (19) получим
  . | (1.20) |
Пример 4. Найти угол между прямыми
| 5x1−2x2+3=0 | (1.21) |
| x1+3x2−1=0. | (1.22) |
 | (23) |
 |
Упростим и решим:
 |
 |
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
 |
1.5. Условие параллельности прямых
Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:
 . | (1.24) |
С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:
 . | (1.25) |
Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).
Пример 5. Определить, параллельны ли прямые
| 4x+2y+2=0 | (1.26) |
Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
1.6. Условие перпендикулярности прямых
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда
| A1A2+B1B2=0. | (1.28) |
Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).
Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые
| 4x−1y+2=0 | (1.29) |
| 2x+8y−14=0. | (1.30) |
Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Видео:10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать
2. Угол между прямыми в пространстве
2.1. Определение угла между прямыми
Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
 , | (2.1) |
 , | (2.2) |
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .
| , | (2.3) |
Из выражения (2.3) получим:
  . | (2.4) |
Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
 . | (2.5) |
 | (2.6) |
  . |
 . |
Упростим и решим:
 . |
 |
Угол между прямыми равен:
|
2.2. Условие параллельности прямых
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть
| m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2 | (2.7) |
где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности прямых можно представить и так:
 | (2.8) |
Отметим, что любую пропорцию 
нужно понимать как равенство ad=bc.
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
 . | (2.9) |
 . | (2.10) |
 ,  ,  . |
Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.
Пример 3. Определить, параллельны ли прямые
 . | (2.11) |
 . | (2.12) |
 . | (2.13) |
Выражение (2.13) нужно понимать так:
 ,  ,  . | (2.14) |
Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
2.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:
 . | (2.15) |
Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
 . | (2.16) |
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
 | (2.17) |
 . | (2.18) |
  . | (2.19) |
Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать
Угол между прямыми
Видео:14. Угол между прямыми в пространствеСкачать
Определение угла между прямыми
Видео:Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать
Угол между прямыми на плоскости
Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
то угол между ними можно найти, используя формулу:
Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.
Соответственно легко найти угол между прямыми
tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2
Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b
то вектор направляющей имеет вид
Если уравнение прямой задано как
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .
Если дано каноническое уравнение прямой
то вектор направляющей имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =
Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано как
то вектор нормали имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то вектор нормали имеет вид
Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
sin φ = | a · b | | a | · | b |
Видео:Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.
Для первой прямой направляющий вектор , для второй прямой направляющий вектор
cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8
Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )
x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18
Видео:9. Угол между прямымиСкачать
Угол между прямыми в пространстве
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если дано каноническое уравнение прямой
то направляющий вектор имеет вид
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b z = n t + c
то направляющий вектор имеет вид
Решение: Так как прямые заданы параметрически, то — направляющий вектор первой прямой, направляющий вектор второй прямой.
cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0
Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.
Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор .
Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.
1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3
3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3
Получено уравнение второй прямой в канонической форме
x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3
— направляющий вектор второй прямой.
cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Параллельность прямых
О чем эта статья:
10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
- два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:
два соответственных угла равны между собой:
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
📸 Видео
Как я использую дюймы в пэчворке и не пересчитываюСкачать
Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Угол между прямыми!Скачать
Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать
Я. И. Перельман "По длине тени", ("Занимательная геометрия", № 01)Скачать
10 класс - Геометрия - Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямымиСкачать
Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"Скачать
7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать
Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 классСкачать
